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沈晨竞赛讲义竞赛课件14:刚体动力学运动学问题


?

刚体
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体.

刚体内各质点之间的距离保持不变
刚体内各质点角速度总相同

?

刚体的平动与转动
刚体运动时,其上各质点的运动状态(速度、加速度、 位移)总是相同,

这种运动称为平动. 刚体运动时,如果刚体的各个质点在运动中都绕同一 直线做圆周运动,这种运动称为转动,而所绕直线便 称为轴.若转轴是固定不动的,刚体的运动就是定轴 转动.

?

质心 质心运动定律
能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外 力集中于此的某一点.
从质心的等效意义出发:

0
? ? xC ? ? ? ? ? yC ? ? ? ?z ? ? C ?

x1 m1

x2 m2

x

? m i xi ? mi ? m i yi ? mi ? mi zi ? mi

以质心为坐标原点

? mi r=0

例讲

? F =? m ? ac

例讲

O

H ? h= ? n ? ? ? mi =? ? ? n n

xc ?

n??

lim ? mi xi
i ?1

H? H ? ? ki ? ? n ? n ?
H

2

tan-1k i

?

?V 2 n ? H? H H lim ? ? ? ? ? ki ? ? ? i n?? n ? n? n i ?1

x

?? ? kH ? / 3
2
n 3

? 3 H lim ? i ?
n?? i ?1

1 n
4

3 xC ? H 4

y

?? =

?
2n

? n ? ? ? ? i =i 2n
n

?

?i
0 i R x

2m lim ? ? 2 R cos ? i ? ( R ? ?? ? cos ? i ) ? R sin ? i 2 ? n?? i ?1 ? R xC = m n 4R ? lim ? cos 2 ? i ? sin ? i ? ?? n?? i ?1 ? xC ? n R R lim n sin 3? ? sin ? ? ?? ? lim ? ? n?? ? ? ? ? sin 3? i ? ?i? ? sin ? i ? i ? n?? i ?1 ?
i ?1

4R 3?

?n ? ? n?1 ? ?n ? ? n?1 ? sin ? ? 3?? ? ? sin ? ? 3?? ? sin ? ? ?? ? ? sin ? ? ?? ? R 2 3 ?? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ?2 ? ? 2 ? ? lim ? ? 3 ?? ?? ? n?? 3 2 2 sin sin 2 2 R 1? ?2 1 ? lim ? ? ? 2 ? ? ? n?? ? 3 2 2?

返回概要 如图,一个圆盘半径为R,各处厚度一样, 在每个象限里,各处的密度也是均匀的,但不同象限里的密度则 不同,它们的密度之比为 ?1∶ ? 2∶ ? 3∶ ? 4 =1∶2∶3∶4,求这圆 盘的质心位置.

解: 对题中圆盘: 2

y 2 3 1 x 4

?R ?R 4R ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ? yc ? 4 ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? 3? 4

?R ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ? xc 4 2 ?R 4R ? ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? 3? 4 2 2

8 yc ? ? R 15?

xc ? 0

y 以静止水的质心为坐标原 点,建立如图所示坐标, 当振动高度为Δh时,质心 坐标为:
h 2
?h

O

x

L? ? 1 L? ? 1 L? ? 2 L? ? L? L ?1 ? ? ?h ? ? ? ? ? ? ? ? ? h ? ? ? ? ? ? ? ? ? h ? ? ? L 2? ?3 2? ?2 2? ?3 2? ? 2? 4 ?2 x? ? ?h L? h 6h ?h ? 1 2 ?h ? ? ?h ? ? h ? ?h ? L ? ? ? 2 ?h ? L ? ? ? ? ?h ? ? 2 ?2 2 3 ? ? h2 ? ? y? ? L? h 6h

由上可得

6h 2 y? 2 x L

y

质心沿抛物线做往复运 动,回复力为重力之分力: ?y F ? ? mg ?x
x ? ?x ? ? x 2 6h ? ? ? mg 2 ? L ?x
2

F回
O mg

x

12mgh ?? ?x 2 L

L2 质心做谐振,周期为 T ? 2? 12hg

?

转动惯量
量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个 质点的质量mi与该质点到转轴的距离ri的平方的乘 积的总和.

J ?

?

