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光学


第十一章

光学

§11-1 杨氏双缝干涉
【基本内容】 一 光的干涉
1、发光机制 0 0 光波:是波长在 3500A ——7700A 之间的电磁波。 一个原子的发光:一次发光只能发出(1)频率一定、 (2)振动方向一定、 (3)长度有限 的一段波列。 光源——大量原子的发光:发出具有不同频率、不同振动方向、不同位相

的电磁波。 2、光的干涉现象 两列光波叠加后,在某些地方光强始终加强,在另一些地方光强始终减弱的现象。 3、光的相干条件:两列光波的(1)频率相同、 (2)振动方向相同、 (3)位相差相同或相差 恒定。

二 干涉基本理论
1、位相差和光程差 ? ? nr 光程:光在媒质中所传播的距离与该媒质折射率的乘积。 ? ? nr ? t 光程的意义:光程 表示在相同时间 内,光在介质 n 中传播 r 距离引起的位相 差等于光在真空中传播距离 nr 所引起的位相差。 光程差: ? ? n2 r2 ? n1r1

? ? 位相差与光程差的关系: 2、额外光程差——半波损失的影响 半波损失:光从光疏媒质(n 小)入射到光密媒质(n 大)而反射时。反射光的位相与 入射光相比,在反射点突然改变 ? ,引起附加光程差λ /2。 理解: (1)半波损失发生在反射光,且从光疏媒质入射到光密媒质而反射到光疏媒质时 发生。 (2)若额程差为λ /2 的偶数倍,则不考虑其影响。 3、干涉基本原理 光程差决定干涉明、暗条纹的位置: k ? 0,?1,?2,?3? ? ? k? 明纹 ? ? ? ( 2k ? 1) k ? 0,?1,?2,?3? 2 暗纹

?? ?

2?



杨氏双缝干涉

1、明暗条纹位置 角位置:
dSin ? ? k?

明纹

k ? 0,?1,?2,?3?

dSin ? ? ( 2k ? 1)

?
2

暗纹
x D

k ? 0,?1,?2,?3?

若 ? 很小则: 线位置:

Sin? ? tg? ? ? ?

x?k

D ? d D? d 2

明纹 暗纹
?x ?

k ? 0,?1,?2,?3? k ? 0,?1,?2,?3?

x ? ( 2k ? 1)

2、相邻两明条纹(或暗条纹)间的距离为: 3、干涉条纹变动 任何原因引起光程差的改变, 将导致干涉条纹的移动 (条纹间距的变化和条纹的整体移 动) 。条纹间距的变化由条纹间距公式判定,条纹的整体移动由中央明纹的位置确定。 ?? ? N? 光程差的改变量与条纹移动数目之间的关系为:

D ? d

【典型例题】
【例 11-1】 如图例 11-1 所示, 在杨氏双缝实验中, 作下列调整, 问干涉条纹如何变化? (1) (1) 将波长λ 变长; (2) (2h/ )? 改用白光垂直入射; r s (3)光源 S 向下作微小移动。 r D h/?0 r ?x ? ? ? λ 变长, d 【解】 (1)由条纹间距公式 知:波长 x ? P n s 干涉条纹间距 ?x 变大。
1 1 10 2 1

光 轴

?

r20

s2

Pe

( 2 ) 由 干 涉 极 大 位 置
图11-51 例11-1图

x?k

n2 D ? d n3 知 :

e

例11-20图 k ?0? x? 0 ,即各种波长的光在中央处均为明条纹; 例11-6图 k ( k ? 0 ) x 同一级光谱 ,形成由紫色到红色 逐渐增大的 e
1

i0

n1 n2 n3 图11-50 I

分布。 r s (3)中央明条纹对应光程差为 0 s P ? ?r 10 ? r 1 ? (r 20?r2 ) ? 0r M s 因为 r10 ?r 20 ,所以 r2 ? r1 ,干涉条纹向上移动。
1 1

P
2

0 s 2 【例h/ (2)双缝间距变小, (3)装置放 ? 】 在杨氏双缝实验中,若(1)屏幕移近, s211-2

于水中。问条纹如何变化?

h/?0

例11-3图 【解】由条纹间距公式 ? x ? x (1) D 减小导致 减小,即干涉条纹间距变窄。 ? P dn1 r 0(V) (2U )双缝间距 d 变小,干涉条纹间距变宽。 n2 s e P e ( (3) 2 3)
1 1

图11-7

?x ?

D ? d 知:

P

0 图11-58

例11-20图
0 5

1

n3
涉条纹间距变窄。 4
10

r2 0

?

例11-6图
【例 11-3】 若用厚度为 e,折率为 n 的云母片盖住杨 d 氏双缝实验中的上缝,如图例 11-3 所示。则干涉条纹向 ;条纹移 动 条。 【分析】对中央明条纹光程差 ? ? r2 ? (r1 ? e ? ne) ? 0 ?

s2

光在水中的波长减小为 n , 则干

(10 Hz)

e s1 r1 图11-61 r2

例11-5图 0 处的光程差为 P 移动;在原中央明条纹

P s2

0

例11-3图

r2 ? r1 ? (n ? 1)e ? 0 ? r2 ? r 1

即条纹向上移动。 在原中央明条纹 0 处( r2 ? r )的光程差为: ? ? r2 ? (r1 ? e ? ne) ? (n ? 1)e ? ? N ? 由 得: ?
1

N ?

h/

【例 11-4】 杨氏双缝实装置放在空气中时,测得钠黄光(λ =5893A )产生的干涉条纹 ? 0 x ? P n1 0 . 2 的两相邻明条纹间的角距离为 。 n2 (1) (P 1e ) 对何种波长的光,测得两相邻明条纹的角距离增加 10%。 e (2) (2) 把装置放于水中(n=1.33) ,两相邻明条纹的角距离有多大? n3 【解】 (1)置于空气中时,明条纹条件为: 例11-20图 d sin ? ? k? , k ? 0,?1,?2, ? 例11-6图 ? ? ?k
d

0

( n ? 1)e
0

两相邻明条纹的角距离为:

?? ? ? k ?1 ? ? k ?

