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2015高考函数专题复习5


高考数学复习资料【1—12】

2015 函数专题五: 函数的单调性与奇偶性
【一】基础知识 1.函数的单调性 (1) 定义: (2)判定方法 (i)定义法 (ii)图象法 (iii)根据已知函数的单调性 (iv)导数法

(3)复合函数的单调性 2. 函数的奇偶性 (1) 定义 (2)性质:偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的

图象关于原点对称。 (2) 判断方法: (i)定义法 (ii)图象法

(iii)若两个函数的定义域相同,则 a. 两个偶函数的和为偶函数; b. 两个奇函数的和为奇函数; c. 两个奇函数的积为偶函数; d. 两个偶函数的积为偶函数; e. 一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数。 (3) 定义域关于原点对称是一个函数为偶函数或奇函数的必要条件。

【二】例题讲析 例 1.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? log 2
x ?1 x ?1
1

(2) f ( x) ? 1 ? x ? x ? 1

高考数学复习资料【2—12】

(3) f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1

(4) f ( x) ? x(

1 1 ? ) 2 ?1 2
x

例 2.已知函数是偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程的所有实根之和是 ( ) (A) 4 (B) 2 (C) 6 (D)0

例 3. (1)设 f(x)是偶函数,且在 ?0,??? 上为增函数,则其在 ?? ?,0? 上单调性如 何?奇函数呢? (2)设 f ( x) 为偶函数,且在 ?0,??? 上存在最大值,则在 ?? ?,0? 上有最大值 吗?奇函数呢? 例 4.设 f(x)在 R 上是偶函数,在区间 (??,0) 上递增,且

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1), 求 a 的取值范围。
例 5.已知 f ( x) 是奇函数,且 x ? 0 当时, f ( x) ? x( x ? 2), 求 x ? 0 时, f ( x) 的表 达式。 例 6.求函数 y ? log1 ( x 2 ? 4x ? 3) 的单调递增区间。
2

例 7.求函数 y ? x 3 ? 2x 2 ? x ? 5 的单调区间。

【三】能力训练:
1.函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4) 上是减函数,实数 a 的取值 范围是 ( (A) a ? 3 ) (B) a ? ?3 (C) a ? ?3 ) (D) a ? 5

2.函数 y ? f ( x), x ? R, 下列命题正确的是(

(A)若 x 在 (??,0) 和 (0,??) 上都是增函数,则 f ( x) 是增函数。 (B)若 x 在 (??,0) 和 (0,??) 上都是减函数,则 f ( x) 是减函数。
2

高考数学复习资料【3—12】

(C)若 f ( x) 是偶函数,在 (0,??) 上是增函数,则 f ( x) 在 (??,0) 上也是增函数。 (D)若 f ( x) 是奇函数,在 (0,??) 上是增函数,则 f ( x) 在 (??,0) 上也是增函数。 3.若 f ( x) 是奇函数,且在 (??,0) 上单调递增,又 f (2) ? 0, 则 xf ( x) ? 0 的 解集为( ) (A)

?x | ?2 ? x ? 0或0 ? x ? 2?


(B) ?x | ?2 ? x ? 0或x ? 2? (D) ?x | x ? ?3或x ? 3?

(C) ?x | x ? ?2或0 ? x ? 2? 4.下列命题中错误的是 (

(A) 若偶函数在区间 ? a, b? (0 ? a ? b) 上单调递增,则它在 ?? b,?a? 上单调递减。 (B) 若奇函数在区间 ?a, b?(0 ? a ? b) 上单调递减,则它在 ?? b,?a? 上单调递减。 (C) 偶函数在定义域内不是单调函数。 (D) 奇函数在定义域内一定是单调函数。 5.若 f ( x) 是偶函数,在 ?0,4? 上是增函数,则 f (?3)和f (? ) 和的大小关系是 ( ) (A) f (?3) ? f (? ) (B) f (?3) ? f (? ) (C) f (?3) ? f (? ) (D) 无法确定

