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沈晨竞赛讲义竞赛课件17:静电场:原理与方法


? ?

静电场的两大外观表现
对引入电场的任何带电体产生力的作用. 当带电体在电场中移动时,电场力做功,说明电 场具有能量.

描述静电场的基本规律
kq1q2 r
2

对一个孤立系统,电荷可在系统各部分之间迁移,但其总量保 持不变——原来为零的始终为零,原来为某一量Q的,则始终 示例

为Q,此即电荷守恒定律.

F=
规 律

规律

?

等效处理方法

在真空中的任何静电场中,通过任一闭合曲面的 电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的 ε0分之一,这就是真空中静电场的高斯定理.
示例
示例

等效对称替代法 等效电像变换法

?e ?

? qi
i

应用

?0

一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷, 板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为Q.如果球在第一 次与板接触后带电量为q,求球可获得的最大电量.

专题17-例1

球在第一次与板接触后获得电量为q,说明有量 值为q的正电荷从板上转移到球上,由电荷守恒可 知,此时板上电量为(Q-q),

分配到球上与板上的.

q 球与板这一系统中的总电量是按比例 Q?q

当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能 向与之接触的球迁移时(此时两者等电势),球上电 量达到最大: q q
max

Q

?

Q?q

qmax

qQ ? Q?q

如图所示,半径相同的两个金属球A、B相距很远,原来不带电, 返回 C球先与远处电池正极接触,(负极接地),接着与球A接触,再与B球接触;然 后又与电池正极接触,重复上述过程,反复不已.已知C球第一次与电池接触后的 带电量为q,第一次与A球接触后A球的带电量为Q1,求⑴A球与B球最后的带电量 Q1 9 Q与Q′;⑵设 A、B,至少经过几次与C球接触后,A球的带电量可达最后带电量 ? ⑴设 球半径为R,C球半径为r,C球与A球第1次接触后有 q 10 的一半? q ? Q1 Q1 ? ① A B r R q Q C 电荷不再从C球移向A球,故

R = Q1 q Q? q q ? Q1 r q Q? Q ? ? Q1 q C球与B球接触最终亦有 ? q ? Q1 r 1 r R ? ⑵由①式及题给条件 R 9 2 r R
? 9 ? 2 若第2次C与A接触后A又获电量Q2, q ? Q2 ? Q1 ? Qq 則 Q2 ? ? n ? ? 9 ? 10 R r ? ? 1? ? ?
n次C、A接触后有
9 q 10 ? 10 ? ? 4.5q 1 10

?



n ? 7次

cos ? ? k ? ?? q F1 ? 2 cos ? r1 2 r2 ?? k? q cos ? ? k ? ?? q F2 ? 2 cos ? r2

k?

2 r1 ??

q

?S1

r1
?1

??

r2
?2

?S2

m q r O

带电球壳内场强为零!

4 3 k? ? r 3 ? ? r E? 2 3? 0 r

Q M

把两个相同的电量为q的点电荷固定在相距l的地方,在二者 中间放上第三个质量为m的电量亦为q的点电荷,现沿电荷连线方向给第三个点电 荷一小扰动,证明随之发生的小幅振动为简谐运动并求其周期T.

专题17-例2

质点在平衡位置O时:

A 质点在距平衡位置x的某位置时:

kq 2 FA ? FB ? 2 l
kq
2 2

qA

l

O x FB
2

l FA
2

qB
B
?2

4kq ? 2 x ? kq 4kq ? 2 x ? FA ? ? 2 ? 1 ? ? FB ? ? 2 ?1? ? 2 2 l ? l ? l ? l ? ?l ? ?l ? ? x? ? x? ? ? 2 ? ? ?2 ? 2 4kq 2 ?? x? ? x ?? kq F ? 2 ?? 1 ? 4 ? ? ? 1 ? 4 ? ? ? l? ? l ? ? ? ?32 3 x l ??

?2

T?

?l
2q

l

ml 2k

均匀带电球壳半径为R,带正电,电量为Q,若在 球面上划出很小一块,它所带电量为q.试求球壳的其余部分对它的 作用力.

专题17-例3

点电荷q在两侧场强等值反向! 整个带电球内部场强为0;
Eq A Eq q

kQ 外表面场强大小为 R2 设球壳除A外其余部分在A处的场强为EA
在A内侧有

Eq ? E A ? 0

kQ 在A外侧有 Eq ? E A ? R2

kQ EA ? 2R2

kqQ F? 2 2R

一个半径为a的孤立的带电金属丝环,其中心 电势为U0.将此环靠近半径为b的接地的球,只有环中心O位于球面 上,如图.试求球上感应电荷的电量 .

