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长沙同升湖实验学校2014届高三理科数学第八次月考试卷


长沙同升湖实验学校 2014 届高三第八次月考试卷——理科数学

长沙同升湖实验学校 2014 届高三第八次月考试卷(理科数学)
时量:120 分钟 分值:150 分 命题人:尹金元 审题人:李国祥
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。每题给出的四个选择项中,只有一个是符合 题目要求的,请把正确的题号填入题后的

括号内。 01、 【 】复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z = A.

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2

C. ?

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

02、 【 】双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则此双曲线的离心率为 a 2 b2
B. 2 C.

A. 2

6 3

D.

2 3 3
0.04 0.02 0.01

频率/组距

03、 【 】为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株 树木的底部周长(单位:cm) .根据所得数据画出了样本的频率 分布直方图(如图 1) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 A.30 B.60 C.70

80 90 100 110 120 130 周长(cm)

图 1

D.80

04、 【 】 “ ? ? 1 ”是“ 函数 f ( x) ? cos ? x 在区间 ? 0, π ? 上单调递减”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

05、 【 】如图所示的三棱柱,其正视图是一个边长为 2 的正 方形,其俯视图是一个正三角形,该三棱柱侧视图的面积为 A. 2 3 C. 2 2 B. 3 D.4

06、 【 】下列函数中,为奇函数的是 A.

y ? 2x ?

1 2x

B. y ? x, x ??0,1?

C. y ? x ? sin x

?1, x ? 0 ? D. y ? ?0, x ? 0 ? ?1, x ? 0 ?

07、 【 】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入某个正整数 n 后,输出的 S∈(31, 72),则 n 的值为
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A.5

B.6

C.7

D.8

?( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 y 08、 【 】已知实数 x , y 满足条件 ? ,则 z ? 的最小值为 x?2 ?x ? y ?1 ? 0

3 4 D. 4 3 x 09、 【 】设函数 f ( x) ? x ? sin x ? 2 , g ( x) ? e ? ln x ? 2 ,若实数 a , b 满足 f (a ) ? 0 , g (b) ? 0 ,
A. 3 ? 2 B. 2 ? 2 C. 则 A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b) 10、 【 是 A. 3 B. B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0

】函数 f (a) ? (3m ? 1)a ? b ? 2m ,当 m ? [0,1] 时, 0 ? f (a ) ? 1 恒成立,则

b2 ? a 2 的最大值 ab

15 4

C. 4

D.

19 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分。请把每小题的答案填入题后的横线上。 (一)选做题:从 11、12 两道小题中任选一道,两道全做的按第一道题评分。
2 11 、已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ? 4 ) ? 2 ,则极点到该直线的距离




' '

12、 如图, 两个等圆⊙ O 与⊙ O 外切, 过 O 作⊙ O 的两条切线 OA, OB, A, B 是切点,点 C 在圆 O 上且不与点 A, B 重合,则 ?ACB =
'



(二)必做题: 13、已知集合 A={x||x+1|<2},集合 B={x|x +4x≤0},则 A∩B= ; 14、如图 2,在矩形 OABC 内:记抛物线 y ? x2 ? 1 与直线 y ? x ? 1 围成 的区域为 M (图中阴影部分) .随机往矩形 OABC 内投一点 P , 则点 P 落在区域 M 内的概率是 ;
O
2

y 2
1
C

y ? x2 ? 1 y ? x ?1 B

15、已知向量 a, b ,满足 a ? 1,(a ? b) (a ? 2b) ? 0, 则 b 的最小值为 16、 已知数列 {an } 满足: 当n?(



1 x A 图2

x

(k ? 1)k k (k ? 1) , ]( n, k ? N * ) 时,an ? (?1)k ?1 ? k ,Sn 是数列 {an } 的 2 2
*

前 n 项和,定义集合 Tm ? {n | Sn 是 an 的整数倍, n, m ? N ,且 1 ? n ? m } ,Card ( A) 表示集合 A 中元素的个数,则(1) Card (T15 ) ? ; (2) Card (T2014 ) ?
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三、解答题:共 6 小题,满分 75 分。 17、 (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x ? m (m ? R ).

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间及对称轴方程;
π (2)当 x ? [0, ] 时, f ( x) 的最大值为 9,求实数 m 的值. 3

18、 (本小题满分 12 分)生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品, 小于 82 为次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B

?70,76?
8 7

?76,82?
12 18

?82,88?
40 40

?88,94?
32 29

?94,100?
8 6

(1)试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率; (2)生产一件元件 A,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B,若是正品 可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ)的前提下; (i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元的概率; (ii)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

19、 (本小题满分 12 分)等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点,且满足

AD CE 1 ? (如图 3) .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 成直 ? DB EA 2
二面角,连结 A1 B 、 A1C (如图 4) . (1)求证: A1D ? 平面 BCED ; (2) 在线段 BC 上是否存在点 P , 使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ?若存在, 求出 PB 的长, 若不存在,请说明理由. A

A1
D E B C B D E C 图 4

图 3

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20、 (本小题满分 13 分)某学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长 150 米的平行线段,沟宽 AB 为 2 米,, 与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为 O ,对称轴与地面垂直,沟深 2 米, 沟中水深 1 米. (1)求水面宽; (2)如图 1 所示形状的几何体称为柱体,已知柱体的体积为底面积乘以高,求沟中的水有多少立方 米? (3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟,使沟的底面与地面平行,沟深 不变,两腰分别与抛物线相切(如图 2),问改挖后的沟底宽为多少米时,所挖的土最少?

A

B

A

B
O 图1
O

P

图2

21、 (本小题满分 13 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?
2

3 。它有一个顶点恰好是 2

抛物线 x =4y 的焦点。过该椭圆上任一点 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q,点 C 在 QP 的延长线上,且

| QP |?| PC | 。
(1)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (2)设椭圆的左右顶点分别为 A,B ,直线 AC(C 点不同于 A,B)与直线 x ? 2 交于点 R,D 为线段 RB 的中 点。试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论。

22、 (本小题满分13分)设 an 是函数 f ? x ? ? x ? n x ?1 n ? N* 的零点.
3 2

?

?

(1)证明: 0 ? an ? 1 ; (2)证明:

n ? a1 ? a2 ? n ?1

? an ?

3 . 2

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