2 mi ri

例讲

r ?r J?m 2
2 1

2 2

J ? lim

r r? r? ? lim ? 2 2? i ? ? i ? n?? n n? n? i ?1 ? r m
2 n 3

? n ??
n i ?1

J ? mr n

2

1 2 J ? mr 2
2

2 m i ri

11 ? mr lim ? 2 ? i J? ?4 mr 2 n?? n2 i ?1

转轴

1 2 J ? mr 2 1 2 J ? mr 4
mr ml J ? ? 4 12
2 2

?? =

?
2n

? n ? ? ? ? i =i 2n
n i ?n 1 2 m i ri

?

y

i

?i
0
R x

J ? lim

? n ??
n

m 2 ? 4 lim ? ? r sin ? i ? n?? i ?1 4 n
1? 2 ? 2 2?? 2?? ? mr lim ? ?sin ?? ? sin 2?? ? ? sin ? ? ?? ? ? sin ? n?? 2? ?2 ? i ?1 n ?
2

1 2 J ? mr 2

n项

设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J,绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc,则有

J ? J c ? md
n i ?1

2

J ? ? mi ri2 ? ? mi Ri2 ? d 2 ? 2dRi cos ?
i ?1

n

?

?

y

??
i ?1

n

2 mi Ri

? ? mi d ? 2d ? miiRii cos ? i ?m x
2 i ?1

n

0

n n

?1 ii?1

Ri C θi d

mi

ri
O

x

由 J ? J c ? md
2

2

m
2

? mR ? mR ? 2mR
n

R

2

? 1 m 2 m ? l ?2 ? J ? 2 lim ? ? ? ?r ? ??i ? ? n?? 2n ? 2n ? ? i ?1 ? 4 2n ? ? 2 2 2 n mr ml i ? ? lim ? 3 4 4 n?? i ?1 n 2 2 mr ml ? ? 4 12

J圓

Ma ? 2
2

2
2a O M

J 杆 ? J c ? M ? 2a ?

2

其中 Ma 2 2a ? ? 4 Ma 3 n M a ? a ?2 J cJ? 2 lim ? J 杆 ? ? i ? O ?nJ 圓 ? ?? i ? 1 2a n ? n ?

C

M

29 Ma ? 6

2

对任意的刚体,任取直角三维坐标Oxyz,刚体对x、 y、z轴的转动惯量分别为Jx、Jy、Jz,则有

J x ? J y ? J z ? 2?
i ?1

n

2 mi ri

J x ? ? mi yi2 ? zi2
i ?1 n

Jy

? ? ?m ?x
n i ?1 n i i ?1

2 i

? ?

zi2 yi2

? ? ?

J x ? J y ? Jz ? 2?
i ?1 n

y yi
2 yi

J z ? ? mi

?

2 rxi2 ? mi i

?

?

2 zi

?

mi ri xi

xi2

zi z

O

x

球 壳

实 心 球

2 2 2 2 J ? mr J ? mr 3 5 n n 2 3 J ? 2 lim ? m i ri 2 3 J ? 2 lim ? m i ri i ?1 n ??
n ?? n i ?1 m
2

? r? r ? r? ? 2 lim ? ? 4? ? i ? ? ? ? ? i ? ? 2 ?? ? n2mr1 4? r 3 / 3 ? n ? n ? n ? i?

2

? 6mr lim ? i ?
2 4 n?? i ?1

n

1 n
5

已知:Jx=J0

y

求: J x? ? ?

y?

解:

J y ? J x ? J0
2J 0 ? ?
2 mi ri

O

x

x?

J y? ? J x ?
2 J x? ? ?
2 mi ri

J x? ? J 0

解:2J

如图所示,质量为m的均匀圆柱体,截 面半径为R,长为2R.试求圆柱体绕通过质心及两底面 边缘的转轴(如图中的Z1、Z2)的转动惯量J.

x ? J z ? 2?

Z4

2 mi ri

Z1

Z2

J 3 ? J 4 ? J z ? 2?

2 Z3 mi ri

R

Z

2J x ? J 3 ? J 4
mR 2
2

Jx ?

2 m ? 2 R ?2 mR 13mR
2

24

4

?

