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冲刺第一次市统测中档题训练1


冲刺第一次市统测中档题训练一
班级 姓名 得分

1. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PA ? PC , E 为 PB 的中点. ∥面 AEC ; (1)求证: PD (2)求证:平面 AEC ? 平面 PDB . P

E D C B

A

2. 在△

ABC 中, A、B、C 的对边分别是 a, b, c ,且 b cos B 是 a cosC, c cos A 的等差中项。 (1)求 B 的大小; (2)若 a ? c ? 10, b ? 2 ,求△ ABC 的面积。

3.已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 8Sn ? an2 ? 4an ? 3(n ? N ? ) ,且 a1 , a2 , a7 依次是 等比数列 ?bn ? 的前三项。 (1)求数列 ?an ? 及 ?bn ? 的通项公式; (2)是否存在常数 a ? 0 且 a ? 1 ,使得数 列 ?an ? loga bn ? (n ? N ? ) 是常数列?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

4. 如图,已知 A1 , A2 , B1 , B2 分别是椭圆 C : 为 2 的等边三角形,其外接圆为圆 M . (1)求椭圆 C 及圆 M 的方程;

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点,△ A1 B1 B2 是一个边长 a 2 b2

(2)若点 D 是圆 M 劣弧 A2 B2 上一动点(点 D 异于端点 A1 , B2 ) ,直线 B1D 分别交线段 A1 B2 ,椭圆 C 于 点 E , G ,直线 B2G 与 A1B1 交于点 F . (ⅰ)求

GB1 的最大值; EB1

(ⅱ)试问: E , F 两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

y
B2

D F
A1

G

E M

O

A2 x

B1

1. (1)证明:设 AC

∥EO …………4 分 BD ? O ,连接 EO,因为 O,E 分别是 BD,PB 的中点,所以 PD ∥面 AEC …………………………………………………7 分 而 PD ? 面AEC, EO ? 面AEC ,所以 PD (2)连接 PO,因为 PA ? PC ,所以 AC ? PO ,又四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD …………10 分 而 PO ? 面 PBD , BD ? 面 PBD , PO BD ? O ,所以 AC ? 面 PBD ……………………………13 分 又 AC ? 面 AEC ,所以面 AEC ? 面 PBD ……………………………………………………………14 分

2.

18. (1)由题意知, B2 (0,1) , A1 (? 3,0) , 所以 b ? 1 , a ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 , 3

?????????2 分

3 2 3 3 2 4 ,0) , A1M ? ) ? y 2 ? .?4 分 ,所以圆 M 的方程为 ( x ? 3 3 3 3 3 ), (2)证明:设直线 B1D 的方程为 y ? kx ? 1(k ? ? 3 2 3 3k ? 1 3 , ) , ?????6 分 x ? 1 联立,解得点 E ( 与直线 A1 B2 的方程 y ? 3 3k ? 1 3k ? 1 ? y ? kx ? 1 6k 3k 2 ? 1 ? 2 2 G ( , ), 联立 ? x 2 ,消去 并整理得, ,解得点 (1+3 k ) x ? 6 kx ? 0 y 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? ? y ?1 ?3 ?????9 分 6k 2 GB1 xG 3k ? 1 1 3k 2 ? 1 3k ? 3k ? ? ? ? 1? 2 ? 1? (i) 2 2 EB1 xE 3k ? 1 3k ? 1 2 3 ?( 3k ? 1) ? ?2 ?( 3k ? 1) 3k ? 1
易得圆心 M (?

2 2?2 2 ?1 GB1 所以 的最大值为 . 2 EB1

≤1 ?

1

?

2 ?1 6? 3 ,当且仅当 k ? ? 时,取“=” , 3 2
??????????12 分

3k 2 ? 1 ?1 2 1 x ? 1 ? ? x ? 1, (ii)直线 B2G 的方程为 y ? 3k ? 1 6k 3k 2 3k ? 1 ?6k 3k ? 1 3 , ), x ? 1 联立,解得点 F ( 与直线 A1B1 的方程 y ? ? 3 3k ? 1 3k ? 1
所以 E 、 F 两点的横坐标之和为

??14 分

2 3 3k ? 1

+

?6k 3k ? 1

? ?2 3 .
???????16 分

故 E 、 F 两点的横坐标之和为定值,该定值为 ?2 3 .


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