?
d

P
'

d 设 ? ? 增加 10%时,其波为 ? ,则: ' ? ? (1 ? 0.1)??d ? (1 ? 0.1)? ? 6482A0

?? (1 ? 0.1) ?

?'

? (2)装置放于水中时,光的波长减少为 n ,则其角距离为:
?? / ?

?
nd

?

1 ?? ? 0.15 0 n

d r1 s1 r2 s2
4

【例 11-5】 杨氏双缝实验中,若用厚度均为 d 的云母 P 片(n1=1.4、n2=1.7)分别盖住 S1 及 S2 缝,如图例 11-5 所示, 0 中央位置 O 处变第五级明条纹。已知λ =4800A 。求玻璃片的 厚度 d。 0 【解】中央位置 O 处: r2 ? r1 ? 0 盖住玻璃片后,对中央位置 O 处,有 ? ? (r2 ? d ? n2 d ) ? (r1 ? d ? n1d ) ? (n2 ? n1 )d ? 5? 5? ?6
d ?

10 Hz)

d 例11-5图

所以,

n2 ? n1

? 8.0 ? 10

(m)

【分类习题】
【11-1】 在相同时间内,一束波长为 ? 的单色光在玻璃和空气中传播的路程 走过的光程 (填相等、不等) 。 ,

s1

e

s2

【11-2】 两同相的相干光源 S1 和 S 2 发出波长为 ? ???? 的单色光,如图 ? 11-2,点 A 是两光源中垂线上的一点。 A 1 n 的云母片,则两 B 如在 S1 与 A 间插入厚为 e ,折射率为 2 C 3 光源在 A 处的位相差为 , 如已知 D 4 e0点 为 第 四 级 明 纹 中 心 , 则 λ =5000A0 , n ? 1.5 , A e? 。

图11-22 图11-2

图11-32 【11-3】 光强均为 I 0 的两相干光发生干涉时,在相

i0
0

i

n1

0

0

0

遇区域出现最小和最大的光强分别为 和 。 【11-4】 用白光进行杨氏实验,如用蓝色和红色滤光片分别覆盖两逢,则屏上 产 生干涉(填能够、不能) 。 (2)扬氏双缝干涉 h/? 【11-5】 用一定波长的单色光进行杨氏实验,欲使屏上条纹间距变大,可采用的方法 是(1) , (2) 。 【11-6】 薄钢片上有两条紧靠的平行细缝,用波长 λ =5461A0 的平行光正入射到钢片 h/?0
光 轴 ?

上。如屏与双缝间距为 2.00 m ,测得中央明纹两侧第五级明纹的距离为 12.00mm 。求? x ? (1) (1) 双缝间距; (2) (2) 从任一明纹(计为 0)向上数到 20 条明纹,共经过的距离; Pe (3)如将光斜入射,条纹间距是否变化?

P n1 n2

e

图11-51

n3 S S 【11-7】 在双缝干涉实验中,屏上 P 处是明条纹,如图 例11-20图 11-7。如将缝 2 盖住,并在 1 例11-6图 与 S 2 的连线的垂直平分线上放一反射镜 M ,则 P 处为 条纹(填明、暗) 。
【11-8】 杨氏双缝分别被折射率为 n1 和 n2 的透

s1 n1 n2 n3 图11-50 I 图11-7
?6

s s2

M

P

明薄膜覆盖, 两者的厚度均为 e 。 用波长为 ? 的平行 单色光正入射到双缝上。求在屏中央处,两相干光 的位相差。 【11-9】 用波长为 5000A0 的单色光正入射到缝 间距为 2 ? 10 m 的双缝上。屏与双缝间距为 2 m 。 求 (1) (1) 中央明纹两侧的第十级 明纹的距离;
?4

(2)用一厚度为 6.9 ? 10 m ,折射率为 1.58 的云母片覆盖一缝后,零级明纹移至原 多少级明纹处?在缝被覆盖的一侧的第 5 级明纹离屏中心的距离为多少? U0(V)

2 0 图11-58 1 0 5 10

§11-2 薄膜干涉
(10 Hz)
4

【基本内容】



薄膜干涉 图11-61

2 2 2 1、薄膜干涉的光程差 ? ? 2e n ? n1 sin i ,如有半波损失的影响,则 2 ? ? 2e n 2 ? n1 sin 2 i ? ? / 2

2、明、暗条纹分布
2 ? ? 2e n 2 ? n1 sin 2 i ? 2 ? ? 2e n 2 ? n1 sin 2 i ?

?
2

? k? , k ? 1,2,3, ? ? ( 2k ? 1)

明条纹。 暗条纹

?
2

?
2

, k ? 0.1,2,3, ?

3、等倾、等厚干涉 等倾干涉 ? ? ? (i ) : 若 e 不变,则 ? ? ? (i ) ,同一条纹对应相同的入射角。 等厚干涉 ? ? ? (e) :若 i 不变,则 ? ? ? (e) ,同一条纹对应着同一薄膜厚度。



劈尖干涉
单色光垂直入射时,光程差

1、 1、

? ? 2ne ?
2、明、暗条纹位置分布

1 ? 2

? ? 2ne ?

1 ? ? k? ., k ? 1,2,3 ?? 2 明条纹 1 ? ? ? (2k ? 1) , k ? 0,1,2,3?? 2 2 暗条纹

? ? 2ne ?
3、相邻两明纹(暗纹)的间距

L?

?
2n sin ?

?

?
2?



牛顿环
? ? 2ne ?
1 ? 2 1 ? ? k? ., k ? 1,2,3 ?? 2 明条纹

1、光程差 2、牛顿环的明、暗环条件

? ? 2ne ?

? ? 2ne ?
e?

1 ? ? ? (2k ? 1) , k ? 0,1,2,3?? 2 2 暗条纹

3、e 与 r 的关系 4、牛顿明、暗环半径 r ? (2k ?1) R? / 2, k ? 1,2,3,?明条纹。
r? kR? , k ? 0,1,2,3,?暗条纹。

r2 2R

【典型例题】
处理薄膜干涉问题的步骤: (1)(1)求出薄膜上下表面两反射光的光程差,应特别注意半波损失; (2)(2)根据干涉条件写出明、暗条纹位置公式; (3)按题意讨论干涉条件的静态分布特征或动态变化规律。 【例 11-6】若用波长为 589.3nm 的钠黄光观察牛顿环, 测得某级暗环的直径为 3.0mm, 此环以外的第 10 个暗环的直径为 5.6mm,试求平凸透镜的曲率半径 R。 【解】 由于有半波损失,在空气膜的反射光干涉条纹中,理想接触的中心 O 点为暗点。 若以此为零级,则第 k 级暗环的半径 rk 及相应的空气膜厚度 d k 满足
R2 ? rk2 ? ( R ? dk ) 2 和 2d k ? k?

