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函数解析式的练习题兼答案


函数解析式的求法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; 1.已知 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=x+2,则 f(x)=( ) A.x+1 B.2x﹣1 C.﹣x+1 D.x+1 或﹣x﹣1 【解答】解:f(x)是一次函数,设 f(x)=kx+b,f[f(x)]=x+2, 可得:k(kx+b)+b=x+2.即 k2x+kb+b=x+

2,k2=1,kb+b=2. 解得 k=1,b=1.则 f(x)=x+1.故选:A. (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值 范围; 9.若函数 f(x)满足 f(3x+2)=9x+8,则 f(x)是( ) A.f(x)=9x+8 B.f(x)=3x+2 C.f(x)=﹣3﹣4 D.f(x)=3x+2 或 f(x)=﹣3x﹣4 【解答】解:令 t=3x+2,则 x= ,所以 f(t)=9× +8=3t+2.

所以 f(x)=3x+2.故选 B. (3)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后 以 x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式; 18.已知 f( )= ,则( )

A.f(x)=x2+1(x≠0) C.f(x)=x2﹣1(x≠1) 【解答】解:由 得 f(x)=x2﹣1, 又∵ ≠1,

B.f(x)=x2+1(x≠1) D.f(x)=x2﹣1(x≠0) ,

∴f(x)=x2﹣1 的 x≠1. 故选:C. 2 19.已知 f(2x+1)=x ﹣2x﹣5,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=4x2﹣6 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x2﹣2x﹣5



【解答】解:方法一:用“凑配法”求解析式,过程如下: ; ∴ .

方法二:用“换元法”求解析式,过程如下: 令 t=2x+1,所以,x= (t﹣1) , ∴f(t)= (t﹣1)2﹣2× (t﹣1)﹣5= t2﹣ t﹣
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∴f(x)= x2﹣ x﹣

,故选:B.

(4)消去法:已知 f(x)与 f 或 f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另 外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). 21.若 f(x)对任意实数 x 恒有 f(x)﹣2f(﹣x)=2x+1,则 f(2)=( ) A.﹣ B.2 C. D.3

【解答】解:∵f(x)对任意实数 x 恒有 f(x)﹣2f(﹣x)=2x+1, ∴用﹣x 代替式中的 x 可得 f(﹣x)﹣2f(x)=﹣2x+1, 联立可解得 f(x)= x﹣1,∴f(2)= ×2﹣1= 故选:C

函数解析式的求解及常用方法练习题 一.选择题(共 25 小题) 2.若幂函数 f(x)的图象过点(2,8) ,则 f(3)的值为( A.6 B.9 C.16 D.27 3.已知指数函数图象过点 A. B.4 C. D.2 ,则 f(﹣2)的值为( ) )

4.已知 f(x)是一次函数,且一次项系数为正数,若 f[f(x)]=4x+8,则 f(x) =( )A. B.﹣2x﹣8 C.2x﹣8 D. 或﹣2x﹣8

5.已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1) ,若 f(1)=2,则函数 f(x)的解析式为 ( ) A.f(x)=4x 6. 已知函数 A.﹣3 B. C. D.3 ,若存在唯一的 x,满足 f(f(x) )=8a2+2a, )A. B. C. ) D.2 B.f(x)=2x C. D. , 则( f 0) 等于 ( )

7.设函数 f(x)= 则正实数 a 的最小值是(

8.已知 f(x﹣1)=x2,则 f(x)的表达式为( A.f(x)=x2+2x+1 B.f(x)=x2﹣2x+1 C.f(x)=x2+2x﹣1 D.f(x)=x2﹣2x﹣1
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10.已知 f(x)是奇函数,当 x>0 时 =( A. ) B. C.

,当 x<0 时 f(x)

D.

11.已知 f(x)=lg(x﹣1) ,则 f(x+3)=( ) A.lg(x+1) B.lg(x+2) C.lg(x+3) D.lg(x+4) 12.已知函数 f(x)满足 f(2x)=x,则 f(3)=( ) A.0 B.1 C.log23 D.3 13.已知函数 f(x+1)=3x+2,则 f(x)的解析式是( ) A.3x﹣1 B.3x+1 C.3x+2 D.3x+4 14.如果 A. B. C. ,则当 x≠0 且 x≠1 时,f(x)=( D. ,则函数 f(x)=( ) )