12

椭圆细环的半长轴为A,半短轴为B, 质量为m(未必匀质),已知该环绕长轴的转动惯量为 JA,试求该环绕短轴的转动惯量JB.

解: 由正交轴定理:
J A ? J B ? ? mi
x
2

y

?

2 xi

?
2 2

2 yi

?
A ?
2

O

x

由椭圆方程:

2 2

A

?
2

y

J A ? J B ? mA ?

B ?A B
2
2

B

?1
2

A B

2 2 y 2 i

JA
A B
2 2

J B ? mA ?

JA

转动惯量的表达式常表现为形式

J ? ? mi ri2 ? kma 2
i ?1

n

m是刚体的质量,a是刚体相应的几何长度,只要确 定待定系数k,转动惯量问题便迎刃而解.



J OO? ? kMa
则有

2

M
O?

? 4 ?k ? ?

O 2 2? M?a? M ?a? 2 ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ? ? ? kMa 4 ? ? a ? ? ? ?

1 k? 12

J OO?

Ma ? 12

2

如图所示,匀质立方体的边长为a, 质量为m.试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J.

解:

将立方体等分为边长为a/2的 八个小立方体,其中六个小 立方体体对角线到大立方体 体对角线距离
a 2 6 d? ? ? a 2 3 6
2

Q

O
3

2

O?

P

d C

? ? m ? ? a ?2 ? m ? ? a ?2 ? ? m ?? a ? 2 kma ? 2 ? k ? ? ? ? ? 6 ? ? k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 ?? 2 ? ? ? 8 ?? 2 ? ? 8 ?? 6 ? ? ? ? 2

1 k? 6

J PQ

ma ? 6

?

描述转动状态的物理量
?? ? ? lim ?t ?0 ?t ?? ? ? lim ?t ?0 ?t
1 Ek ? ? mi vi2 2

θ

a ? r?

L ? ? mi vi ri ? ?

?? ? J? 1 1 ? ? ? m r ?? ? J ? 2 2
2 mi ri
2 i i 2

?

2

M ? Fd

A ? M?

I ? M ? ?t

?

刚体的定轴转动与质点的直线运动
质点的直线运动 位移 s 刚体的定轴转动 角位移 θ

速度v
加速度a 匀速直线运动: 匀变速直线运动

v ? lim

?s ?t ? 0 ? t

角速度?
角加速度? 匀角速转动:

? ? lim

?? ?t ?0 ?t

?v a ? lim ?t ? 0 ? t
s=vt

?? ? ? lim ?t ?0 ?t

vt ? v0 ? at 1 2 S ? v0 t ? at 2 2 2 vt ? v0 ? 2aS
F=ma

? ? ?t 匀变速转动: ?t ? ?0 ? ? t 1 ? ? ?0 t ? ? t 2
2 2 ?t2 ? ?0 ? 2??
M=J? 转动定律

牛顿运动定律

动量定理 Ft=m vt-m v0 (恒 力) 1 1 动能定理 2 2 FS ? mvt ? mv0 2 2 动量守恒定律 ? mv ? 恒量

Mt=Jωt-Jω0 1 1 2 2 转动动能定理 M? ? J ?t ? J ?0 2 2 角动量守恒定律 ? J ? ? 恒量

角动量原理

0.50m

0.75m

F

解:

飞轮质量60 kg,直径d=0.50 m闸瓦 与轮间μ=0.4;飞轮质量分布在外层 圆周,要求在t=5 s内制动,求F力大小. 对飞轮
其中 ? ? ? ? 1000 ? 2? s ?2 ? 20? s ?2
60 ? 5 3 2 ? d ? 15 J ? m ? ? ? kg ? m2 4 ? 2? 5F d M f ? ?N ? 2 2 ?t

f
N
? ? 1000r / min

M f ? J?

F ? 100? N
N

f F

对制动杆

N ? 0.5 ? F ? 1.25

A

质量为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下, 求夹角为θ时,质心速度及杆的角速度

?

解:质心不受水平方向作用,做自由下落运动!
由机械能守恒:

vB

C vn v B

杆对质心的转动惯量:

l 1 1 2 2 mg ? 1 ? cos ? ? ? mv ? J ? 2 2 2 l 由相关速度: v ? v n sin ? ? ? ? sin ? 2 2 n
12 g ? 1 ? cos ? ? 3 g ? 1 ? cos ? ?
2

m l ? l ? ml J ? lim ? ? ? ? i ? ? n?? n ? 2n ? 12 i ?1 l

2

??