由于 R ?? d k 忽略二级小量后可得 rk ? kR? k ? 0,1,2? , rk ? N ? 2.8mm , N ? 10代入上式后可解得 按题意 rk ? 1.5mm
R? rk2? N ? rk2 ? 0.95(m) N?

【例 11-8】 在迈克耳孙干涉仪的两臂中,分别引入 10cm 长的玻璃管,其中一个抽成 真空,另一个充以一个大气压的空气,设所用光波波长为 546nm,在向真空玻璃管中逐渐充 入一个大气压空气的过程中,观察到了有 107.2 条条纹移动,试求空气的折射率 n 。 【解】 设玻璃管长为 l,在向真空玻璃管内充入空气的过程中,两玻璃管的光程差的 变化量 ? 为

? ? 2l (n ? 1)

由于移动 1 条条纹时所对应的光程差变化为 1 个波长,所以当观察到 107.2 条条纹移时,对 应的光程差的变化为
2l (n ? 1) ? 107.2?

由此可得空气的折射率为

n ? 1?

107 .2? ? 1.000029 2l

【分类习题】
【11-10】 平行单色光(在介质 n1 中的波长为 ?1 )垂直入射到薄膜上,经上下两表面 的反射光发生干涉,如图 11-10。如薄膜厚为 e ,且 n1 ? n2 ? n3 。则反射光在相遇点的位相 差为 。 ?? 【11-11】 两直径有微 ? ? n1 小差别的平行圆柱轴间水 L, 平距离为 被夹于两平面 n2 1.68 e 晶体之间,如图 11-11。用 1.60 单色光垂直入射。 当轴间水 L n3 1.58 平距离变小时, 在 L 范围内 条纹数目将 ,条纹 图11-11 图11-16 图11-10 间距将 (填变大、 变小、不变) 。

n1

n2

n3

11-50 I

U0(V)? 连续变大,直到该处再次出现暗纹为止,求劈尖角的增量 ? ? 。 纹。使劈尖角 2【11-13】

【11-12】 用波长为 ? 的单色光垂直入射到空气劈尖上, 从反射光观察距顶点 L 处是暗 折射率为 1.60 的两平面玻璃间形成劈尖,用波长为 600 nm 的单色光垂直入

射。如劈尖内充满 n ? 1.40 的液体,其条纹间距比空气劈尖的条纹间距缩小 0.5mm ,求劈 尖角 ? 。 【11-14】 用波长为 600 nm 的单色光垂直入射到由两平面玻璃构成的空气劈尖上,劈
?4 尖角 ? ? 2 ? 10 rad 。今改变劈尖角,条纹间距缩小 1.00 mm ,求劈尖角的改变量 ? ? 。

【11-15】 用波长为 500 nm 的单色光垂直入射到空气劈尖上,观察反射光。距劈尖棱 边 1.58 cm 的 A 处是从棱边数起第四条暗纹中心,求: (1) (1) 劈尖角; (2)如改用 600 nm 的光垂直入射,反射光在 A 处是明纹还是暗纹?从棱边到 A 处分 别有多少条明纹和暗纹? 【11-16】 牛顿环装置处于液体中, 各透明介质折射率 (图中数字为折射率) 如图 11-16。

?
1.68
1.60

?
1.62

1.52

L

1.60

1.58

1.75

1.52

11-11

图11-16

图11-17

用波长为 500 nm 的单色光垂直 入射,从上向下观察,看到中央 为一暗斑,求平凸镜的顶点距平 面玻璃的最短距离。 【11-17】 由三种透明材料 构成的牛顿环装置中,用单色光 垂直入射,如图 11-17。则反射光 在接触点处圆斑左半部为 , 右半部为 (填亮斑、暗斑) 。 【11-18】 牛顿环装置中, 用

波长分别为 600 nm 和 500 nm 的单色光垂直入射,观察反射光的牛顿环。从中心向外数,两 nm 。 种光的第五个明环对应空气膜的厚度差为

【11-19】 用波长为 ? 的单色光垂直入射到牛顿环装置上。如使平凸镜馒慢向上移动, 使平凸镜顶点与平面玻璃之距由 0 到 d 的过程中,求视场中某固定点移动的条纹数。 【11-20】牛顿环装置中的平凸镜和平面玻璃的折射率相同,如在其间充满某种液体, 观察到反射光第 10 个明纹的直径由充液体前 (真空) 的 14 .8cm

?
e0

???? 变到充液体后的 12.7cm 。求此液体的折射率。 A 牛顿环装置中,设平凸镜的凸表面的曲率半径 1 【11-21】 B 2 5 个明 为 R ? 400 cm C。用单色光垂直入射,测得反射光的第 3 cm 。求: 环半径为 0.30 D 4 (1) (1) 入射光的波长;
(2)在半径为 1.0cm 内可观察的明环数。 【11-22】 如图 11-22。平凸镜和平面玻璃之间有一小缝

图11-22

隙 e0 ,用波长为 ? 的单色光垂直入射,设平凸镜的曲率半径 为 R ,求反射光各暗环半径。

图11-32

【11-23】 在玻璃 (n3 ? 1.60) 表面镀一层氟化镁薄膜作为增透膜 (n2 ? 1.38) ,用波长 为 5000A0 的单色光从空气正入射,为使反射光尽可能减少,求氟化镁薄膜的最小厚度。

i 【11-24】 用白光垂直入射到空气中厚度为 500 nm 的云母片 (n ? 1.50) 上,在可见光 范围内,哪些波长的反射光最大限度地增强?
0

【11-25】 在迈克耳孙干涉仪的一条光路中,放一折射率为 n 、厚度为 d 的透明薄片, 放入前后,这条光路的光程改变了 。 【11-26】 在迈克耳孙干涉仪的一条光路中,放入折射率为 n 的透明薄膜后,测得两束 光的光程差的改变量为一个波长,则透明薄膜的厚度为 。 【11-27】 在迈克耳孙干涉仪的可动反射镜移动一微小距离的过程中,观察到干涉条纹 移动 1848 条,如所用干涉光的波长为 5461A0,求反射镜移动多少?(保留四位有效数字) 。