15.已知

A.x2﹣2(x≠0) B.x2﹣2(x≥2) C.x2﹣2(|x|≥2) D.x2﹣2 16.已知 f(x﹣1)=x2+6x,则 f(x)的表达式是( ) 2 2 2 2 A.x +4x﹣5 B.x +8x+7 C.x +2x﹣3 D.x +6x﹣10 17.若函数 f(x)满足 +1,则函数 f(x)的表达式是( )

A.x2 B.x2+1 C.x2﹣2 D.x2﹣1 20.若 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x﹣1) ,则 g(x)的表达式为( ) A.g(x)=2x+1 B.g(x)=2x﹣1 C.g(x)=2x﹣3 D.g(x)=2x+7 22.已知 f(x)+3f(﹣x)=2x+1,则 f(x)的解析式是( ) A.f(x)=x+ B.f(x)=﹣2x+ C.f(x)=﹣x+ D.f(x)=﹣x+

23.已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x) 3 2 =x +x +1,则 f(1)+g(1)=( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 24.若函数 f(x)满足:f(x)﹣4f( )=x,则|f(x)|的最小值为( A. B. C. D. ) )

25.若 f(x)满足关系式 f(x)+2f( )=3x,则 f(2)的值为( A.1 B.﹣1 C.﹣ D.

二.解答题(共 5 小题) 26.函数 f(x)=m+logax(a>0 且 a≠1)的图象过点(8,2)和(1,﹣1) . (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)令 g(x)=2f(x)﹣f(x﹣1) ,求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的 值.
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27.已知 f(x)=2x,g(x)是一次函数,并且点(2,2)在函数 f[g(x)]的图 象上,点(2,5)在函数 g[f(x)]的图象上,求 g(x)的解析式. 28.已知 f(x)= ,f[g(x)]=4﹣x,

(1)求 g(x)的解析式; (2)求 g(5)的值. 29.已知函数 f(x)=x2+mx+n(m,n∈R) ,f(0)=f(1) ,且方程 x=f(x)有 两个相等的实数根. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x∈[0,3]时,求函数 f(x)的值域.

30.已知定义在 R 上的函数 g(x)=f(x)﹣x3,且 g(x)为奇函数 (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 x>0 时,f(x)=2x,求当 x<0 时,函数 g(x)的解析式.

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函数解析式的求解及常用方法练习题参考答案与试题解析 一.选择题(共 25 小题) 2. 【解答】解:幂函数 f(x)的图象过点(2,8) ,可得 8=2a,解得 a=3,幂函 数的解析式为:f(x)=x3,可得 f(3)=27.故选:D. 3. 【解答】解:指数函数设为 y=ax,图象过点 析式为:y=2﹣x,则 f(﹣2)=22=4.故选:B. 4. 【解答】解:设 f(x)=ax+b,a>0 ∴f(f(x) )=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+8, ∴ , ,可得: =a,函数的解





∴f(x)=2x+ .故选:A. 5. 【解答】解:∵f(x)=ax(a>0,a≠1) ,f(1)=2, 1 ∴f(1)=a =2,即 a=2, ∴函数 f(x)的解析式是 f(x)=2x,故选:B. 6. 【解答】解:令 g(x)=1﹣2x=0 则 x=

则 f(0)=

= =3

故选 D

7. 【解答】解:由 f(f(x) )=8a2+2a 可化为 2x=8a2+2a 或 log2x=8a2+2a; 则由 0<2x<1;log2x∈R 知,8a2+2a≤0 或 8a2+2a≥1; 又∵a>0; 故解 8a2+2a≥1 得,a≥ ;故正实数 a 的最小值是 ;故选 B. 8. 【解答】解:∵函数 f(x﹣1)=x2 ∴f(x)=f[(x+1)﹣1]=(x+1)2=x2+2x+1 10. 【解答】解:当 x<0 时,﹣x>0,
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故选 A.

则 f(﹣x)=﹣

(1﹣x) , (1﹣x) .故选 D.

又 f(x)是奇函数,所以 f(x)=﹣f(﹣x)=

11. 【解答】解:f(x)=lg(x﹣1) ,则 f(x+3)=lg(x+2) ,故选:B. 12. 【解答】解:函数 f(x)满足 f(2x)=x,则 f(3)=f( 故选:C. 13. 【解答】∵f(x+1)=3x+2=3(x+1)﹣1 14. 【解答】解:令 ∵ ,则 x= )=log23.

