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二面角教案


二面角教案

教学目标 1.使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念,并能 初步运用它解决实际问题; 2.引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义,在概念形成的 过程中,发展学生的思维能力. 教学重点和难点 本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念; 本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程. 教学设计过程 教师:在平面几何

中“角”是怎样定义的? 学生:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角. 教师:在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又 是怎样定义的?它们有什么共同的特征? 学生; 直线 a, 是异面直线, b 经过空间任意一点 O, 分别引直线 a′∥a, b′ ∥b, 我们把直线 a′和 b′所成的锐角 (或直角) 叫做异面直线 a 和 b 所成的角. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面 所成的角. 它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角. 教师:请同学们观察下面的几个问题. (当教师说完上述话后,利用多媒体技术,让学生通过计算机看两个例子) 例子之一: 镜头一:淡蓝色的地球.(图片) 镜头二:火箭发射人造地球卫星.(录相)

镜头三: 人造地球卫星绕地球旋转,最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平 面. 让学生观察这两个平面相交成一定的角度. 例子之二:

镜头一:人走在坡度不太大的桥上.(录相) 镜头二:人在爬山.(录相) 镜头三:攀岩运动.(录相) 镜头四:演示下面动态图象.(让水平面静止不动,坡面在不断变化,目的 是让学生看到, 在生活实践中, 有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情 形) (注意:四个镜头要连续编排在一起进行演示,时间一分钟) 教师:如何给二面角下定义呢?下面我们用类比的办法,与角的概念对比, 探讨二面角的定义.

这一段教学采用计算机辅助手段,每一个问题分三步完成,首先给出平面角 的问题,然后请学生思考并回答二面角的问题,最后计算机显示正确结果.这部 分共有四个问题,全部研究完毕后,将整个过程列成一个总表,显示在屏幕上.

教师:请看角的图形,思考二面角的图形. 学生可以将自己画的图展示给大家. 计算机显示:二面角的图形. 教师:(给出平面角的定义)请同学们给二面角下定义. 显示:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形. 学生:(口答)

计算机显示:从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形. 教师:平面角由射线—点—射线构成.二面角呢? 学生:二面角由半平面—线—半平面构成. 教师:平面角表示法:∠AOB. 二面角表示法 α -a-β 或α -AB-β . 最后计算机显示整个过程. 教师:经过上面的研究我们已经看到,平面上的角,可以看作是一条射线绕 其端点旋转形成的图形; 类似地,一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的 图形,就是二面角. 教师:二面角与平面内的角一样,是可以比较大小的,其比较方法,与平面 内的角的大小的比较方法类似. (教师让学生打开书本) 打开书本的过程,给我们一种二面角的大小连续变化的形象. (前面看到的 爬山问题也是如此)

教师: 用量角器可以量出平面内的角的大小,能否也能用量角器直接去量出 二面角的大小呢? 比如,这里有一个对顶量角器和一个三角木块(直三棱柱)模型,你们能用 我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗?比如平面α 与β 的夹角?

教师: 一般地说, 量角器只能测量 “平面角” (指两条相交直线所成的角. 相 应地, 我们把异面直线所成的角, 直线与平面所成的角和二面角, 均称为空间角) 那么,如何去度量二面角的大小呢?我们以往是如何度量某些角的? 学生:分别通过“取点、平移(相交)”(对异面直线所成的角)与“斜线 的射影(相交)”(对斜线与平面所成的角)去度量的. 教师:这些做法的共同点是什么? 学生:都是将空间角化为平面角. 教师: 再回到刚才的量角操作, 对! 你是怎样用对顶量角器去量二面角α -lβ 的大小呢? 学生: 将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面,角的顶点则在二 面角的棱上. 教师:大家注意,实际上同学们量的是一个平面内的角:∠BAC.这个角的 顶点在二面角的棱上, 它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直.而且对于 确定的二面角,这样的角的大小是唯一的,确定的,我们把它叫做二面角的平面 角. (对于训练有素,肯于思考的学生可能会提出下面的问题)

