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三个不等式竞赛题的再探究


2 0 1 3 年 9月  案 例 点 评  材  法  三个不等 式竞赛题 的再探 究  ◎ 陕西 省 咸 阳 师 范 学 院 基 础 教 育 课 程 研 究 中心  安 振 平 ( 特级教师 )   1 3题 1 = : ( 2 0 0 3 年 芙 圜数 字 樊 林  克 题 J 议Ⅱ , b, c∈R  ,   同样地 , 可 以得 出问题2 和 问题3 的下界和上界  问题 5 : 设a , b , c ∈R   , 且a + b + c = 3 , 试证:   试证 :   ( 2 a +   b + c ) 2 ( 2 b 瓣 + c + a ) 2 +   ( 2 c   + a + b ) 2 ≤8 +  .   2  + ( 6 + c)   2 6   + ( c + Ⅱ )   2 c 2 + ( 0 + 6)   3<— 2 a 2 + ( — b + c ) 2 +   + 9   ^ 2  0   v   , /   + — 2 c 2 + ( a — + b ) 2 ’   c   + 9   问题2 : ( 2 0 0 6 年北方数学 竞赛题 ) 设a , b , C ∈ R   , 且n +   b + c = 3 , 试证:   证明: 所证不等式等价于  a2 + 2  + (   丽 a 2 + 9   瓣 b 2 + 9   c 2 + 9 b + c   + 2 b   c + a  + )   + (   2  + ( 3 — 0)   2 6   + ( 3 — 6)   ≤5 .   -_ 9   +   b 2 + 9 +   丽 c 2 + 9 2 c   3 - c > 3 . + (   )   (  )   )   2 c   + ( 口 + 6)   问题3 : ( 1 9 9 7 年 日本数学奥 林匹克题 ) 设a , b , c ∈R   ,   试证 :   构造函数厂 (  ) =   , 0 <   < 3 . 取点P ( 0 , 1 ) ,   Q( 3 , 1 ) , 则 割线P Q 的方程 为  = 1 , 从 而  +  ( b   + c   - a   ) 2 ( c   + a   - b   ) z +   ( a +   b   - c   ) 2 >。   3 .  ( 6 + c)   +   ( c + r 上 )   + 6   ( n + 6)   + c   5   — > 1 .   2 X 2 + ( 3 — - X ) 2 > ? (     ( :  ) )   这三道不等 式竞赛 题均可 以用切线方法证之 ,具 体  的证 明过程 留给 渎者去探究 , 或者去查找有关 的书刊.   等价于2 x ( x 一 3 ) < 0 , 对0 < x < 3 成立.   在(   ) 式里 , 取  = o , b , C , 叠加 , 知(  ) 式成立.   在2 0 1 2 年 第6 期《 数学 教学 》 上, 其 问题 8 6 0 题 给 出了  问题 1 的下界估计 , 得到:   问题4 : 设Ⅱ , b , C ∈R   , 试证 :   ( 2 a   + b + c   ) 2 +( 2   b + c + a   ) 2 +   ( 2 c   + a +   b ) 2 2  + (   b +c   — — 故有3 <   而 a 2 + 9   +

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