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湖北省八校2014届高三第一次联考


湖北省

鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄 阳 四 中 襄阳五中 孝感高中

八校

2014 届高三第一次联考

数学试题(理科)
命题学校:黄冈中学 命题人: 审题人: 试卷满分 150 分 考试用 考试时间:2013 年 12 月 13 日下午 15︰00—17︰00 时 120 分钟

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试时间 120分钟.

★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效. 3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题卷 上无效.

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 方程 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 的一个根是( A. 1 ? 2i B. ?1? 2i ) C. 2 ? i
Q ? {0} ,则 P Q?(

D. 2 ? i ) D. {3,0,1, 2}

2. 集合 P ? {3,log 2 a} , Q ? {a, b} ,若 P A. {3, 0} 3. 下列命题,正确的是( B. {3, 0, 2} )

C. {3,0,1}

A.命题: ?x ? R ,使得 x 2 ? 1 ? 0 的否定是: ?x ? R ,均有 x 2 ? 1 ? 0 . B.命题:若 x ? 3 ,则 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的否命题是:若 x ? 3 ,则 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . C.命题:存在四边相等的四边形不是正方形,该命题是假命题. D.命题: cos x ? cos y ,则 x ? y 的逆否命题是真命题.
?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 4. 已知 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ≥ 0 ,则关于 x2 ? y 2 的说法,正确的是( ? 3x ? y ? 3 ≤ 0 ?



A.有最小值 1

B.有最小值

4 5

C.有最大值 13

D.有最小值

2 5 5

八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题

第1页

共4页

5. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0, x ? R) 有极值点,则( A. b2 ≤ 3ac B. b2 ≥ 3ac C. b2 ? 3ac D. b2 ? 3ac 6. 一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(

) 1 ) 1 1 1 1

1 A. 3 C. 2

2 B. 3 D. 1

正(主)视图

侧(左)视图

7. △ ABC 中,角 A, B, C 成等差数列是

sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B 成立的(
A.充分不必要条件 C.充要条件



B.必要不充分条件
俯 视 图

D.既不充分也不必要条件

第 6 题图

8. 在弹性限度内, 弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按 胡克定律 F ? kl 计算.今有一弹簧 原长 80cm ,每压缩 1cm 需 0.049 N 的压缩力,若把这根弹簧从 70cm 压缩至 50cm (在弹 性限度内) ,外力克服弹簧的弹力做了( A. 0.196 B. 0.294 )功(单位: J ) C.0.686 D.0.98

9.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧 面 BCC1 B1 内的动点,且 A1 F ∥平面 D1 AE ,记 A1 F 与平面 BCC1 B1 所成 的角为 ? , 下列说法错误的是( ) B. A1 F 与 D1 E 不可能平行 D. tan ? ? 2 2

D1

C1 B1

A1

F E D
C

A

B
第 9 题图

A.点 F 的轨迹是一条线段 C. A1 F 与 BE 是异面直线 10. 若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ?| x ? 集合是( )

1 1 | ? | x ? | 有四个公共点,则 k 的取值 x x 1 1 C. ( ? , ) 8 8 1 1 D. {? , } 8 8

1 1 A. {0, ? , } 8 8

1 1 B. [ ? , ] 8 8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11—14 题) 11. 平面向量 a , b 满足 | a |? 1,| b |? 2 ,且 (a ? b) ? (a ? 2b) ? ?7 ,则向量 a , b 的夹角为______.

1 12. 已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h 的关系是:r ? h ,把这个结论推广到空间正四 3 面体,则正四面体内切球的半径 r 与正四面体高 h 的关系是_________.