学生:若以棱 a 上任意一点 O 为端点,在两个面内作与棱成等角θ ′(0° <θ ′<90°)的两条射线 OA′,OB′,由空间等角定理知,∠A′OB′也是存 在且唯一的,为什么不用这样的角定义二面角的平面角? 教师:记∠AOB=θ ,∠A′OB′= .当 OA′,OB′在平面 AOB 同侧时θ > ;当 OA′,OB′在平面 AOB 异侧时θ < .请看图 6:



A′P′=a,A′P=b,A′B′=x

由余弦定理,得: x2=b2+b2-2b2cos =2b2(1-cos ),

x2=a2+a2-2a2cosθ =2a2(1-cosθ ),

当 OA′,OB′在平面 AOB 的同侧时,若用∠A′OB′= 表示二面角的大小, 由(*)知, 与θ 之间会有常数关系,这将给表示,尤其是计算、应用带来诸 多不便;另外,若用∠A′OB′= 表示二面角的大小,当平面α ⊥平面β 时;

≠90°,当半平面α 与半平面β 在同一平面时, =2θ ′≠180°,都与已有知 识和经验不符,不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。 教师板书二面角的平面角的定义. 定义 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 教师:“二面角的平面角”的定义三个主要特征是什么? 学生:过棱上任意一点(0∈a),分别在两个面内作射线(OA β ),射线垂直于棱(OA⊥a,OB⊥a). α ,OB

教师: 经过上面的研究我们看到, 二面角的大小, 可以用它的平面角来度量, 二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度. 教师:许多立体几何问题,若能正确地作出图形,则问题就便于解决.若能 正确地作出二面角的平面角乃是解决这类问题的关键步骤. 下面我们总结一下作 二面角平面角的几种基本方法.如何利用定义作二面角的平面角呢? 学生:在二面角的棱 a 上任意取一点 O 为端点,在面α ,β 内分别引垂直于 棱 a 的两条射线 OA,OB,则∠AOB 为该二面角的平面角. 教师:如何利用三垂线定理作二面角的平面角呢?

学生:在二面角α -a-β 的面α 上任取一点 A,过 A 分别作棱 a 和另一面β 的垂线 AO 和 AB(O,B 分别是垂足),连 BO;或者过 A 作面β 的垂线 AB,又过 垂足 B 引棱 a 的垂线 BO,连 AO;则∠AOB 为该二面角的平面角.

教师:能否用作垂面的办法作二面角的平面角呢? 学生:过二面角的棱 a 上任一点 O,作平面γ 与该棱垂直(作棱的垂面), 平面γ 与α ,β 分别交于 OA,OB,则可用∠AOB 来度量二面角α -a-β 的大小.

教师:下面我们研究一道例题. 题目:如图 11,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是 60°, 山坡上有一条直道 CD,它和坡脚的水平线 AB 的夹角是 30°,沿这条路上山,行 走 100 米后升高多少米? (投影打出下图) (此例是一个实际应用问题,难度较低,一般不易引起人们的注意,但教师 应深入思考,讲清下面几点) 分析:

1.建模过程 此例的求解首先要对实际图形作出想象理解,然后在教学中 抽象出数学模型. 虽然建模过程难度较低,但教学中应主要向学生渗透建模的思 想和增强学生对立体几何中一些基本图形的认识与理解. 设过 AB 的水平面为α ,坡面 DAB 所在的平面为β ,CD=100m.

本题要求“升高了多少米”?即是求点 D 到水平面α 的距离 DH.这自然会 想到解直角三角形 DHC,但该直角三角形不可解,故必须另寻途径.(如图,利 用计算机显示在屏幕上) 再看看给出的条件, 已知二面角α -AB-β 是 60°, 如何作出它的平面角呢? 过 D 在平面β 内作 DG⊥AB,G 是垂足,再连结 HG,则根据三垂线定理,可得 HG ⊥AB,则∠DGH 就是该二面角的平面角,即∠DGH=60°.再根据∠DCH=30°及直 角三角形 DGH 和 DCG 的边角关系,就可以求出 DH.

