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高中数学函数知识点(详细)


第二章 函数
一.函数
1、函数的概念:
(1)定义:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中 的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y = f ( x) , x ∈A.其中, x 叫做自变量, x 的取值

范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集 合{ f ( x) | x ∈A }叫做函数的值域. (2)函数的三要素:定义域、值域、对应法则 (3)相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ;②定 义域一致(两点必须同时具备)

2、定义域:
(1)定义域定义:函数 f ( x) 的自变量 x 的取值范围。 (2)确定函数定义域的原则:使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 (3)确定函数定义域的常见方法: ①若 f ( x) 是整式,则定义域为全体实数 ②若 f ( x) 是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数 y ?
1 1 1? x

的定义域。

③若 f ( x) 是偶次根式,则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1. 求函数 y ? 例2. 求函数 y ?
4

?x

? 3x ? 4 x ?1 ? 2
2

?

3

的定义域。

0 2 x 2 ? 1 ? ?x ? 1? 的定义域。

④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于 1 ⑥若 f ( x) 为复合函数,则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定 ⑦指数为零底不可以等于零,如 x ? 1( x ? 0)
0

⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (4)求抽象函数(复合函数)的定义域
2 已知函数 f ( x) 的定义域为[0,1]求 f ( x ) 的定义域

已知函数 f (2 x ? 1) 的定义域为[0,1)求 f (1 ? 3x) 的定义域

3、值域 :
(1)值域的定义:与 x 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。

(2)确定值域的原则:先求定义域 (3)常见基本初等函数值域: 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切)

(4)确定函数值域的常见方法: ①直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。 例:求函数 y ? 解:∵

x ? 1的值域。

x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 1 ,

∴函数 y ?

x ? 1的值域为 [1, ??) 。

②配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函 数的值域问题,均可使用配方法。 例:求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。 解: y ? ? x2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 6 , ∵ x ?[?1,1] ,∴ x ? 2 ?[?3, ?1] ,∴ 1 ? ( x ? 2) ? 9
2

∴ ?3 ? ?( x ? 2) ? 6 ? 5 ,∴ ?3 ? y ? 5
2

∴函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域为 [?3,5] 。 ③分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以 利用反函数法。

1? x 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 1 2 ?? ? 2 , 解:∵ y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1 ∵ 2 ? 0 ,∴ y ? ? , 2 2x ? 5 1? x 1 ∴函数 y ? 的值域为 { y | y ? ? } 。 2x ? 5 2
例:求函数 y ? ④换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值

域, 形如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、b 、c 、d 均为常数,且 a ? 0 ) 的函数常用此法求解。 例:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ? ∴ y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? ∵当 t ?

1? t2 , 2

1 2

5 4

1 3 5 ,即 x ? 时, ymax ? ,无最小值。 2 8 4 5 ∴函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 4
⑤判别式法: 把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ; 通过方程有实数根, 判别式 ? ? 0 ,

从而求得原函数的值域,形如 常用此方法求解。

y?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 a2 x 2 ? b2 x ? c2 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域,

例:求函数 y ?

x2 ? x ? 3 的值域。 x2 ? x ? 1

解:由 y ?

x2 ? x ? 3 变形得 ( y ?1) x2 ? ( y ?1) x ? y ? 3 ? 0 , 2 x ? x ?1

当 y ? 1 时,此方程无解; 当 y ? 1 时,∵ x ? R ,∴ ? ? ( y ?1)2 ? 4( y ?1)( y ? 3) ? 0 , 解得 1 ? y ? ∴函数 y ?

11 11 ,又 y ? 1 ,∴ 1 ? y ? 3 3

x2 ? x ? 3 11 的值域为 { y |1 ? y ? } 2 3 x ? x ?1

值域为 { y | ?1 ? y ? 1} 练习:求函数 y ?

2 x2 ? x ? 2 的值域 x2 ? x ? 1

4、函数的表示方法
(1)解析法、列表法、图象法 (2)求函数解析式的常见方法:

①换元法 例:已知 f (3x ? 1) ? 4 x ? 3 , 求 f ( x) 的解析式. 例:若 f ( ) ?