∴f(x)=3x﹣1 故答案是:A

∴f(t)=

,化简得:f(t)=

即 f(x)=

故选 B

15. 【解答】解:

=



∴f(x)=x2﹣2(|x|≥2) .故选:C. 16. 【解答】解:∵f(x﹣1)=x2+6x, 设 x﹣1=t,则 x=t+1, ∴f(t)=(t+1)2+6(t+1)=t2+8t+7, 把 t 与 x 互换可得:f(x)=x2+8x+7.故选:B. 17. 【解答】解:函数 f(x)满足 +1= .

函数 f(x)的表达式是:f(x)=x2﹣1. (x≥2) .故选:D. 20. 【解答】解:用 x﹣1 代换函数 f(x)=2x+3 中的 x, 则有 f(x﹣1)=2x+1, ∴g(x+2)=2x+1=2(x+2)﹣3, ∴g(x)=2x﹣3,故选:C. 22. 【解答】解:∵f(x)+3f(﹣x)=2x+1…①, 用﹣x 代替 x,得: f(﹣x)+3f(x)=﹣2x+1…②; ①﹣3×②得: ﹣8f(x)=8x﹣2, ∴f(x)=﹣x+ ,故选:C. 23. 【解答】解:由 f(x)﹣g(x)=x3+x2+1,将所有 x 替换成﹣x,得 f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣x3+x2+1, 根据 f(x)=f(﹣x) ,g(﹣x)=﹣g(x) ,得
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f(x)+g(x)=﹣x3+x2+1,再令 x=1,计算得, f(1)+g(1)=1.故选:C. 24. 【解答】解:∵f(x)﹣4f( )=x,① ∴f( )﹣4f(x)= ,② 联立①②解得:f(x)=﹣ ∴|f(x)|= 故选 B. 25. 【解答】解:∵f(x)满足关系式 f(x)+2f( )=3x, ( ) ( ) , ,当且仅当|x|=2 时取等号,





①﹣②×2 得﹣3f(2)=3,∴f(2)=﹣1,故选:B. 二.解答题(共 5 小题) 26. 【解答】解: (Ⅰ)由 得 ,

解得 m=﹣1,a=2,故函数解析式为 f(x)=﹣1+log2x, (Ⅱ) g (x) =2f (x) ﹣( f x﹣1) =2 (﹣1+log2x) ﹣[﹣1+log( ]= 2 x﹣1) 其中 x>1,因为 ,

当且仅当

即 x=2 时,“=”成立, ,

而函数 y=log2x﹣1 在(0,+∞)上单调递增,则 故当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1. 27. 【解答】解:设 g(x)=ax+b,a≠0; 则:f[g(x)]=2ax+b,g[f(x)]=a?2x+b; ∴根据已知条件有: ;

∴解得 a=2,b=﹣3;∴g(x)=2x﹣3. 28. 【解答】解: (1)∵已知 f(x)= ,f[g(x)]=4﹣x,

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,且 g(x)≠﹣3.解得 g(x)= = .

(x≠﹣1) .

(2)由(1)可知:

29. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=x2+mx+n,且 f(0)=f(1) , ∴n=1+m+n.…(1 分) ∴m=﹣1.…(2 分) ∴f(x)=x2﹣x+n.…(3 分) ∵方程 x=f(x)有两个相等的实数根,∴方程 x=x2﹣x+n 有两个相等的实数根. 即方程 x2﹣2x+n=0 有两个相等的实数根.…(4 分) ∴(﹣2)2﹣4n=0.…(5 分) ∴n=1.…(6 分)∴f(x)=x2﹣x+1.…(7 分) (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 f(x)=x2﹣x+1. 此函数的图象是开口向上,对称轴为 ∴当 而 时,f(x)有最小值 的抛物线.…(8 分)

.…(9 分)

,f(0)=1,f(3)=32﹣3+1=7.…(11 分) .…(12 分)

∴当 x∈[0,3]时,函数 f(x)的值域是

30. 【解答】解: (1)∵定义在 R 上的函数 g(x)=f(x)﹣x3,且 g(x)为奇 函数,∴f(x)=g(x)+x3,故 f(﹣x)=g(﹣x)+(﹣x)3=﹣g(x)﹣x3=﹣ f(x) ,∴函数 f(x)为奇函数; (2)∵x>0 时,f(x)=2x,∴g(x)=2x﹣x3, 当 x<0 时,﹣x>0,故 g(﹣x)=2﹣x﹣(﹣x)3, 由奇函数可得 g(x)=﹣g(﹣x)=﹣2﹣x﹣x3.

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