6.函数 y ? f ( x)(x ? R) 为奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x, 则 f ( x) 的解析式 为( ) (B) f ( x) ?| x | ( x ? 2) (D) f ( x) ?| x | (| x | ?2)

(A) f ( x) ? x( x ? 2) (C) f ( x) ? x(| x | ?2)

7.若函数 y ? f ( x) 在 R 上单调递增,且 f (m2 ) ? f (?m) ,则实数 m 的取值范围是 ( ) (A) (??,?1) (B) (0,??) (C) (?1,0) (D) (??,?1) ? (0,??)

3

高考数学复习资料【4—12】

8.函数 y ?

1 ? x ? 2x ? 3
2

的单调增区间为

.

9.若函数 f ( x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2006 x 2006 是奇函数,则

a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2006 ?

.

10.函数 f ( x) 是定义在 [ ?1,1] 上的奇函数,且是增函数,满足

f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。
18.求下列函数的单调递增区间。 (1) f ( x) ? log1 ( x 2 ? 2x ? 3)
2

(2) f ( x) ? 2 x

2

?2 x?3

(3) f ( x) ? x 2 ? 2 | x | ?3

(4) y ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7

19(07 安徽)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一 个正周期.若将方程 f ( x) ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可 能为 A.0 B.1 C.3 D.5

20(07 天津)在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在区 间 ?1,2? 是减函数,则函数 f ?x ? ( )

A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 【四】精品测试:
1.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)·f(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( )

4

高考数学复习资料【5—12】

A.13

B.2

13 C. 2

D.

2 13

2.(2010·郑州)定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意α,β∈R,总有 f(α+β) -[f(α)+f(β)]=2010,则下列说法正确的是( A.f(x)-1 是奇函数 C.f(x)-2010 是奇函数 )

B.f(x)+1 是奇函数 D.f(x)+2010 是奇函数

3.设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1)时,f(x)=log1(1-x),
2

则函数 f(x)在(1,2)上(

) B.是增函数,且 f(x)>0 D.是减函数,且 f(x)>0

A.是增函数,且 f(x)<0 C.是减函数,且 f(x)<0

4.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(x)=f? 之和为( ) B.3 C.-8 D .8

?x+3?的所有 x ? ?x+4?

A.-3

5.已知奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,那么函数 f(x)在区间[- 7,-3]上( ) B.是增函数且最大值为-5 D.是减函数且最大值为-5
3

A.是增函数且最小值为-5 C.是减函数且最小值为-5

6.(2010·新课标全国)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x -8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}= ( ) A.{x|x<-2 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} B.{x|x<0 或 x>4} D.{x|x<-2 或 x>2}

二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) 7. (2010· 江苏)设函数 f(x)=x(e +ae )(x∈R)是偶函数, 则实数 a 的值为________. 8.已知函数 f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且 f(0)=2,则 f(4)=________. 9.(2010·湖北八校)设函数 f(x)的定义域、值域分别为 A、B,且 A∩B 是单元集,下 列命题 ①若 A∩B={a},则 f(a)=a; ②若 B 不是单元集,则满足 f[f(x)]=f(x)的 x 值可能不存在; ③若 f(x)具有奇偶性,则 f(x)可能为偶函数;
5
x
-x

高考数学复习资料【6—12】

④若 f(x)不是常数函数,则 f(x)不可能为周期函数. 其中,正确命题的序号为________. 10.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________. ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称. 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) -2 +b 11.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 12.设函数 f(x)的定义域为 R,对于任意的实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当
2 2

x

x>0 时,f(x)<0,求证:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
13.设函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足 ①f(x1-x2)=

f(x1)f(x2)+1 ; f(x2)-f(x1)

②存在正常数 a,使 f(a)=1. 求证:(1)f(x)是奇函数; (2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为 4a.