?1 ? 3sin ? ? l
2

v?

?1 ? 3sin ? ? l

sin ?

解:

如图,两根等重的细杆AB及AC,在C点用铰链 连接,放在光滑水平面上,设两杆由图示位置无初速地开始运动, 求铰链C着地时的速度.

着地时,两杆瞬时转轴为A(B) 由机械能守恒:

h 1 A 2 2mg ? 2 ? J ? 2 2 2 2 2 ml ml ?l? ? m? ? ? 其中各杆: J ? 12 3 ? 2? vc ? ? l 2 2 1 ml ? vc ? 則 mgh ? 2 ? ? ? ? 2 3 ? l ?

h

B
vc

得 vc ? 3 gh

如图,圆柱体A的质量为m,在其中部绕以细绳, 绳的一端B固定不动,圆柱体初速为零地下落,当其轴心降低h 时,求圆柱体轴心的速度及绳上的张力.

解:

轴心降低h过程中机械能守恒

gh v?2 3 2 mr a 由转动定律: Tr ? J? ? ? 2 r 由质心运动定律: mg ? T ? ma

其中圆柱体对轴P的转动惯量 mr 2 3mr 2 v ? r? JP ? ? mr 2 ? 2 2

1 2 mgh ? J P ? 2

B

h
T

P

1 T ? mg 3

v

如图,实心圆柱体 从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达 水平地面上,继续纯滚动,与光滑竖直墙 ωc0 ωc0 ωct 做完全弹性碰撞后返回,经足够长的水平 vc0 vc0 距离后重新做纯滚动,并纯滚动地爬上斜 坡,设地面与圆柱体之间的摩擦系数为μ, 试求圆柱体爬坡所能达到的高度h′.

vct

h?

解:

纯滚动后机械能守恒:

? f ? t ? m ??t r ? ?0 r ? 由角动量定理 ? fr ? t ? J ? ?? ? ? ? c t 0
由动量定理

纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒: 4 gh ? 1 1 ? mr 2 2 2 2 ? ? mgh ? J ? ?0 ? ? ? mr ? ? ?0 0 ? 3r 2 2 2? 2 ? ? 与墙弹性碰撞,质心速度反向,角速度不变,此后受摩擦力作用 经时间t 达纯滚动:

2 gh ?t ? 3 3r 2

1 ? 3mr 2 mgh? ? ? 2? 2 ?

? 2 ? ? ?t ? ?

h? ?

h

如图,在一个固定的、竖直的螺杆上的一个 螺帽,螺距为s,螺帽的转动惯量为I,质量为m.假定螺帽与螺杆 间的摩擦系数为零,螺帽以初速度v0向下移动,螺帽竖直移动的速 度与时间有什么关系?这是什么样的运动?重力加速度为g.

解:

由机械能守恒:

1 1 2 2 mgs ? I (?t ? ?0 ) ? m(vt 2 ? v02 ) 2 2 m ? 2? 2 2 v t ? v0 ? 2 ? gs 又 ? 2 v s 4? I

g?

v t ? v0 ? g ' t

竖直方向匀加速下落!

s m g? ? g 4? 2 I ?m 2 s

2

?m

在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球,其一做 纯滚动,质心速度为v,另一静止不动,两球做完全弹性碰撞,因碰 撞时间很短,碰撞过程中摩擦力的影响可以不计.试求⑴碰后两球 达到纯滚动时的质心速度;⑵全部过程中损失的机械能的百分数.

解:

1
v R

v

1
v R

2

v 1
v1 R

v1

2
v2 R

v2

⑴完成弹性碰撞后设两球各经t1、t2达到纯滚动,质心速度为v1、v2, 对球1: ? f ? t1 ? mv1

对球2:?

? ? 2mR 2 ? v v1 ? ? fR ? t1 ? 5 ? R ? R ? ? ? ?


2 ? v1 ? v 7

? ? 2mR 2 v2 ? ? fR ? t 2 ? 5 R ?

f ? t2 ? m ? v ? v2 ?