§11-3 光的衍射
【基本内容】 一 光的衍射现象
光的衍射现象:光能绕过障碍物边缘传播,形成明暗相间的衍射图像。 1、 衍射分类 菲涅尔衍射:光源和观察者距障碍物的距离,其中之一为有限远的衍射现象。或进出障 碍物的光线,其中之一为非平行光的衍射现象。 夫朗和费衍射:光源和观察者距障碍物的距离,均为无限远的衍射现象。或进出障碍物 的光线,均为平行光的衍射现象。 2、惠更斯——菲涅尔原理 惠更斯原理:波阵面上的各点,均可视为发射子波的波源。其后任一时刻,这些子波的 包迹面,决定新的波阵面。 惠更斯——菲涅尔原理:同一波阵面上各点发出的子波,经传播在空间各点相遇时,该 点的强度由各子波在该点的相干叠加决定。

二 单缝夫朗和费衍射
1、菲涅尔半波带法 把波阵面分成许多半波带,且使相邻两半波带中的各对应点到观察点 P 的光程差为λ

/2。 (1)相邻两波带发出的光线,在相遇点完全干涉相消。 (2)半波带数为偶数个时,相遇 点为暗条纹;半波带数为奇数个时,相遇点为明条纹。 2、单缝衍公式 暗条纹条件: a sin ? ? k? , k ? ?1,?2,?3,? ? a sin ? ? ( 2k ? 1) , k ? ?1,?2,?3, ? 2 明条纹条件: 近似条件: 中央明条纹最亮、最宽,各次级明条纹亮度依次减小。 3、条纹的宽度 角宽度: 某级明条纹相邻两暗条纹至透镜中心所张开的角度, 称为该级明条纹的角宽度。 ? ?? ? ? k ?1 ? ? k ? a 各级明条纹的角宽度——半角宽度: 中央明条纹的角宽度: 各级明条纹的角宽度为中央明条纹角宽度的一半, 称为半角宽度。 ? ?? 0 ? 2? 1 ? 2
a
sin ? ? tg? ? x f

各级明条纹线宽度:

?x ? xk ?1 ? xk ? f ?x ? 2 x1 ? 2 f

?
a

?

a 中央明条纹线宽度: 4、单缝衍射光谱 由单缝衍射公式知:用复色光作实验时,中央为复色光明纹,次级明纹按波长排列形成 光谱——波长短者在内,波长长者在外的衍射光谱。同一衍射条纹的各波长的光不重叠,不 同级衍射条纹各波长的光可能发生重叠。 5、衍射条纹的变动问题 ? ?x ? f a 确定。 衍射条纹的宽度变化:由 6、产生衍射现象的条件 当 a>>λ 时:各级衍射条纹的衍射角θ 很小,并入中央区域内,光线按直线传播。 当 a≈λ 时:才能产生明显的衍射现象。 当 a<<λ 时:各级衍射条纹的衍射角θ 很大,不能观察到第一极小值,屏上亮度分布均 匀。



光栅衍射

1、光栅:是由 N ( N ?? 1) 个等宽、等间距的平行狭缝组成的光学元件。 光栅常 d:光栅空间周期性的表示。d=a+b a——透光部分,b——不透光部分。 2、光栅衍射条纹 是多缝干涉和单缝衍射的总效果。 (1) 在几乎黑暗的背景上出现了一系列又细又亮的明 条纹—主极大。 (2)在相邻两主极大之间,有 N-1 个暗条纹和 N-2 个次极大。 3、主极大的位置。 d sin ? ? k? , k ? 0,?1,?2,?? x ? ftg? 4、缺级现象 若衍角θ 同时满足: (a ? b) sin ? ? k? , k ? 0,?1,?2,?
a sin ? ? k ' ? , k ' ? 1,?2,?

则衍角θ 所对应的 k 极主极大不出现,称第 k 极为缺级。此时,

k ?

a?b ' ' k , k ? ?1,?2, ? a

5、光栅光谱 根据 (a ? b) sin ? ? k? ,当用复色光实验时: (1)对同一极光谱,不同波长的光具有 不同的衍射角,即光栅能分解复色光形成光栅衍射光谱, (2)对较高极次的不谱,不同波长 的可能有重叠。



X 射线的衍射、布拉格方程

1、 1、 X 射线: 伦琴于 1985 年首先发现了一种人眼看不见的射线, 但能使照相底片感光, 使气体电离, 引起物质发出荧光,穿透力很强的射线。 X 射线是波长在 0.1 ?——100 ? 之间的电磁波。 2、X 射线的衍射 布拉格方程 2d sin ? ? k? , k ? 1,2,?? d 为晶面间距,称为晶格常数。

【典型例题】
【例题 9】 单缝夫朗和费衍射中,缝宽 a=4λ 。对应衍射角φ =30 的单缝波阵面可划分 为 4 个半波带。屏上第三级暗条纹对应的单缝波阵面可划分为 6 个半波带。若缝宽 a 减小一半,则原第三级暗条纹为 第一级明 条纹。 ? ? ? a sin ? ? 4? ? sin 30 0 ? 2? ? 4 ? 2 【分析】 (1) ? a sin ? ? 3? ? 6 ? 2 (2) 1 ? ? ? ? a ' sin ? ? a sin ? ? 3 ? ? (2 ?1 ? 1)
2 2 2
0

【例 11-10】 复色光λ 1 和λ 2 垂直入射到单缝上,λ 极小重合。-求 (1) (1) λ 1 和λ 2 的关系; (2)是否还有其它极小重合? 【解】 (1)由单缝衍射公式 a sin ?1 ? ?1 a sin ? 2 ? 2?2 因其重合, ?1 ? ? 2 ? ?1 ? 2?2 (2) ( 2)

1 的第一衍射极小与λ

2 的第二射

对于衍射极小的重合位置,两衍射角相等 k1 ? 1 a sin ? ? k1?1 ? ? 2 ? ?? k2 ?1 2 a sin ? ? k 2 ?2 ?

