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高二上学期期末数学复习题(解析几何部分)


高二上学期期末数学复习题(解析几何)
x2 y2 1.经过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, a b 则此双曲线的离心率为( A.2 C. 2
2 2 2 2

) B. 3 D. 5 )

x y x y 2.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 k 应满足的条件是( 9 k k 3 A.k>3 C.k=2 B.2<k<3 D.0<k<2

3.如图所示, ABCDEF 为正六边形, 则以 F、 C 为焦点, 且经过 A、 E、 D、 B 四点的双曲线的离心率为(

)

A. 5-1 C. 3-1
2

B. 5+1 D. 3+1

y 4.如图,F1、F2 是双曲线 C1:x2- =1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1、C2 在第一象限的公共点,若 3 |F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是( 1 A. 3 2 2 C. 或 3 5
2

) 2 B. 3 2 D. 5 )

5.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y ? 4 x 仅有一个公共点,这样的直线有( A.0 条

B.1 条 C.2 条 D. 3 条 2 y → → → → 6. 设 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且PF1·PF2=0,则|PF1+PF2 9 |=( ) A. 10 B.2 10 C. 5 D.2 5 2 2 7.方程 (x-1) +(y-1) =|x+y+2|表示的曲线是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段 x2 y2 8.如图,从双曲线 - =1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=3 的切线 FP 交双曲线右支于点 P,T 为切点,M 3 5 是线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|等于( ) A. 3 B. 5 C. 5- 3 D. 5+ 3 9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M , N 两点, MN 中点横 坐标为 ?

2 ,则此双曲线的方程是( 3

)

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3
2

C.

x2 y2 ? ?1 5 2

D.

x2 y2 ? ?1 2 5

10.已知点 F 为抛物线 y = 8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且 |AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为( ) A. 6 B.

2?4 2

C. 2 13

D.4+2 5 [来

11.已知直线 l 过点 (0, 2) ,且与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两点,则

x2 y2 12.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e,直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 a b |AM| l 与该椭圆仅有的一个公共点,则 等于______. |AB| 2 2 x y 13.如果双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 点 P 在双曲线的右支上, 且|PF1|=4|PF2|, a b 则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 14.已知 A,B 为抛物线 y2=2x 上两个动点,|AB|=3,求 AB 的中点 P 到 y 轴距离的最小值为________. x2 y2 15.已知椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),A 为椭圆的左顶点,B,C 在椭圆上,若四边形 a b OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆的离心率等于________. 16.若方程

1 1 ? ? ____. y1 y2

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C ,给出下列四个命题:①若 C 为椭圆,则 4 ? t t ?1
②若 C 为双曲线,则 t ? 4 或 t<1;③曲线 C 不可能是圆; ④若 C 表是椭圆,

1? t ? 4;

且长轴在 x 轴上,则 1 ? t ?

3 .其中真命题的序号为 2

17.已知抛物线的顶点为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的中心.椭圆的离心率是抛物线离心率的一半,且 a 2 b2

它们的准线互相平行。又抛物线与椭圆交于点 M ( , ?

2 3

2 6 ) ,求抛物线与椭圆的方程 3

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?1,0? 且点 P ? 0,1? 在 a2 b2

C1 上.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程

19..已知椭圆的一个顶点为 A(0,?1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N 当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

20.如图,直线 l 与抛物线 y 2 ? x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 两点, 与 x 轴相交于点 M , 且 y1 y 2 ? ?1 . (1)求证: M 点的坐标为 (1,0) ; (2)求证: OA ? OB ; (3)求 ?AOB 的面积的最小值.

21.已知椭圆

x2 y2 6 3 ? 2(a>b>0) 的离心率 e ? , 过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原点的距离为 . 2 a b 3 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y ? kx ? 2 (k ? 0) 与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在 k 的值,使 以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

22.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另
一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程; (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由

答案 4、B 5、D 6、B 7、B 8、 C 9、D 10、 C 5 2 2 2 11、 12、1-e 13、 14、1 15、 3 16. ② ④ 3 17.因为椭圆的准线垂直于 x 轴且它与抛物线的准线互相平行 1、A 2、C 3、D 所以抛物线的焦点在 x 轴上,可设抛物线的方程为 y 2 ? ax(a ? 0)

2 6 2 2 2 2 6 ) ? a ?a ? 4 ? M ( ,? ) 在抛物线上? (? 3 3 3 3
4 24 2 2 6 ? M ( ,? ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1 9a 9b 3 3
由①②可得 a ? 4, b ? 3 ?
2 2

? 抛物线的方程为 y 2 ? 4 x
c ? a a2 ? b2 1 ? a 2

① 又e ?



x2 y2 ? ?1 椭圆的方程是 4 3
0 2 12 ? ? 1 , 即 b2 ? 1 , 所 以 a2 b2

18. 解 析 :(1) 由 左 焦 点 F1 ? ?1, 0 ? 可 知 c 2 ? 1 , 点 P ? 0,1? 在 C1 上 , 所 以

a 2 ? b2 ? c 2 ?2 ,于是椭圆 C1 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2 (2)显然直线 l 的斜率存在,假设其方程为 y ? kx ? b .