1 x

x ,求 f ( x) . 1? x

例:已知 f ( x ?1) ? 2x ? 3, 求 f ( x) .

②解方程组法 例:设函数 f ( x) 满足 f ( x) +2 f(

1 )= x ( x ≠0) ,求 f ( x) 函数解析式. x

一变:若 f ( x ) 是定义在 R 上的函数, f (0) ? 1 ,并且对于任意实数 x, y ,总有

2 f ( x ? ) ? f ( x) ? y (2 x ? y ? 1), 求 f ( x) 。 (令 x=0,y=2x) y
③待定系数法 例:已知 f ( x) 是一次函数,并且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 求 f ( x) 解:设 f ( x) ? kx ? b ,则

f [ f ( x)] ? kf ( x) ? b ? k (kx ? b) ? b ? k 2 x ? kb ? b ? 4x ? 3 ? k2 ? 4 ?k ? 2 ?k ? ?2 则? ,解得 ? 或? ? b ? 1 ?b ? ?3 ?kb ? b ? 3
故所求一次函数解析式 f ( x) ? 2 x ? 1 或 f ( x) ? ?2 x ? 3 ④配变量法 例:已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 , 求 f ( x) 的解析式. x x

例:若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) . ⑤特殊值代入法(取特殊值法) 例:若 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (1) ? 2 , 求值

f (2) f (3) f (4) f (2005 ) ? ? ??? . f (1) f (2) f (3) f (2004 )

例:设 f ( x) 是 R 上的函数,且满足 f (0) ? 1 并且对任意实数 x, y 有

f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 求 f ( x) 的表达式
解:设 x ? y 则 f (0) ? f ( x) ? x(2 x ? x ? 1) ? 1 即 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 或设 x ? 0 则 f (? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) ? 1 ? y(? y ? 1)

f ( x) ? 1 ? x( x ? 1) ? x 2 ? x ? 1
⑥利用给定的特性(奇偶性周期性)求解析式. 例: 对 x ∈R, f ( x) 满足 f ( x) ? ? f ( x ? 1) ,且当 x ∈[-1,0]时, f ( x) ? x 2 ? 2 x 求 当 x ∈[9,10]时 f ( x) 的表达式. 解析: f ( x) ? ? f ( x ? 1) ,则 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 则

f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( x) ? f ( x ? 2) ,T=2

5、分段函数
(1)定义:在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样 的函数叫分段函数。 (2)注意:分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集; 分段函数是一个函数,而不是几个函数; 写分段函数定义域时,区间端点不重不漏。

6、复合函数
如果 y ? f (u), (u ? M ),u ? g ( x), ( x ? A) 则 y ? f [ g ( x)] ? F ( x), ( x ? A), 称为 f 、 g 的复合函数。

7、函数图象问题
(1)熟悉各种基本初等函数的图象 如: y ? 0 , y ? c(c为常数) , y ? x , y ? (2)图象变换 平移: y ? f ( x)向右平移 a(a ? 0)个单位长度 y ? f ( x ? a)

1 1 2 ,y?? ,y?x x x

y ? f ( x)向上平移 b(b ? 0)个单位长度 y ? f ( x) ? b
对称: y ? f ( x)关于x轴对称 y ? - f ( x)

y ? f ( x)关于y轴对称 y ? f (? x)

y ? f ( x)关于原点对称 y ? - f (? x)
翻折: y ? f ( x) , y ? f ( x ) 注意:带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法,平方法,图象法

***********************************课堂习题********************************* 1.求下列函数的定义域: ⑴y?

x ?1 2 x 2 ? 2 x ? 15 ⑵ y ? 1? ( ) x ?1 x ?3 ?3

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为__ 3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域是 4.函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?
?2 x( x ? 2) ? ? x ? 2( x ? ?1)

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R) ⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2] (3) y ? x ? 1 ? 2x (4) y ? ? x2 ? 4 x ? 5