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高考数学复习资料【7—12】

习题答案:
一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)· f(x+2)=13,f(1)=2,则 f(99)=( A.13 13 C. 2 B.2 2 D. 13 )

解析:由 f(x)· f(x+2)=13,知 f(x+2)· f(x+4)=13,所以 f(x+4)=f(x),即 f(x)是周期函 13 13 数,周期为 4.所以 f(99)=f(3+4×24)=f(3)= = . f(1) 2 答案:C 2. (2010· 郑州)定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对于任意 α, β∈R, 总有 f(α+β)-[f(α)+f(β)] =2010,则下列说法正确的是( A.f(x)-1 是奇函数 B.f(x)+1 是奇函数 C.f(x)-2010 是奇函数 D.f(x)+2010 是奇函数 解析:依题意,取 α=β=0,得 f(0)=-2010;取 α=x,β=-x,得 f(0)-f(x)-f(-x) =2010,f(-x)+2010=-[f(x)-f(0)]=-[f(x)+2010],因此函数 f(x)+2010 是奇函数,选 D. 答案:D 3.设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1)时,f(x)=log1(1-x),则函
2

)

数 f(x)在(1,2)上(

)

A.是增函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 C.是减函数,且 f(x)<0 D.是减函数,且 f(x)>0 解析:由题意得当 x∈(1,2)时,0<2-x<1,0<x-1<1,f(x)=f(-x)=f(2-x)=log1[1-(2
2

-x)]=log1(x-1)>0,则可知当 x∈(1,2)时,f(x)是减函数,选 D.
2

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高考数学复习资料【8—12】

答案:D 4.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(x)=f? 为( ) A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析:因为 f(x)是连续的偶函数,且 x>0 时是单调函数,由偶函数的性质可知若 f(x)= f?

?x+3?的所有 x 之和 ? ?x+4?

?x+3?,只有两种情况:①x=x+3;②x+x+3=0. ? x+4 x+4 ?x+4?
由①知 x2+3x-3=0,故两根之和为 x1+x2=-3. 由②知 x2+5x+3=0,故其两根之和为 x3+x4=-5. 因此满足条件的所有 x 之和为-8. 答案:C 5.已知奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,那么函数 f(x)在区间[-7,

-3]上(

)

A.是增函数且最小值为-5 B.是增函数且最大值为-5 C.是减函数且最小值为-5 D.是减函数且最大值为-5 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称.

∵f(x)在[3,7]上是增函数, ∴f(x)在[-7,-3]上也是增函数. ∵f(x)在[3,7]上的最小值为 5, ∴由图可知函数 f(x)在[-7,-3]上有最大值-5.
8

高考数学复习资料【9—12】

答案:B 评析:本题既涉及到函数的奇偶性,又涉及到函数的单调性,还涉及到函数的最值,是 一道综合性较强的题目,由于所给的函数没有具体的解析式,因此我们画出函数 f(x)在区间 [3,7]上的示意图,由图形易得结论. 6.(2010· 新课标全国)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 解析:当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8, 又 f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x3-8,
?x3-8,x≥0 ? ∴f(x)=? 3 . ?-x -8,x<0 ? ?(x-2)3-8,x≥2 ? ∴f(x-2)=? , 3 ? ?-(x-2) -8,x<2 ? ? ?x≥2 ?x<2 ? 或? , 3 3 ? ?(x-2) -8>0 ?-(x-2) -8>0 ?

)

解得 x>4 或 x<0.故选 B. 答案:B 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.(2010· 江苏)设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


解析:设 g(x)=x,h(x)=ex+ae x,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则由题意知,函数 h(x)


=ex+ae x 为奇函数,又函数 f(x)的定义域为 R,∴h(0)=0,解得 a=-1.