5 ? v2 ? v 7

续解

⑵系统原机械能为
? 2mr 2 ? ? v ?2 1 7 mv 2 E0 ? ? ? mr 2 ? ? ? ? ? ? ?r? 2? 5 10 ? ?

读题

达到纯滚动后的机械能

?? 2v ? 2 ? 5v ? 2 ? 29 1 7 mR 2 Et ? ? mv ?? ? ?? ? ?? 2 5 ?? 7 R ? ? 7 R ? ? 70 ? ?
2

20 則? ? ? 41% 49

解:

如图所示,实心匀质小球静止在圆柱面顶点, 受到微扰而自由滚下,为了令小球在θ ≤45°范围内做纯滚动,求 柱面与球间摩擦因数至少多大? 圆柱半径与小球半径分别以R、r表示
?

对球由质心运动定律有 :

2 mvc mg cos ? ? N ? R?r mg sin? ? f ? m? r

小球做纯滚动,摩擦力为静摩擦力,不做功,球的机械能守恒:
小球做纯滚动必有
1 ?2 2 2 ? ? vc ? mg ? R ? r ?? 1 ? cos ? ? ? ? ? mr ? mr ? ? ? 2 ?5 ?? r ?
2

对球由转动定律: fr ? 2 mr 2 ? ? 5

2 f ? mg sin? 7

mg

f ? ?N ? ?

mg cos ? ? N ? 45 2sin? ?

? 10mg ? R ? r ??N ? cos? 17 cos ? ? 10 ? ? 1 ? mg ?

45? ? 10 17cos?

7? R ? r?

? ? 7

? 7 ?

? ? 0.7

解:

如图所示,半径为R的乒乓球,绕质心轴的转动惯量J = 2 mR2,m为乒乓球的质量,以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动,开始时球 3 的质心速度为vc0,初角速度为ω0,两者的方向如图.已知乒乓球与地面间的摩擦 系数为μ.试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度.

既滚又滑时与达到纯滚时对与地接触点O角动量守恒: ω0 2 mRvc 0 ? Jc?0 ? mRvc ? Jc?c ? mR ? J vc0

?

?

2 即 vc 0 ? vc ? R ? ? 0 ? ? ? 3 达到纯滚时必有: v ? R? c 3 2 纯滚时质心速度 vc ? vc 0 ? R? 0 5 5
对质心:

R O μ

2 若 vc 0 > R?0 3

vc ? vc0 ? ? gt
t?

2 ? vc 0 ? R?0 ? 5? g

2 若 vc 0 < R?0 3

设以某棱为轴转动历时Δt,角速度ωi→ωf, 时间短,忽略重力冲量及冲量矩 N ?t ? Ma ? f ? ?i sin 30? 对质心由动量定理: ? f ?t ? Ma ? f ? ? i cos 30? ?i vf 对刚体由动量矩定理:

解:

如图所示,一个直、刚性的固体正六角棱柱,形状就 像通常的铅笔,棱柱的质量为M,密度均匀.横截面六边形每边长为a.六角 棱柱相对于它的中心轴的转动惯量I为 5 Ma 2 .现令棱柱开始不均匀地滚下斜 12 面.假设摩擦力足以阻止任何滑动,并且一直接触斜面.某一棱刚碰上斜面之 前的角速度为ωi,碰后瞬间角速度为ωf,在碰撞前后瞬间的动能记为Eki和 Ekf, 试证明ωf=sωi, Ekf=rE,并求出系数s和r的值.

?

?

?

?

f ?ta cos 30? ? N ?ta sin 30? 5 ? Ma 2 ? f ? ?i 12

?f

?

?

30° 30° N θ

a

11 可得 ? f ? ? i 17 11
則 s? 17 ,
2

f

121 r?s ? 289

v

解:

如图所示,光滑水平地面上静止地放着质量为M、长 为l的均匀细杆.质量为m的质点以垂直于杆的水平初速度v0与杆的一端做完全 非弹性碰撞.试求:⑴碰后系统质心的速度及绕质心的角速度;⑵实际的转轴 (即静止点)位于何处?