二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增减函数和单调区间 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 x1 , x 2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x ) 在区间 D 上是增 函数.区间 D 称为 y ? f ( x) 的单调增区间. 如 果 对 于 区 间 D 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x1 , x 2 当 x1 ? x2 时 , 都 有 那么就说 f ( x ) 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y ? f ( x) 的单调 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数 y ? f ( x) 在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y ? f ( x) 在这一 区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函 数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法(重点) (A) 定义法:

1 任取 x1 , x 2 ∈D,且 x1 ? x2 ; ○ 2 作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ; ○ 4 定号(即判断差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负) ; ○ 5 下结论(指出函数 f ( x ) 在给定的区间 D 上的单调性) . ○ (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f [ g ( x)] 的单调性与构成它的函数 u ? g ( x) , y ? f (u ) 的单调性密切相关, 其规律: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起 写成其并集. 例:是否存在实数 a 使函数 y ? f ( x) ? loga (ax ? x) 在闭区间 [2,4] 上是增函数?如
2

果存在,说明 a 可取哪些值;如果不存在,说明理由。 解:当 a >1 时,为使函数 y ? f ( x) ? loga (ax ? x) 在闭区间 [2,4] 上是增函数
2

只需 g ( x) ? ax2 ? x 在闭区间 [2,4] 上是增函数,故

?1 ? 1 ? x?? ?2 得 a ? ,又由 a >1,得 a >1 ? 2a 2 ? ? g (2) ? 4a ? 2 ? 0 2 当 0< a <1 时,为使函数 y ? f ( x) ? loga (ax ? x) 在闭区间 [2,4] 上是增函数
只需 g ( x) ? ax ? x 在闭区间 [2,4] 上是减函数,故
2

?1 ? ? x?? ?4 无解 ? 2a ? ? g (4) ? 16a ? 4 ? 0 2 综上,当 a ? (1,??) 时, f ( x) ? loga (ax ? x) 在闭区间 [2,4] 上是增函数

(D)常用结论 ? ? ? 函数 y ? ? f ( x) 与函数 y ? f ( x) 的单调性相反; 函数 f ( x) 与 f ( x) ? c(c为常数) 具有相同的单调性; 当 c ? 0 时,函数 f ( x) 与 cf ( x) 具有相同的单调性, c ? 0 时,它们具有相反的 单调性; ? ? ? 若 f ( x) ? 0 则函数 f ( x) 与

1 具有相反的单调性; f ( x)

公共区间,增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、 增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数 若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0, 且 f ( x ) 与 g ( x) 都是增(或减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 也是 增(或减)函数;

若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0, 且 f ( x ) 与 g ( x) 都是增(或减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 也是 增(或减)函数; ? 若 f ( x) ? 0 , 且在定义域上是增函数, 则 是增函数。 ? 常见函数的单调性 (一次函数、 二次函数、 反比例函数、 对勾函数 y ? x ?
n

f ( x) 也是增函数, f n ( x)(n ? 1) 也

k (k ? 0) ) x

(E)利用函数的单调性求函数的最值 确定函数的定义域;将复合函数分解为基本的初等函数;分别判断其单调性;根据同 增异减判断 例:求函数 f ( x ) ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值 ? x ?1

2.函数的奇偶性(整体性质)
(1)函数奇偶性定义 一般地, 对于函数 f ( x ) 的定义域 D 内的任意一个 x , 都有 ? x ? D ,且 f (? x) ? ? f ( x) (或 f (? x) ? f ( x) ) ,那么 f ( x ) 就叫做奇(或偶)函数. (2)图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (3)利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 确定 f (? x) ? ? f ( x) 与 f (? x) ? f ( x) 是否成立; ○ 3 作出相应结论:若 f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 是偶函数; ○ 若 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否 关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数 . 若对称,再根据定义判定 ; 或由变式

f ( ? x) ? f ( x) ? 0 或

f (? x) ? ?1 来判定;利用定理,或借助函数的图象判定 . f ( x)

(4)函数奇偶性的重要结论 ? ? 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;

f ( x) 、 g ( x) 是定义域分别为 D1 , D2 的奇函数,那么在 D1 ? D2 上, f ( x) + g ( x) 是奇
函数, f ( x) ? g ( x) 是偶函数。

?