八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题

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13. 将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象向左平移

? 4? 个单位后得到的函数图象关于点 ( ,0) 成中 4 3 心对称,那么 | ? | 的最小值为________.
, am 是首项为 10,公差为 ?2 的等差数列; am?1 , am? 2 , , a2m 是

14. 无穷数列 {an } 中, a1 , a2 , 首项为

1 1 ,公比为 的等比数列(其中 m ≥ 3, m ? N* ) ,并且对于任意的 n ? N* ,都有 2 2 1 , 则 m 的取值集合为____________.记数列 {an } 的前 n 项和为 64

an ? 2 m ? an 成立.若 a51 ?

Sn ,则使得 S128m?5 ≥ 2013

(m ≥ 3, m ? N* ) 的 m 的取值集合为____________.

(二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结果计 分) 15.(选修 4—1:几何证明选讲) 已知⊙O1 和⊙O2 交于点 C 和 D,⊙O1 上的点 P 处 的切线交⊙O2 于 A、B 点,交直线 CD 于点 E,M 是⊙O2 上的一点,若 PE=2,EA=1, ?AMB ? 45 , 那么⊙O2 的半径为 . 16.(选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,曲线 C1 : ? ? 4 上有 3 个不同的点到曲线 C2 : ? sin( ? ? ) ? m 的距离等于 2,则 4 m ? ______ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (2sin(? x ? O1 P E A C O2 D M B

?

2? ),2) , b ? (2cos ? x,0) (? ? 0) ,函数 3

f ( x) ? a ? b 的图象与直线 y ? ?2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为 ? .

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的单调递增区间.

18. (本小题满分 12 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足: a2 ? a4 ? 18, S7 ? 91 .递 增的等比数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,满足: b1 ? bk ? 66, b2bk ?1 ? 128,Tk ? 126 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {cn } 对 ?n ? N* ,均有
c1 c2 ? ? b1 b2 ? cn ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? bn

? c2013 .

19. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面△ ABC 为等腰直角三角 形, ?ABC ? 90 , D 为棱 BB1 上一点,且平面 DA1C ⊥平面 AA1C1C .
八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题 第3页 共4页

(Ⅰ)求证:D 为棱 BB1 的中点; (Ⅱ) B1 A1 C1

AA1 为何值时, 二面角 A ? A1 D ? C 的平面角为 60 . AB

D B

A 第 19 题 图

C
第 20 题

20. (本小题满分 12 分)如图,山顶有一座石塔 BC ,已知石塔的高度为 a . (Ⅰ) 若以 B, C 为观测点, 在塔顶 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ? , 在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 ? ,用 a, ? , ? 表示山的高度 h ; (Ⅱ)若将观测点选在地面的直线 AD 上,其中 D 是塔顶 B 在地面上的射影. 已知石塔高 度 a ? 20 ,当观测点 E 在 AD 上满足 DE ? 60 10 时看 BC 的视角(即 ?BEC )最大, 求 山的高度 h .

21. ( 本 小 题 满 分
x n ? x n ?1 ? x n ? 2 ?

13

分 ) 已 知

an

是 关 于

x

的 方 程

? x ? 1 ? 0 (x ?

0? nN , 且 ≥ n 的根, 2 )

证明: (Ⅰ)

1 1 1 ? an ?1 ? an ? 1 ; (Ⅱ) an ? ( )n ? . 2 2 2

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) ≥ 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;
? ? 2?3 ? 2 ? 32 ? ? ln 1 ? ? (Ⅲ)求证: ln ?1 ? ? 2 ? 2 2 ? ? (3 ? 1) ? ? (3 ? 1) ? ? 2 ? 3n ? ? ln ?1 ? n ? 2. 2 ? ? (3 ? 1) ?

八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题

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参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题) 1—5 A C B B D 10. 答案: ?0, , ? ? 6—10 B A A B A

? 1 ? 8

1? 8?