⑴碰后系统质心位置从杆中点右移

m l R x? ? M ?m 2 由质心系动量守恒: mv0 ? ? M ? m ?Vc x
由角动量守恒:

Vc

vm V Vc

m ?c

⑵对瞬时转动中心有 Vc ? ? R

l Ml 2 l ?l ? mv0 ? ? ? ? m? ? m? xC? ? Vc ? ? ?V ? ? ? 2 2 12 ?2 ? 6mv0 得? ? 瞬时轴距杆右端 ( M ? 4m )l

M ? 4m 可得R ? l 6? M ? m?

l R? x ? 6

2l 3

?

复摆
在重力作用下绕水平轴在竖直面内做小角度摆 动的刚体称为复摆或物理摆. 由机械能守恒关系可得
O lθ

1 2 mgl ? 1 ? cos ? ? ? JJ ???2 2?

? ? m? ? ?

C 对摆长l、质量m的理想单摆有 1 2 2 mgl ? 1 ? cos ? ? ? m ? l??0 ? 0 2 2 2 2 ? J ? ? J A?0 ? ? J ? ? ? m? ?? ? ? m ? ? ml 2 l??0 ? ? ? m l ? ? m ? ? ? ? ? ?

ml 2 ? ?0 ? ?0 J

J T ? 2? mgl

形状适宜的金属丝衣架能在如图所示的平面里的几个平衡位置 附近做小振幅摆动.在位置(a)和位置(b)里,长边是水平的.其它两边等长.三 种情况下的振动周期都相等.试问衣架的质心位于何处?摆动周期是多少?

专题14-例6

解:

三种情况下的周期 相同,故有

(a)
A

(b)
10cm 42cm

B

(c) C

J 0 ? ma 2 J 0 ? mc 2 ? mga mgc ? ? J0 ? mac ? ? c ?0? ? 0 ?a

J 0 ? ma 2 J 0 ? mb2 ? ? ? J? mab ? ? b ? a ? ? 0 0? 0 mga mgb

J0 ? mac

A a

a?b
mac ? mc a?c 則 T ? 2? ? 2? mgc g
2
代入题给数据有:



c
C

b
B

T ? 1.03s

解:

如图所示,矩形均匀薄片ABCD绕固定轴AB摆动, AB轴与竖直成,薄片宽度AD=d,试求薄片做微小振动时的周期.

先计算板对过C平行AB的轴的转动惯量 : 1 k? 2 2? ? M?d? 12 M ?d? 2 由 kMd ? 4 ? k ?? ? ? ? ? ? M 2 4 ? 2? 4 ?4? ? ? JC ? d ? ? 2 12 M 2 Md 2 ?d? 则 J AB ? d ? M? ? ? 12 3 ? 2?
等效摆长

由复摆周期公式

d l? ?d 2sin ?

O B

J T ? 2? Mgl
Md ? 2? 3 Mgd
2

?
?
C

d T ? 2? 3g

A Mg

解:

一个均匀的薄方板,质量为M,边长为a,固定它 的一个角点,使板竖直悬挂,板在自身的重力作用下,在自己的平 面内摆动.在穿过板的固定点的对角线上的什么位置(除去转动轴 处之外),贴上一个质点m,板的运动不会发生变化?已知对穿过 板中心而垂直于板的轴,板转动惯量 J ? 1 Ma 2 . 6 O 薄板原对悬点的转动惯量

? 2 ? Ma 2 Ma 2 J0 ? ? M? ? 2 a? ? 3 ? 6 ? ?
2

2

l'
C

贴m后

振动周期相同,应有

2 2 2 J ? Ma ? m ? x 3

2 l? a 2
m

J0 J ? Mgl ( M ? m ) gl ' 2 2 mx ? Ml x? a l'? M?m 3


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刚体的运动学与动力学问题
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第十三讲 刚体的运动和动力学问题
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《图解刚体力学——欧拉运动学方程》
《图解刚体力学——欧拉运动学方程》_物理_自然科学_专业资料。本文阐述了描述刚体定点转动的欧拉角及欧拉运动学方程的图解,以期让复杂的问题转化得简单清晰而易于学习...
修改后。 高中物理竞赛讲义全套
修改后。 高中物理竞赛讲义全套_学科竞赛_高中教育_...物理竞赛内容提要一、理论基础 力 1、运动学 、 ...刚体:在任何情况下形状大小都不发生变化的力学研究...
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刚体动力学测试题1
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