类似结论:奇 ? 奇=奇、奇×奇=偶、 偶 ? 偶=偶、偶×偶=偶 奇×偶=奇

? ?

若 f ( x) 是具有奇偶性的单调函数,则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同 (反)的。 若 f ( x ) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 则 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x) 是 偶 函 数 ,

? ?

F ( x) ? G ( x) ) 2 若 f ( x) 既是奇函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0

G( x) ? f ( x) ? f (? x) 是奇函数。 ( f ( x) ?

复合函数的奇偶性:内层是偶函数,则 y ? f [ g ( x)] 是偶函数 (不用死记硬背) 内层是奇函数,外层是奇函数,则 y ? f [ g ( x)] 是奇函数 外层是偶函数,则 y ? f [ g ( x)] 是偶函数

(5)函数奇偶性与单调性的关系 ? ? 奇函数在 [a.b] 上是增函数,在 [?b,?a] 上也是增函数; 偶函数在 [a.b] 上是增函数,在 [?b,?a] 上是减函数。 例:函数 y ? f ( x)(x ? 0) 是奇函数,且当 x ? (0,??) 时是增函数,若 f (1) ? 0 , 求不等式 f [ x ( x ? )] ? 0 的解集。 解:已知 f (1) ? 0 不等式可化为 f [ x( x ? )] ? f (1) , 因为 f ( x) 在 x ? (0,??) 上递增,所以 0 ? x ( x ? ) ? 1

1 2

1 2

1 2

1 ? 17 1 1 ? 17 ?x?0 ?x? ,或 4 2 4 又由 f ( x) 是奇函数,它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同, 1 1 且 f (?1) ? ? f (1) ? 0 ,得 f [ x( x ? )] ? f (?1) ,即有 x( x ? ) ? ?1 ,无解。 2 2 1 1 ? 17 1 ? 17 ? x ? 0} 综上,原不等式的解集是{ x ? x ? ,或 2 4 4 f ( x) ? f (? x) ?0 例: 设奇函数 f ( x)在(0,??) 上为增函数, 且 f (1) ? 0 , 则不等式 x
得 的解集为? 解:由 f ( x) 是奇函数得 f ( x) ? ? f (? x) ,所以 即?

f ( x) ? f (? x) 2 f ( x) ? ?0 x x

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 或? , ? x?0 ? x?0

由奇函数 f ( x)在(0,??) 上为增函数,故 f ( x)在(??,0) 上为增函数 由 f (1) ? 0 知 f (?1) ? 0

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? f (1) 可化为 ? 得 0 ? x ? 1 ,同理 ? x ? 0 x ? 0 ? ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? f (?1) 可化为 ? 得 ?1 ? x ? 0 ? x ? 0 x ? 0 ? ?
解集为 ? 1 ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1

3.函数的周期性
(1)周期函数的定义 若函数 f ( x) 对于定义域中任意 x ,存在不为零的常数 T ,使得 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,

则 f ( x) 为周期函数, T 为 f ( x) 的周期 (2)有关周期性的一些结论 ? ? ? 若 f ( x) 的周期为 T ,则 nT (n ? Z , n ? 0) 也是 f ( x) 的周期 若周期函数的周期 T 是所有正周期中最小的,则 T 为 f ( x) 的最小正周期 若函数 f ( x) 满足 f ( x ? a) ? ? f ( x)(a ? 0), f ( x ? a) ?

1 (a ? 0), f ( x)

f ( x ? a) ? ?