即当 k2 ? 2k1 时,相应两暗条纹重合。 【例 11-11】光栅衍射中, 入射光线由垂直入射变为斜入射时, 光谱线的最高极次 k 增 大 ;若光线垂直入射,要在屏幕上观察高极次的光谱线,光栅常数 d 应 增大 。 d sin ? d d sin ? ? k? ? k ? ? ? ? 可得: k 的 【分析】 (1)当光线垂直入射时,由
d

最大值为小于 ? 的整数 当光线以 ? 角斜入射时,由

d (sin? ? sin ? ) ? k? ? d (sin? ? sin ? ) d (1 ? sin ? ) k ? ?

d (1 ? sin ? )
可得: k 的最大值为小于

?

?

?

的整数。显然,斜入射时的最高级次大于正入射

时的最高级次。
d

(2)当光线垂直入射时,由(1)知: k 的最大值为小于 ? 的整数,因此,当 d 增大 时最高级次也增大。 【例 11-12】 复色光λ 1=450nm,λ 2=150nm 的光栅光谱中,重叠处λ 2 的谱线极数为 3,6,9,12,? 。 【思路】 由 d sin ?1 ? k1?1 , d sin ? 2 ? k2?2 得,重叠时: k1?1 ? k 2?2 ,所以,

?1 3 k ? k , k ? 5,10,15?, k 2 ? 3,6,9? ?2 1 5 1 1 【例 11-13】 单色光λ =6000A0 垂直入射到 a=2×10-3 cm ,每厘米有 200 条刻痕的光 栅上。若透镜的焦距 f=1m 求: (1) (1) 衍射的中央明条纹宽度; (2)在该宽度内有几个光栅衍射主极大? a sin ? ? k? 【解】 (1)由 x ? ftg? 得:
k2 ?

若 x〈 〈f,则当 k=1 时, 中央明条纹宽度 ?x ? 2 x ? 0.06 m 。 (2) ( 2)

x ? ftg? ? f sin ? ?

f? ? 0.03m a

由主极大的角位置 ? 以及 x 与 ? 的关系,得 (a ? b) sin ? ? k? ? x ? 2.5 ? ? k ? (a ? b) x ? ftg? ? f sin ? ? f? 取 k 可取整数 2,则在中央明纹范围内共有 k=0,±1,±2 共五个主极大。 -2 【例 11-14】单缝夫朗和费衍射中,已知缝宽 a=1.0×10 cm,透镜焦距 f=50cm。用复 色光λ 1=4000A0,λ 2=7600A0 垂直入射。求: (1) (1) 两种光第一级衍射明条纹中心距离; -3 (2)若用 d=1.0×10 cm 的光栅代替单缝,则两种光第一主极大之间的距离为多少? 【解】 (1)由单缝衍公式及 x 与 ? 的关系可得: ? 3 ? a sin ? ? ( 2k ? 1) ? ? ?
2 x ? ftg? ? f sin ? x2 ? x1 ? 2

3 f ?? ?? x ? 2 a ? ?

3 f (? 2 ? ?1 ) ? 0.27cm 2 a

(2)

( 2)

由光栅衍公式 d sin ? ? k? 及 x 与 ? 的关系可得: d sin ? ? ? ? f ?? ?? x ? x ? ftg? ? f sin ? ? d
x2 ? x1 ? f (?2 ? ?1 ) ? 1.8cm d

【例 11-15】 单色光λ =6000? 垂直照射到光栅上,测得第二主极大衍射角θ =300,第 三级缺级。求: (1) (1) 光栅常数 a+b=? (2) (2) 最小缝宽 a (3)在上述 a+b 和 a 的光栅衍射中,屏上出现的主极大级次。 【解】 (1)由光栅方程 (a ? b) sin ? ? k? 得: k? a?b ? ? 2.4 ? 10 ? 4 (cm ) sin ?

a?b k ? / ' a k ,对最小 a, k ? 1, k ? 3 (2)第三级缺级, 1 a ? (a ? b) ? 0.8 ? 10 ? 4 (cm ) 3 a?b k ? ?4 ( a ? b ) sin ? ? k ? ? (3)由光栅方程 得:最大干涉级 ,即可取的

最大级次为 3,K=4 对应于θ =±π /2,屏上观察不到。而 k=3,6,9 缺级,故屏上出现 k ? 0,?1,?2, 共 5 条明条纹。 【例 11-16】 复色光λ 1=6000A0,λ 2=4000A0 垂直入射到光栅上。距中央明条纹 5cm 处λ 1 光的第 k 级主极大与λ 2 光的第 k+1 级主极大重叠。透镜焦距 f=50cm。求: (1) (1) 求干涉级 k; (2)求光栅常数 d。 【解】由光栅公式得: d sin ?1 ? k?1 d sin ? 2 ? (k ? 1)?2 ,重叠时 sin ?1 ? sin ? 2 ,故
k?1 ? (k ? 1)?2 ? k ?

(1) (1) 因为 x ?? f,所以 x ? ftg? ? f sin ? d sin ?1 ? k?1 k?1 f d ? ? 1.2 ? 10 ?3 (cm ) x ? f sin ? , x

?2 ? ?1

?2

?2

【分类习题】
【11-28】 惠更斯—菲涅耳原理的基本内容是:波阵面上各面积元发出的子波在观察点 ,决定了此点的合振动及光强。 【11-29】 惠更斯引入 的概念,菲涅耳再用 的思想补充了惠更斯原理。 【11-30】 在单缝夫朗和费衍射装置中,将缝的宽度稍微变宽,同时将单缝向上移。则 屏上的中央明纹将 (填变宽、变窄、不变)同时将 移动(填向上、向下、不) 。 的 【11-31】 波长为 600 nm 的单色光垂直入射到宽为 0.60 mm 的单逢上,缝后有一焦距 为 60cm 的透镜,在透镜焦平面上观察衍射图样。求 (1) ( 1) 中央明纹宽度; (2) ( 2) 两个第三级暗纹间距。 【11-32】 波长为 ? 的单色光垂直入射到单逢上,如图 11-32。如对应于汇聚在 P 点的 衍射光线在缝宽为 a 的波阵面恰好分为三个半波带, 图中 AB ? BC ? CD 。求光线1 和 2 在 P 点的位相差。 【11-33】 下列光栅常数中,能准确测定可见光波 ???? 长的是 A 1 光 ?1 B m, (2) 5 ? 10?1 m m , (1) 10 m 轴 2 P C 3 ?2 ?3 (3) 10 ? m m , (4) 10 m m 。 D 4 【11-34】 一双缝间距为 0.40 mm ,两缝宽度都为