1 1 ? x ? 是偶函数, x x ?2 x(0 ? x ? 1) ? 考察 x ? 0 的情形, y ? ? 2 ,作图 ( x ? 1) ? ? x
注意到 f ( x) ? x ? y

0

x

k ? 0 时,直线 y ? kx ? 1 与曲线有四个交点,满足题意 2 2 k ? 0 时,若直线 y ? kx ? 1 与 y ? 相切,由 kx ? 1 ? x x 1 2 得 kx ? x ? 2 ? 0 ,△=0, k ? ? 8
直线绕(0,1)逆时针旋转,开始出现 5 个交点 顺时针旋转,3 个交点

1 k ? ? 符合题意. 8
根据对称性, k ?

1 也满足题意. 8
12. r ?

二.填空题(每小题 5 分,共 5 小题)

? 2 14. ?45,15,9? ;
11. 15.

?6?

1 h 4

13.

? 6

第一个空 2 分,第二个空 3 分 16.

3 2 2

m ? ?2

14. 答案: ?45,15,9? ; ?6?

1 1 ? ( )6 ,等比数列部分最少 6 项,即 m ? 6 64 2 由 m ? 6 ? 2m ? k ? 51 ,得 (2k ? 1)m ? 45 ? k ? 0,1, 2 时, m ? 45,15,9 ; S128m?5 ? 64S2m ? a1 ? a2 ? ? a5 ? 64S2m ? 30 a51 ?

八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题

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S2 m ? ?m2 ? 11m ? 1 ?

1 2m

? g (m) ,
1 2
m ?1

g (m ? 1) ? g (m) = 10 ? 2m ?
故 S128m?5 ? 2013 ,则 m ? 6 三、解答题(共 5 小题,共 75 分) 17. (Ⅰ) f ( x) ? 4sin(? x ?

,? 3 ? m ? 5 时 , g (m ? 1) ? g (m)

即 m ? 6 时, S 2 m 最大,? S128m?5 ? 64 g (6) ? 30 ? 2013

2? ) cos ? x 3

1分

? 1 3? ? 4 ?sin ? x ? (? ) ? cos ? x ? ? cos ? x 2 2 ? ?

? ? 3(1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? 2 cos(2? x ? ) ? 3 6 2? ? ? ,? ? 1 由题意, T ? ? ,? 2? ? (Ⅱ) f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 3 , 6 ? ?? ?? x ??0, 2? ? 时, 2 x ? ? ? , 4? ? ? 6 ?6 6? ? ? 故 2 x ? ? ?? , 2? ? 或 2 x ? ? ?3? , 4? ? 时, f ( x ) 单调递增 6 6 ? 5? 11? ? ?17? 23? ? 即 f ( x ) 的单调增区间为 ? 和 , , ? 12 12 ? ? ? ? 12 12 ? ? a2 ? a4 ? 2a3 ? 18 ? ? 18. (Ⅰ)由题意 ? 得 a3 ? 9, a4 ? 13 ,则 an ? 4n ? 3 7(a1 ? a7 ) S7 ? ? 7a4 ? 91 ? ? 2
b2bk ?1 ? b1bk ,?b1 , bk 方程 x2 ? 66 x ? 128 ? 0 的两根,得 b1 ? 2, bk ? 64
b1 (1 ? q ) b1 ? bk q ? ? 126 , b1 ? 2, bk ? 64 代入求得 q ? 2 , 1? q 1? q ?bn ? 2n c c c (Ⅱ)由 1 ? 2 ? ? n ? an ?1 b1 b2 bn Sk ?
c c1 c2 ? ? ? n?1 ? an (n ? 2) b1 b2 bn?1 c n?2 相减有 n ? an ?1 ? an ? 4 ?n ? 2, cn ? 4bn ? 2 , bn c 又 1 ? a2 ,得 c1 ? 10 b1
k ?1

? 2 3 cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x

5分 6分

9分 12 分

2分 4分

6分

9分

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? 10(n ? 1) cn ? ? n?2 ?2 (n ? 2) ?c1 ? c2 ? ? c2013 ? 10 ? 24 ? 25 ?