1 (a ? 0) ,则 f ( x) 比以 2 a 为周期,反之不成立。 f ( x)

证明提示:①令 x = x ? a ;②令 x ? x ? a ;③令 x ? x ? a 。 (3)函数的对称性 ? ? ? ? ? 满足条件 f ( x ? a) ? f (b ? x) 的函数的图象关于直线 x ? 若满足 f ( x ? a) ? ? f (b ? x) 的函数的图象关于点 (

a?b ,0) 对称 2 点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ,函数 y ? f ( x) 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ? f (? x)
点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x,? y ) ,函数 y ? f ( x) 关于 x 轴的对称曲线方程为

a?b 对称; 2

y ? ? f ( x) ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x,? y) ,函数 y ? f ( x) 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ( ? x) a?b ? 函数 y ? f ( x ? a) 与函数 y ? f (b ? x) 关于直线 x ? 对称。 2 a? x?b? x 注意: f ( x ? a) ? f (b ? x) ,对称轴求法: x ? ; 2 b?a y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的对称轴求法: a ? x ? b ? x , x ? 2
*************************课堂习题********************************** 1.已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式 2.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) =。 3.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??,0) 时 f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
4.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ? 1 5.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论.

6.设函数 f ( x) ? 1 ? x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) . 1? x2 x
2

三、一次函数(略)与二次函数(函数应用中有提及)
1、二次函数的定义及表达式
(1)定义:函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 叫做二次函数,它的定义域是 R (2)表达式:一般式、顶点式、两根式

2、二次函数的图象与性质
(1)图象:抛物线:开口方向、对称轴、顶点坐标; (2)性质:定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值最小值。

3、二次函数在闭区间上的最值(分情况讨论对称轴与闭区间的位置 关系) 4、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
判别式 ? ? b
2

? 4ac

? >0

? =0

? <0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)的图象
一元二次方程 有两不等实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的根
一元 二次 不等 式的 解 集

? b ? b 2 ? 4ac x1 , x2 ? 2a ( x1 ? x2 )
{ x x ? x1或x ? x2 }

有两相等实根 { x ? x1 ? x2 ? ?

b } 2a b } 2a

没有 实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
一元二次方程

{ x x ? R , 且x ? ?

实数 集R 空集

{ x x1

? x ? x2 }

空集

5、一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0, b 2 ? 4ac ? 0) 的实根分布
ax 2 ? bx ? c ? 0
比较标准 二次函数 充要条件

(a ? 0)的实根 x1 , x 2的分布

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)的图象

x1 ? x2 ? K
方程两根与 实数 K 比较

??0 b ? ?K 2a f (K ) ? 0 ??0 b ? ?K 2a f (K ) ? 0

K ? x1 ? x2

x1 ? K ? x2

f (K ) ? 0
??0 b K1 ? ? ? K2 2a f ( K1 ) ? 0 f (K 2 ) ? 0 f ( K1 ) ? 0

K1 ? x1 ? x2 ? K 2
方程两根与 区间 ( K1 , K 2 ) 比较

x1 ? K1 ? K 2 ? x2

f (K 2 ) ? 0
f ( K1 ) ? f ( K 2 ) ? 0

x1 ? ( K1 , K 2 ) 或x2 ? ( K1 , K 2 )

6、函数的零点与二分法
(1)函数零点的定义 如果 y ? f ( x) 在实数 a 处的值等于零,即 f (a) ? 0 ,则 a 叫做这个函数的零点。 一般地,函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 的实数根,也就是函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴的交点的横坐标。 所以, 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴 有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。 注意:并不是每个函数都有零点 (2)函数零点的判断(零点存在性定理) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异 号,即 f (a) f (b) ? 0 ,则这个函数在区间 ( a, b) 上至少有一个零点,即存在一点 x0 ? (a, b) 使得 f ( x0 ) ? 0 ,这样的零点叫做变号零点,有时曲线通过零点时不变号,这样的零点叫做 不变号零点。 (3)二分法的概念 对于区间 [ a, b] 上连续且满足 f (a) f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) 通过不断地把函数 y ? f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方 法叫做二分法。 (4)用二分法求函数零点近似值的一般步骤(略)


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高中数学函数知识点总结(全)
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