图11-32

0.08mm 。用波长为 4800A0 的平行光垂直入射,在双缝 后放一焦距为 2.0 m 的透镜。求: (1) 图11-51 (1) 在透镜焦平面的屏上干涉条

纹的间距; (2)在单缝衍射中央明纹宽度范围内的干涉条纹数目及相应的级数。

i 600 nm 的复色光垂直入射到每厘米有 5000 条刻线的 【11-35】 波长范围为 450 nm ?
0

光栅上,屏上第二级光谱线各色光在屏上所占宽度为 35 .1cm 。求透镜的焦距。

n1

?3 【11-36】 一衍射光栅每厘米有 200 条透光缝,缝宽为 2 ? 10 cm 。在光栅后放焦距为

1.0m 的凸透镜,以λ =6000A0 的单色光垂直入射。
(1) (1) 求单逢衍射中央明纹宽度为多少? (2)在中央明纹宽度内,有多少主极大?

um 谱线的衍射角为 ? ? 200 ,如果 【11-37】 光垂直入射到光栅上,测得 ?1 ? 0.668
在同样衍射角 ? 处出现波长 ?2 ? 0.447um 的更高级次的谱线,那么光栅常数最小是多少? 【11-38】 当平行单色光从垂直于光栅平面入射变为斜入射时,能观测到的最高级次将 (填变大、变小、不变) 。 【11-39】 光栅每厘米有 5000 条刻痕,用它来观察钠黄光谱线 (? ? 589nm) 。求: (1)当光线垂直入射时,能观测到的最高级次; (2)当光以 300 的入射角(入射线与光栅平面的夹角)斜入射的光栅上时,能观测到 的最高级次。 【11-40】 一束平行单色光垂直入射到光栅上,当光栅常数 (a ? b) =

a 时( a

为缝宽) , k ? 3,6,9,... 级次的主极大不出现。 【11-41】 一单色平行光垂直入射到光栅上, 如光栅透明部分宽度等于不透明部分宽度, 则可能看到的级次为 。

§13-4

光的偏振

【基本内容】 一 自然光和偏振光

1、自然光 普通光源发出的光,其光矢量的振动方向,没有任何一个方向更具有优势,这种光称为 自然光。 自然光正交分解:自然光可以等效地视为两个无确定的位相关系的,独立的,互相垂直 的,振幅相等的光。显然,这两个光不能进行正交合成。 2、偏振光 振动面:光矢量的振动方向与光的传播方向构成的平面。 线偏振光(完全偏振光、平面偏振光) :光矢量只沿一个固定的方向振动的光。 部分偏振光: 光矢量的振动方向可沿垂直于传播方向的各个方向振动, 但某些方向的光 矢量的振动,较其它方向的光矢量的振动更具有优势。 圆偏振光和椭圆偏振光:这两种光的光矢量,在垂直于光的传播方向的平面内,按一定 的频率旋转(左旋或右旋) 。圆偏振光——光矢量旋转时,矢端轨迹为一个圆;椭圆偏振光 ——光矢量旋转时,矢端轨迹为一个椭圆。



起偏和检偏

1、偏振片的起偏和检偏 偏振片 P:是具有二色性(选择性)的物质作成的薄片,它能吸收某一方向的光振动, 而让与该方向垂直的光振动通过。 偏振化方向(透光轴)——吸收光振动最少的方向,用“ ? ”表示。 偏振片的起偏和检偏:使光通过偏振片产生偏振光,称为起偏;用偏振片检验光的偏振 状态时,称其为检偏器。 2、马吕斯定律

数学表达式: I ? I 0 cos ? 其中:I 为通过起偏器的透射光强度,I0 为入射线偏振光的强度。α 为入射偏振光的光 振动方向与偏振片的偏振化方向之间的夹角。 3、反射和折射时的偏振 自然光在两种介质分界面上发生反射和折射时,光的传播方向和偏振方向均要发生改 变。 (1)一般情形 反射光和折射光是部分偏振光。 反射光中, 垂直于入射面的振动多于平行于入射面的振 动,折射光中,平行于入射面的振动多于垂直于入射面的振动。 (2)特殊情形——布儒斯特定律
2

当入射角满足反射光线和折射光线垂直时,即 射面的线偏振光,折射光仍为部分偏振光。式中 i0 称为布儒其特角。

tgi0 ?

n2 ? n21 n1 ,则反射光为垂直于入



双折射现象

1、光的双折射 双折射现象:当光线向某些介质入射时,折射光线分成两束的现象。 O 光:折射光线中,遵守折射定律的光线,叫寻常光线; e 光:折射光线中,不遵守折射定律的光线,叫非常光线。 2、晶体的光学性质 光轴: 当光线沿晶体内部某一方向传播时, 不产生双折射现象, 称该方向为晶体的光轴。 光在晶体中内沿光轴方向传播时,o 光和 e 光的传播速度及折射率相等。 单轴晶体:有一个光轴的晶体,如方解石、石英、红宝石等。 双轴晶体:有两个光轴的晶体,如云母、硫磺、蓝宝石等。 O 波面和 e 波面:晶体内部的某一子波源,因晶体的各向异性,将发出两组子波。O 波 面——子波源发出球面波,相应于 o 光,表示各方向光速相等。e 波面——子波源发出旋转 椭球面波,相应于 e 光,表示各方向光速不相等 晶体的主折射率:在光轴方向,o 光和 e 光的传播速度相等,o 光和 e 光的两波面相切; 垂直于光轴方向:O 光与 e 光的传播速度相差最大。定义 ve 垂直于光轴方向的速度,则晶 体的主折射率:
c c ne ? v0 , ve vo ? ve 的晶体称为正晶体,如石英; vo ? ve 的晶体称为负晶体,如方解石。 no ?