答案:-1 8.已知函数 f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且 f(0)=2,则 f(4)=________. 解析:依题意有 f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=f(x-1),所以 f(4)=f(-(-3)+1)= -f(-2)=-f(-1-1)=-f(0)=-2. 答案:-2 9.(2010· 湖北八校)设函数 f(x)的定义域、值域分别为 A、B,且 A∩B 是单元集,下列 命题
9

高考数学复习资料【10—12】

①若 A∩B={a},则 f(a)=a; ②若 B 不是单元集,则满足 f[f(x)]=f(x)的 x 值可能不存在; ③若 f(x)具有奇偶性,则 f(x)可能为偶函数; ④若 f(x)不是常数函数,则 f(x)不可能为周期函数. 其中,正确命题的序号为________. 解析:如 f(x)=x+1,A=[-1,0],B=[0,1]满足 A∩B={0},但 f(0)≠0,且满足 f[f(x)] =f(x)的 x 可能不存在,①错,②正确;如,f(x)=1,A=R,B={1},则 f(x)=1,A=R 是 偶函数,③正确;如 f(x)=x-2k+1,A=[2k-1,2k],B=[0,1],k∈Z,f(x)是周期函数,但 不是常数函数,所以④错误. 答案:②③ 10.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________. ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称. 解析:f(x-1)的图象是由 f(x)的图象向右平移一个单位而得到,又 f(x)是奇函数,其图 象关于原点对称,所以 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称,故①正确; 由 f(x+1)=f(x-1)可知 f(x)的周期为 2,无法判断其对称轴,故②错误; f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)关于 y 轴对称,故 f(x)为偶函数,③正确; y=f(1+x)的图象是由 y=f(x)的图象向左平移一个单位后得到,y=f(1-x)是由 y=f(x) 的图象关于 y 轴对称后再向右平移一个单位而得到,两者图象关于 y 轴对称,故④错误. 答案:①③ 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) -2x+b 11.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 分析:(1)由 f(0)=0 可求得 b,再由特殊值或奇函数定义求得 a;(2)先分析函数 f(x)的单 调性,根据单调性去掉函数符号 f,然后用判别式解决恒成立问题.
10

高考数学复习资料【11—12】

解:(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0, 即 b-1 =0?b=1, a+2

1-2x 所以 f(x)= + , a+2x 1 又由 f(1)=-f(-1) 1 1- 2 1-2 知 =- ?a=2. a+4 a+1 1-2x (2)由(1)知 f(x)= + 2+2x 1 1 1 =- + x , 2 2 +1 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数,从而不等式: f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), 因 f(x)为减函数,由上式推得:t2-2t>k-2t2, 即对 t∈R 有: 1 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0?k<- . 3 12.设函数 f(x)的定义域为 R,对于任意的实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时,f(x)<0,求证:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. 证明:(1)令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)设 x1、x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2,则 x2-x1>0, ∵当 x>0 时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0. 又∵对于任意的实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)且 f(x)为奇函数, ∴f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).

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高考数学复习资料【12—12】

∴f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. 13.设函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足 f(x1)f(x2)+1 ①f(x1-x2)= ; f(x2)-f(x1) ②存在正常数 a,使 f(a)=1. 求证:(1)f(x)是奇函数; (2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为 4a. 证明:(1)不妨令 x=x1-x2,则 f(x2)f(x1)+1 f(-x)=f(x2-x1)= f(x1)-f(x2) f(x1)f(x2)+1 =- =-f(x1-x2) f(x2)-f(x1) =-f(x).∴f(x)是奇函数. (2)要证 f(x+4a)=f(x), 可先计算 f(x+a),f(x+2a), f(-a)f(x)+1 ∵f(x+a)=f[x-(-a)]= f(-a)-f(x) -f(a)f(x)+1 f(x)-1 = = ,(f(a)=1). -f(a)-f(x) f(x)+1 ∴f(x+2a)=f[(x+a)+a] f(x)-1 -1 f(x+a)-1 f(x)+1 1 = = =- . f(x) f(x+a)+1 f(x)-1 +1 f(x)+1 ∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]= 1 =f(x) -f(x+2a)

故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数.

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