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2.4.1等比数列-- 人教版






等差数列 如果一个数列从第2项 起,每一项与前一项 的差等于同一个常数, 那么这个数列叫做等 差数列.这个常数叫做 等差数列的公差,用d 表示

定 义

数学式 子表示

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

通项公式


学习目标:
a1, an , q

1.理解等比数列的定义; 2.掌握等比数列的通项公式.

学习重点:
1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用.

A 等比数列

×

小学数学中渗透等比数列举例
1、按规律写数 (1)3,6,12,24, 48 , 96 , 192 . (2)5,10, 20 ,40, 80 ,160, 320 . 2、用分数表示图中黑色部分
1 2
1 4

1 8

1 16

比一比
(1)
(2) (3)
(4)

1, 2, 2 , 2 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

2

3

……

,2

63

9,92,93,94,95,96,

9

7

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

共同特点?从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数。

一.等比数列定义
一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它 的前一项的 比 等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫 做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示。

其数学表达式:

an ? q(n ? 2) an?1
思考:



an?1 ? an ? q ?

an?1 * ? q(n ? N ) an

an ? 0





等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起,每一项与前一项 项起,每一项与它前 的差等于同一个常数,一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列 的公比,用q表示 表示

数学式 子表示

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

a a

n ?1 n

?q

通项公式

观察数列 ( 1) (2) (3)

2,4,8,16,32,64.
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

公比 q=2 递增数列
1 公比 q= 递减数列 2

1,3,9,27,81,243,… 公比 q=3 递增数列

(4) 1,-1,1,-1,1,… (5)

公 比q= -1 摆动数列

5,5,5,5,5,5,… 公比 q=1 非零常数列

以上6个数列的公比分别为…

an ?1 ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0) an

练一练
1、判别下列数列是否为等比数列?
2 1 …… (1) 2 , 1, , , 是 2 2 不是 (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……
(3)2, 2, 2, 2, …
(4)1, 0, 1, 0 ……
2 2

q=

是 不是

q= 1

2、指出下列数列是不是等比数列,若是, 说明公比;若不是,说出理由. (1) 1,2, 4, 16, 64, … (2) 16, 8, 1, 2, 0,… 不是 不是

(3) 2, -2, 2, -2, 2
(4) a, a, a, a, a …


不一定

a?0





等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起,每一项与前一项 项起,每一项与它前 的差等于同一个常数,一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列 的公比,用q表示 表示

数学式 子表示

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

an?1 ?q an

通项公式

?

二、等比数列的通项公式:
思考:如何用a1和q表示第n项an?
?

方法:叠加法

等 a2 ? a1 ? d 差 a ?a ? d 3 2 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ? 1)d

类比

等 比 数 列

累乘法 a2 ? q a1
a3 ?q a2

×) an ? q
an ?1

……

a4 ?q a3

共n – 1 项

an ? q n ?1 a1

通项公式的推导: a n?1?a n ?d
等差数列通项公式的推导(归纳法)

a n ?1 ?a n q
等比数列通项公式的推导(归纳法)

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d

? a1 ? 2d

? (a1 ? d ) ? d

a2 ? a1q a3 ? a2 q ? (a1q)q 2 ? a1q
a4 ? a3q ? (a1q )q
2

a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d

? a1q

3

? a1 ? 3d

… …
1

a ? a ? (n ?1)d
n

… … n ?1 a n ? a1 q

?

等比数列的通项公式:

an ? a1q

n ?1

6.3 等比数列

巩 固 知 识 典 型 例 题

例1 解

a1 ? 5,q ? 3, 求 a2、a3、a4、a5. 在等比数列 {an }中,

a2 ? a1 ? q ? 5 ? 3 ? 15, a3 ? a2 ? q ? 15 ? 3 ? 45, a4 ? a3 ? q ? 45 ? 3 ? 135, a5 ? a4 ? q ? 135 ? 3 ? 405.

你能很快 写出这个数 列的第101项 吗?

求下列等比数列的第4,5项: (1) 5,-15,45,…

an ? a1 ? q

n?1

a4 ? 5 ? (?3)
( 4)
a4 ?

4?1

5?1 a ? 5 ? ( ? 3 ) ? 405. ? ?135, 5

2 ,1,

2 ,? 2
4 ?1

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

1 ? , a5 ? 2

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

5?1

2 ? , 4

例.一个等比数列的第3项和第4项分别是12
和18,求它的第1项和第2项.
解 :用{an} 表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有

a3 ? 12, a4 ? 18,
?a1q ? 12 即? 3 ?a1q ? 18
2

an ? a1 ? q

n?1

解得

16 a1 ? 3

3 q? 2
3 2

因此, a ? a q ? 16 ? 3 ? 8 2 1

答:这个数列的第1项与第2项分别是

16 与8. 3

练习.等比数列 {an } 中 a2 ? 8, a5 ? 27

求 a1 , a7
解:设这个等比数列的首项为a1,公比为q 则
a1q ? 8(1) { 4 a1q ? 27(2)
(2) ? (1)
3 (3) 2

得:q=

将(3)代入(1)得:
n ?1

16 3 n ?1 ? an ? a1q ? ? ( ) 3 2 16 3 6 243 6 ? a7 ? a1q ? ? ( ) ? 3 2 4

16 a1 ? 3

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0

三、等比数列的图像 ●
数列:1,2,4,8,16,… 2


n

● ● ●

y?2
4 5 6 7 8 9

x

1

2

3

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

(2)数列:


1 1 1 8, 4, 2,1, , , , ? 2 4 8



● ● ●

1 x y ? a( ) 2


?an ?的图象是其对应的 结论: 等比数列
函数的图象上一些孤立 的点

1

2

3

4

5

6



7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等比数列的图象3
数列:4,4,4,4,4,4,4…





















1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等比数列的图象4
数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,…

y ? sin x
● ● ● ● ●

1

2


3

4


5

6


7

8


9

10


等比数列的图像,表示这个数列的各点均在函 数的图象上的一些孤立点.





等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起,每一项与前一项 项起,每一项与它前 的差等于同一个常数,一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列 的公比,用q表示 表示

数学式 子表示

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

an ? 1 ? q an
a ? a ?q
n 1 n?1

通项公式

习题2.4

第1 (2)(4)、 8(1)题

等比数列的通项公式作业


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