3、单轴晶体中 O 光和 e 光的传播方向 主平面:某光线的传播方向和光轴方向所组成的平面,称为该光线的主平面。 O 光和 e 光的振动方向:O 光的光振动方向垂直于 O 光线的主平面;e 光的振动在 e 光 主平面内。

【典型例题】
【例 11-17】 自然光入射到重叠在一起的两个偏振片上,测得透射光强为最大透射光 强的 1/3,忽略晶体的吸收。求: (1) (1) 两偏振片偏振化方向之间的夹角; (2)若透射光强为入射光强的 1/3,求两偏振片偏振化方向之间的夹角。 【解】 1)当 P1和 P2的偏振化方向平行时透射光强最大,即 I m ? I 0 / 2 。 设 P1、P2偏振化方向之间的夹角为θ ,由马吕斯定律得 I 2 ? I m cos2 ? ? I m / 3 cos2 ? ? 1 / 3 所以

即 (2)依题意:

θ ≈54.7°
1 1 I 0 ? I 0 cos 2 ? ? 3 2 2 cos ? ? ? 2 / 3 ? θ ′=35.3° I2 ?

【分类习题】
【11-42】 两偏振片叠在一起,一自然光垂直入射时没有光通过。当其中一偏振片缓慢 转过 1800 的过程中,透射光强的变化为 (1) (1) 单调增加; (2)先增加后减少再增加; (3)先增加,后减少到 0; (4)先增加,后减少,再增加,最后减少到 0。 【11-43】 用相互平行的自然光和线偏振光构成的混合光,垂直入射到偏振片上。以光 的传播方向为轴旋转偏振片,发现透射光强最大值与最小值之比为 5 : 1 ,求入射光中,自然 光与偏振光的强度之比。 【11-44】 一自然光通过两偏振片,如两偏振化方向的夹角由 ?1 变到 ? 2 ,则出射光强 度之比为 。 【11-45】 将三个偏振片依次叠在一起,第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个偏 振片的偏振化方向成 450 和 900。 (1) (1) 用强度为的自然光垂直入射,求经过每个偏振片后的光强; (2)如将第二个偏振片抽走,求通过其余两个偏振片的光强。 【11-46】 两偏振片叠在一起,欲使一垂直入射的线偏振光经过这两偏振片后,振动方 向转过 900,且使出射光强最大,那么入射光振动方向和两偏振片的偏振化方向之间的夹角 应如何选择?这种情况下的最大出射光强与入射光强的比值是多少? 【11-47】 自然光以 600 入射角入射到某透明介质表面时,反射光为线偏振光,则折射 图11-22 。 光为 ,折射角为 【11-48】 在图 11-48 中画出反射光和折射光的振动方向。 i 0 为布儒斯特角, i ? i0 。 【11-49】 一束光垂直入射到偏振片上,以入射光线为轴转动偏振片,观察出射光强的

i0 i0 i i0 i0 i0

图11-48
变化。 若入射光为 光, 将看到光强不变; 若入射光为 光, 将看到明暗交替变化, mv 2/2 有时出现全暗;若入射光为 光,将出现明暗交替变化,但不出现全暗。 【11-50】 如图 11-50,三种媒质的折射率 n1 , n2 , n3 分别为 1.33,1.50,1.00。两交界 面相互平行。若自然光入射到 ? 和 ?? 媒质交界面,反射光为线偏振光。 (1) (1) 求入射角; (2)媒质 ?? 和 ??? 交界面上的反射光是否线偏振光? 【11-51】 ABCD 为一方解石晶体,其光轴如图 11-51。一自然光垂直于 AB 面入射, 则在晶体内 o 光与 e 光传播方向 (填相同、不同) 。电磁振动方向相互 (填平 行、垂直) 。 【11-52】一束线偏振光 (? ? 589nm) 垂直入射到方解石晶体上, 晶体光轴与表面平行,

, ne ? 1.486。 如图 11-52。 已知方解石晶体 no ? 1.658 则在晶体内对应波长 ?o ?



?e ?



i0

n1 n2 n3 图11-50

光 轴 ?

光 轴

i

光轴

图11-51

图11-52

图11-54

【1-53】 在光学各向异性晶体内有一确定方向,沿这一方向寻常光和非常光的 相 等,这一方向称为光轴。只具有一个光轴的晶体叫 晶体。 【11-54】 负晶体构成的正三角形棱镜,光轴如图 11-54。如自然光以入射角 i 入射,在 图上定性画出 o 光与 e 光的光路及振动方向。

§11-5

光的量子性

【基本内容】 一 光电效应

1、光电效应:当光照射到金属表面时,电子从金属表面逸出的现象,称为光电效应。 光电效应中从金属表面逸出的电子,称为光电子。光电子运动形成的电流,称为光电流。 2、光电效应的实验规律: 规律一:单位时间内从阴极逸出的光电子数与光强成正比。 im 0 ? I 规律二:光电子的动能与照射光的频率成线性关系,与光强无关。 mv2 / 2 ? eK? ? eU0 规律三:存在红限频率? 0 ,无论照射光的强度多大,照射时间多长,若 ν <ν 0,则不 产生光电效应。 3、爱因斯坦光子假说 (1)光子假说 一束光(电磁波)是以光速运动的粒子流,这些粒子称为光量子(光子) 。 ?34 ? ? h ? 一个光子的能量: , h ? 6.63?10 J ? S ,称为普朗克常数。 I ? Nh ? 光的强度: ,N——单位时间内通过单位横截面积的光子数。 (2)光的波粒二象性 光的波动性(λ ,ν )——由光的干涉、衍射现象证明。 光的粒子性(ε ,m,p)——由光电效应、康谱顿效应证明。 两者通过普朗克常数 h 而联系起来。

? ? h? , p ?
(3) (3) 爱困斯坦光电效应方程

h

?