2. 提炼方法 此例的求解是应用三垂线定理作二面角的平面角的典型例子, 也是立体几何的一个基本方法. 为了强化此法,应在本节练习中配套出相应的题 目.这表明在教学中加强对基本方法的提炼、理解是很有必要的,也是加强通法 教学的具体表现. 练习: ①在 30°二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离是 a,求它到棱 的距离. ②把边长为 a 的正方形 ABCD 以 BD 为轴折叠,使二面角 A-BD-C 成 60°的二 面角,求 A、C 两点的距离. 3.导出等式 在图 12 中,不妨从一般性出发,记∠DCH=θ 1,∠DCG=θ 2,∠ HCG=θ 3,∠DGH=θ .引导学生从例题图形中推导出等式: ①sinθ 1=sinθ 2sinθ ; ②cosθ 2=cosθ 1cosθ 3. 这样的练习既锻炼了学生的动手能力,还揭示了例题的引申功能,使例题的 作用突出,导向明确,极有利于学生对知识串联、累积、加工,从而达到举一反 三的作用.

sinθ 1=sinθ 2sinθ .

cosθ 2=cosθ 1cosθ 3. 4.挖掘引申 教师在学生导出等式①,②后,把课堂教学进一步引向深入, 对等式①,②作出说明与解释. 由等式①可得 sinθ 1≤sinθ ,即θ 1≤θ ,说明沿山坡直道 CD 上山时与水 平面所成的角θ 1 不大于山坡的倾斜度,这使例题的实际性增强,又使学生在教 学过程中对数学知识与实际生活进行比较、联系、评价,突出了数学应用的广泛 性,进一步强化了学生的应用意识,从而有利于学生数学素养的提高. 小结 1.空间的“二面角”,是平面几何中角的概念在空间中的拓广.处理问题 的思想方法是将“空间的角”转化为“平面的角”来处理.定义的原则是:这个 “平面角”的大小必须是由空间的角完全确定而且是唯一的. 2.凡是涉及到二面角的几何问题,都要根据题目的条件,在图形的恰当位 置作出二面角的平面角,主要方法有“定义法”,“应用三垂线定理”和“作垂 面”的方法.我们将在下一课做进一步的研究. 布置作业 1.阅读课本. 2.正四面体 ABCD,求侧面与底面所成二面角的大小的余弦值. 3.如果两个二面角的两个面对应平行,那么这两个二面角相等或互补. 课堂教学设计说明 本节课属于新授课型.应主要把握下述几个方面. 1.要有良好的铺垫.数学教学的过程,实质上就是原有认知结构不断地同 化或顺应的能动过程. 学生原有的认知结构,始终是关系迁移功能的一个关键的 因素.为了有效迁移和建构,就应认真寻找和了解学生的原认知,及时组织改造 和唤起这些关键因素,为学习新的知识提供基础.主要要做到三个方面的铺垫: (1)知识性铺垫.(2)技能性铺垫.(3)原理性铺垫. 2.抓着新知识的导入点.新课导入就是在新旧问题之间架起一座“认知桥 梁”,从而顺利实现迁移.导入时要寻求新旧问题的最短距离,要瞄准新旧关系 的最佳方位,要把握新旧转换的最精确表达.

3.新授课的重点是新授.新授是一堂课的重要环节,也是学生思维最活跃、 最紧张、 最有效的认知高潮. 因此, 新授过程应确保在教学中的最佳时域进行. 要 让学生有观察、动手、表达、思考、交流、表现等时机,让学生真正成为学习的 主人,主动地和生动地进行认知建构. 4.做好课堂巩固.巩固的主要目的就是帮助学生建立起关于某道范例的思 维模式, 形成积极有益的认知定势作为学习优势去解决实际问题.这样的巩固练 习,不能单纯停留于对范例的模仿上,而应恰当地变换形式或角度,集中突破教 学难点和重点. 5.做好作业的选题、批改、订正、讲评,进一步提高学习质量.


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