? x2 2 2 ? ? y ?1 联立 ? 2 , 消去 y , 可得 2k 2 ? 1 x2 ? 4kbx ? 2 b2 ? 2 ? 0, 由 ? ? ? 4kb ? ? 4 ? 2k 2 ? 1?? 2b 2 ? 2 ? ? 0 ? y ? kx ? b ?

?

?

? y2 ? 4x 可 得 2k 2 ? b 2 ? 1 ? 0 ① . 联 立 ? , 消 去 y , 可 得 k 2 x2 ? ?2 ? y ? kx ? b

k? b4 ?

? x

2

, 由 b ? 0

? ? ? 2kb ? 4? ? 4b2k 2 ? 0 可得
2

kb ? 1 ②.由①②,解得 ?

? 2 ? 2 2 2 ?k ? ?k ? ? x? 2或y?? x? 2 或 2 2 ,所以直线方程为 y ? ? 2 2 ?b ? 2 ?b ? ? 2 ? ?

x2 2 19.(1)依题意可设椭圆方程为 2 ? y ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 a
a2 ?1 ? 2 2 2 ?3
解得 a ? 3
2

x2 ? y2 ? 1 . 故所求椭圆的方程为 3
得 (3k ? 1) x ? 6mkx? 3(m ? 1) ? 0
2 2 2

? y ? kx ? m (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2



? xp ?

xM ? x N 3m k ?? 2 2 3k ? 1

从而 y p ? kx p ? m ?

m 3k 2 ? 1

? k Ap ?
?

yp ?1 xp

??

m ? 3k 2 ? 1 3mk

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则
2

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3m k k

即 2m ? 3k ? 1
2

② 由②得

把②代入①得 2m ? m 故所求 m 的取范围是(

解得 0 ? m ? 2

k2 ?

2m ? 1 1 ? 0 解得 m ? 3 2

.

1 ,2 ) 2 20. (1 ) 设 M 点的坐标为 ( x0 ,0) , 直线 l 方程为 x ? my ? x0 , 代入 y 2 ? x 得
① y1 , y2 是此方程的两根, y 2 ? my ? x0 ? 0 ∴ x0 ? ? y1 y2 ? 1 ,即 M 点的坐标为(1, 0). (2 ) ∵ y1 y 2 ? ?1 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ( y1 y2 ? 1) ? 0 ∴ OA ? OB . (3)由方程①, y1 ? y 2 ? m , y1 y 2 ? ?1 , 且 | OM |? x0 ? 1, 于是 S ?AOB ?
2 2

1 1 1 m 2 ? 4 ≥1, ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = | OM || y1 ? y 2 |? 2 2 2 ∴ 当 m ? 0 时, ?AOB 的面积取最小值 1.

21、 (1)直线 AB 方程为: bx ? ay ? ab ? 0 .

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b

解得

?a ? 3 , ∴ 椭圆方程为 ? b ? 1 ?

x2 ? y2 ? 1 . 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

得 (1 ? 3k 2 ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 .



12k ? x ? x ? ? , 1 2 ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .
2



要使以 CD 为直径的圆过点 E ( -1 , 0 ) ,当且仅当 CE ⊥ DE 时,则

y1 ? y2 ? ?1 ,即 x1 ? 1 x2 ? 1

y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 .



(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 .
7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6



将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E 6

p 22、[解析] (1)由题意知 F( ,0), 2 p+2t 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为( ,0). 4 因为|FA|=|FD|, p p 由抛物线的定义知 3+ =|t- |, 2 2 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去), 由 p+2t =3,解得 p=2. 4

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)(ⅰ)由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,得|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, y0 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, y0 y0 64 32b 2 由题意 Δ= 2 + =0,得 b=- , y 0 y0 y0 4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2. y0 y0 4 +y0 y y - y 4y0 0 E 0 当 y2 =- , 2= 2 0≠4 时,kAE= 4 y0 xE-x0 y0-4 2- y0 4 可得直线 AE 的方程为 y-y0= 4y0 (x-x0), y2 0-4

4y0 由 y2 (x-1), 0=4x0,整理可得 y= 2 y0-4 故直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y2 0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0).

(ⅱ)由(ⅰ)知直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 1 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+( +1)=x0+ +2. x0 x0 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上, x0-1 故 m= . y0 设 B(x1,y1). y0 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由于 y0≠0,可得 x=- y+2+x0, y0 8 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0. y0 8 所以 y0+y1=- , y0 8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4. y0 x0 所以点 B 到直线 AE 的距离为 4 8 | +x0+4+m?y0+ ?-1| x0 y0 d= 1+m2 = 4?x0+1? 1 =4( x0+ ). x0 x0

1 1 1 则△ABE 的面积 S= ×4( x0+ )(x0+ +2)≥16, 2 x0 x0 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时等号成立. x0 所以△ABE 的面积的最小值为 16.


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