,m ?

h ?c

1 mv 2 ? h? ? A 2



康谱顿效应

1、康谱顿效应:X 射线被晶体散射后,散射线波长包含波长不变和波长变长的两部分, 其中波长变长的部分称为康谱顿效应。 2、康谱顿效应的解释——康谱顿散射公式
?? ? ? ? ?0 ? h h (1 ? cos? ) ?e ? ? 0.024A0 me c m c e , ,叫电子的康谱顿波长

3、光电效应和康谱顿效应的区别 两种效应都是光子与物质中电子的相互作用, 但前者是电子吸收光子的过程, 后者是电 子与光子的完全弹性碰撞过程。 光电效应中,物质中的电子不能视为自由电子;康谱顿效应中,物质中的电子可视为自 由电子(因两种入射光子的能量相差很大) 。

【典型例题】
0 【例 11-18】波长 ? ? 0.1A 的 X 射线与静止的自由电子碰撞。在与入射方向成 90° 的方向观察时,散射 X 射线的波长多大?反冲电子的动能和动量各如何? 【解】 如图例 11-18 图解所示,由康谱顿散射公式 ?? ? ? ? ?0 ? ?c (1 ? cos? ) ? ?c (1 ? cos? / 2) ? ?c 由此得康普顿散射波长为 ? ? ?0 ? ?c ? h/? 至于反冲电子,根据能量守恒,它所获得的动能 E K 就等

h/?0

于入射光子损失的能量,即

?
Pe
例11-18图解

x

根据动量守恒,有

?0? P n1 4 ? 3.8 ?10 ( J ) ? 2.4 ?10 (eV ) n2 e
?15

EK ?? h? 0 ? h? ? hc(

1

?0

?

1

?

)?

hc??

pe n cos ? ? h / ?0 3 pe sin ? ? h / ? 例11-6图 两式平方相加并开方,得 2 1/ 2 (?2 0 ?? ) pe ? h ? 8.5 ? 10?23 kg ? m / s ?0 ?
cos? ? h ? 0.78 pe ?0 ,θ =38°44′
0

【例 11-19】 从铝表面逸出一个电子需要的能量为 4.2eV。今有波长为 ? ? 1000 A 的 光线入射到铝表面,求: (1) (1) 光电子的最大动能 E K ; (2) ( 2) 铝的红限波长 ?0 ; (3)遏止电压 U 0 。 【解】 (1)由爱因斯坦方程得光电子的最大动能:
1 hc mv 2 ? h? ? h? 0 ? ? h? 0 ? 8.2eV 2 ?

(2)由红限公式
A ? h? 0 ? hc

?0

? ?0 ? hc ? 2958 A0 A

(3)

( 3)

由遏止电压
EK ? eU0 ? U 0 ? EK / e ? 8.2V

【例 11-20】在康普顿实验中,当能量为 0.5MeV 的 X 光的光子射中一个电子时,该 电子获得 0.2 MeV 的能量,假设电子原来是静止的,求: (1) (1) 散射光子的波长、能量、动量和质量; (2) (2) 散射光子与入射方向的夹角。 【解】 (1)由于电子获得的动能是入射光子和散射光子间的能量差,即

Ek ? mc2 ? m0 c 2 ? h? ? h? 0
可得散射光子的能量

h? ? h? 0 ? Ek ? 0.30MeV
散射光子的波长

??
散射光子的动量

c

?
h

?

hc ? 4.05 ? 10 ?12 m h?

P?
散射光子的质量

?

? 1.6 ? 10 ?22 kg ? m / s P ? 5.33 ? 10 ?31 kg c

m?
(2) 入射 X 射线的波长

hc ? 2.49 ? 10?12 m ? 0 h? 0 ? ? ?0 ? ?C (1 ? cos? ) 可得 由康普顿散射公式 ? ? ?0 cos? ? 1 ? ? 0.317 ? ? ? 71.50

??

c

?

?C

【分类习题】
【11-55】 光子波长为 ? ,则其能量为
14

;动量大小为
14

;质量为



【11-56】 如制造可见光 (3.9 ?10 Hz ? ? ? 7.5 ?10 Hz) 下工作的光电管,应选用 下面第 种材料(元素后面的数字表示逸出功) (1)铍 3.9eV ; (2)钯 5.0eV ; (3)铯 1.9eV ; (4)钨 4.5eV 【11-57】 光电效应中, 电子初动能随入射光频率的变化关系如图 11-57。 下列 图11-10 表示普朗克常数 h 式 图11-11

mv /2

2

(1) OQ ; (2) OP ;

I

0 P

Q

S 0 图11-58

OP / OQ ; (3 (4) QS / OS 。 U) 0(V) 【 11-58 】 以一定频率的单色 2 光照射到某金属上,测得其光电流 如图 11-58。如保持频率 v 不变,增 1 大光强。试在同一图上定性画其光 4 电流随电压的关系。 0 5 10 (10 Hz) 【 11-59 】 对于同一金属,当
图11-61

图11-57

照射光的波长从 4000A0 减少到 3000A0 时,在光电效应实验中,测得其截止电压将增大

V。
【 11-60 】 将波长为 3000A0 的单色光照射到某金属上,光电子的能量范围从 0 到

4.0 ? 10?19 J 。则此光电效应试验的截止电压 U a ? Hz 。 率为 v0 ?

,此金属的红限频

I

0 图11-58

图11-11 图11-10 【 11-61】 图 11-61 为一光电效应实验曲线。 (1) (1) 求证:不同材料的金属, AB 线 的斜率相同; U0(V) (2)由图上数据求普朗克常数 h 。 2 【11-62】 康普顿散射的主要特点是:散射光中有 些波长比入射光的波长 (填长、短) ,有些波长与 1 入射光波长相同, 这些均与散射体的性质 (填有关、 无关) 。 14 0 5 10 (10 Hz) 0
【11-63】 用波长 1.00 A 的 X 射线在碳块上作散射实
0

图11-61
(1) (2) (3) (1) (2) (3)

验,若散射角 ? ? 60 ,求: 散射 X 射线的波长; 反冲电子的动能; 反冲电子的速度。
0

【11-64】在康普顿散射中,入射光子的波长为 0.030 A ,反冲电子的速度为光速的 60 % , 求散射光子的波长和散射角。


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