? 22015 ? 22016 ? 6

12 分

19.解: (Ⅰ)过点 D 作 DE ⊥ A1 C 于 E 点, 取 AC 的中点 F,连 BF ﹑EF ∵面 DA1 C⊥面 AA1C1C 且相交于 A1 C,面 DA1 C 内的直线 DE ⊥ A1 C 故直线 DE ? 面 ACC1 A 1 又∵面 BA C⊥面 AA1C1C 且相交于 AC,易知 BF⊥AC,∴BF⊥面 AA1C1C 由此知:DE∥BF ,从而有 D,E,F,B 共面, 又易知 BB1∥面 AA1C1C,故有 DB∥EF ,从而有 EF∥AA1, 1 1 BB , 又点 F 是 AC 的中点,所以 DB = EF = AA1 = 1 2 2 即 D 为 BB1 的中点

3分

6分

B1

A1

C1 D H G

E

B A1 C

A

F

(Ⅱ)解法 1:建立如图所示的直角坐标系, 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ,则 D(0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以, DA 1 ? (a,0, b), DC ? (0, a,?b) 设面 DA1C 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则

Z B1

ax ? 0 ? y ? bz ? 0, 0 ? x ? ay ? bz ? 0
8分 A1 D C1

可取 n ? (b,?b,?a) 又可取平面 AA1DB 的法向量
u r r cos m, n

m ? BC ? (0, a,0)
n?m n?m b ? 0 ? ba ? a ? 0 2b ? a ? a
2 2 2

B O A1

?

?

??

b 2b ? a 2
2

x

C A
共4页

y

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第7页

据题意有:

b

2b 2 ? a 2 AA1 2b 解得: = ? 2 AB a

?

1 2
12 分

(Ⅱ)解法 2:延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G,易知 CB⊥面 AA1B1B, 过 B 作 BH⊥A1 G 于点 H,连 CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH, 由此知∠CHB 为二面角 A -A1D - C 的平面角; 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ; 在直角三角形 A1A G 中,易知 AB = BG. b?a BD ? BG 在 Rt? DBG 中,BH = = , DG a2 ? b2 在 Rt? CHB 中,tan∠CHB = 据题意有: 解得:

9分

BC = BH

a2 ? b2 , b

a2 ? b2 = tan600 = b

3 ,
12 分

AA1 2b = 2. ? 2 所以 AB a

20. 解: (1)在△ ABC 中, ?BAC ? ? ? ? , ?BCA ? 90 ? ? , 由正弦定理得:

BC AB ? sin ?BAC sin ?BCA

? AB ?

a sin(90 ? ? ) a cos ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )
a cos ? sin ? a ? cos ? sin ? ?a= sin(? ? ? ) sin(? ? ? )
tan ?BED ?
4分

则 h ? AB ? sin ? ? a ?

h ? 20 h , tan ?CED ? x x tan ?BED ? tan ?CED ? tan ?BEC ? 6分 1 ? tan ?BED ? tan ?CED 20 10 20 x ? ? ? (h ? 20)h (h ? 20)h h(h ? 20) 1? x? 2 x x (h ? 20)h 当且仅当 x ? 即 x ? h(h ? 20) 时, tan ?BEC 最大,从而 ?BEC 最大 x
(2)设 DE ? x , 由题意, h(h ? 20) ? 60 10 ,解得 h ? 180 12 分

21. (Ⅰ) 设 f ( x) ? x ? x
n

n?1

? x n ?2 ?
?

' 1 则 f (x ? x ?1 , ) ? nxn? ? ( n1 ? ) xn2? ? 2? 1 x?

' 显然 f ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 R 上是增函数

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f (1) ? n ? 1 ? 0(n ? 2)

1 1 (1 ? ( ) n ) 1 2 ? 1 ? ?( 1 ) n ? 0 f( )? 2 1 2 2 1? 2 1 1 ? f ( x) 在 ( ,1) 上有唯一实根,即 ? an ? 1 2 2
假设 an?1 ? an ,?an?1k ? an k (k ? N * ) 则 f (an?1 ) ? an?1n?1 ? an?1n ?

4分

? an?1 ?1 ? an?1n?1 ? ann ? ann?1 ?

? an ?1

? ann ? ann?1 ?

? an ?1 ? f (an )
8分

f (an?1 ) ? f (an ) ? 0 ,矛盾,故 an?1 ? an
(Ⅱ) f (an ) ? f ( ) ? an ? an
n

1 2

n ?1

?

1 ? 1 ? an ? 1 ? ?( )n ? ( )n?1 ? 2 ? 2
1 1 ? (an ? ) ? an ? 2 2


1 ? ? ( ) ? 1? 2 ?
an ? 1 ) 2

1 1 (an n ? ( ) n ) ? (an n ?1 ? ( ) n ?1 ) ? 2 2 1 1 f (an ) ? 0 , f ( ) ? ?( ) n 2 2 1 1 ? an ? ( ) n ? 2 2
方法二: 1 ? an ? an n ? an n?1 ? 由(Ⅰ) 1 ? an ? an n ? an n?1 ?

13 分

? an2
1 1 ? an 2 ? ( ) n ? ( ) n ?1 ? 2 2
1 1 1 ? ( )2 = ? ( )n 2 2 2

1 1 ? an ? ( ) n ? 2 2
22 (Ⅰ) f ( x) ? e ? a
' x

1分 2分

? a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增。 a ? 0 时, x ? (??,ln a) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,

x ? (ln a, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ) , a ? 0 时, f ( x)min ? f (ln a)

4分

? f (ln a) ? 0
即 a ? a ln a ? 1 ? 0 ,记 g (a) ? a ? a ln a ? 1

5分

(a ? 0 )
第9页 共4页

八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题

g ' (a) ? 1 ? (ln a ? 1) ? ? ln a
? g (a) 在 (0,1) 上增,在 (1, ??) 上递减 ? g (a) ? g (1) ? 0
故 g (a) ? 0 ,得 a ? 1
x (Ⅲ)由(Ⅱ) e ? x ? 1 ,即 ln(1 ? x) ? x ( x ? ?1) ,则 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? x

8分

要证原不等式成立,只需证:

n 2 ? 3k 3k ,即证: ? 2 ?1 ? ? k 2 k 2 k ?1 (3 ? 1) k ?1 (3 ? 1) n

下证

3k 2 2 ? k ? k ?1 k 2 (3 ? 1) 3 ?1 3 ?1



9分

?

3k 4 ? 3k ? 32 k ? 2 ? 3k ? 1 3 ? 32 k ? 4 ? 3k ? 1

? 4(32k ? 2 ? 3k ? 1) ? 3 ? 32k ? 4 ? 3k ? 1
? 32k ? 4 ? 3k ? 3 ? 0 ? (3k ?1)(3k ? 3) ? 0
①中令 k ? 1, 2,

, n ,各式相加,得
?( 2 2 ? n ?1 ) 3 ?1 3 ?1
n

? (3
k ?1

n

2 2 2 2 3k ? ( 1 ? 2 ) ?( 2 ? 3 )? k 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ? 1)
2 2 ? 1 成立, ? n ?1 3 ?1 3 ?1
1

?

故原不等式成立。

14 分

方法二: n ? 1 时,

2 ? 3n 3 ? n 2 (3 ? 1) 2

n ? 2 时,

2 ? 3n 2 ? 3n 2 ? 3n ?1 ? ? (3n ? 1)2 (3n ? 1)(3n ? 3) (3n ? 1)(3n ?1 ? 1)
? 1 3
n ?1

1 ?1 3 ?1 ?
n

n ? 2 时, ?

3 1 1 3k ?2 ? ? ? n k 2 2 2 3 ?1 k ?1 (3 ? 1)
n

八校 2014 届高三第一次联考数学理科试题

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