专题17-例4

O点O1点电势均为0;
O点O1点电势均由环上电荷及 球上感应电荷共同引起! 环上电荷在O点的总电势为U0

O a

kqi U0 ? ? a i 环上电荷在O1点的总电势为 U ? aU 0 O1 kqi 2 2 UO1 ? ? a ?b 2 2 a ?b i 球上感应电荷在O1点引起的电势Ub abU 0 aU0 kQi Q? Ub ? ? ? ?UO1 ? ? 2 2 b k a 2 ? b2 a ?b i

O1

正点电荷Q1和正点电荷Q2分别放臵在A、B两点, 两点间相距L.现以L为直径作一半圆,电荷在此半圆上有一电势最 3 小的位臵P,设PA与AB的夹角为α,则α= .(用三角函数 Q2 tan?1 表示) Q1

切向场强为0位置为 电势最小的位置!
?

?

?

? L cos ? ?

kQ1

2

sin ? ?

? L sin ? ?

kQ2

Q1
2

Q2

cos ?

3

? tan ? ?

Q2 Q1

电荷均匀分布在半球面上,它在这半球的中心O 处电场强度等于E0.两个平面通过同一条直径,夹角为α,从半球中 分出一部分球面,如图所示.试求所分出的这部分球面上(在“小 瓣”上)的电荷在O处的电场强度E.

半球面均匀分布电荷 在O点引起的场强可视 为“小瓣”球面电荷 与“大瓣”球面电荷 在O点引起的电场的矢 量和. 由对称性及半球几何关系可知
E大与E小垂直,如图所示:


E
? 2

E小 ? E0 sin

?
2

E0

有两个异种点电荷,其电量之比为n,相互间距离 为d.试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面,并求此等势 面的半径及其中心与电量较小电荷的距离r .

以小电量电荷所在位臵为坐 y 标原点,建立直角坐标 -q与nq在坐标为(x、y) 的点电势迭加为零,即有
kq x2 ? y2 ? knq d ? x ? ? y2 ?
2

? x, y ?
-q O

nq
dx

d ? ? ? nd ? 2 ?x? 2 ? ?y ?? 2 ? n ?1? ? ? n ? 1?
球心坐标
d ? ? , 0? ?? 2 ? n ?1 ?

2

2

球半径 r ? n2 ? 1

nd

半径分别为R1和R2的两个同心半球相对放臵,如 图所示,两个半球面均匀带电,电荷密度分别为σ1和σ2,试求大的半 球面所对应底面圆直径AOB上电势的分布 . 2 A 大半球面上电荷量为 ? 1 2? R1 大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大球 面上电荷引起电势的一半,即 2

k 2? R1 ? 1 U1 ? ? 2k? R1? 1 R1 2 小半球面上电荷量为 ? 2 2? R2
小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球 面上电荷引起电势的一半,即 k 2? R 2?

? 2k? R2? 2 R2 2 k 2? R2 ? 2 小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为 U ? ? 2 整个小球面上电荷引起电势的一半,即 r2 ? r ? R2 ? 根据电场叠加原 ?U ? 2k? ? R1? 1 ? R2? 2 ? ? 2 理,直径AB上电 ? ? ? R2 ? 2 ? ? ? R1 ? r ? R2 ? ?U ? 2k? ? R1? 1 ? ? ? r ? 荷分布为: ? ? ? U2 ?
2 2

B

一半径为R、带电量为Q的均匀带电球面,试求其上的表面 返回 张力系数σ,σ定义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力 .

?? ? ? ?S ? ? ? ? R ? sin ? 2 ? ? 2 2 Q ?? ? Q? ?? ? T ? ?q ? ? ? ? R ? sin ? ? ? sin ? 2 2 ? 4? 2 ? 4? R ?

在球面上取一面元 2

?? 2

E

R ? sin

?? 2

R

??

T

面元受力如示
?E ? Q 8?? 0 R
2

? Fe ?

Q 8?? 0 R 2

?

Q? ?? ? Q ?? ? ? sin ? sin ? 2 ? 4? 2 ? 2 ? 32?? 0 R ? ? ?
2 2

2

?? ?? ?T ? ? ? 2? R sin 2 ? sin 2 面元处于平衡,则 2 ?? ?? Q2 ?? ? ? ? ? 2? R sin ? sin ? sin ? 2 ? 2 2 2 ? 32?? 0 R ? Q2

面元周边所受张力合力大小为

??

64? 2? 0 R3

电场线的疏密表示电场的强弱,若场中某面元上有 ? e 条电场线垂直穿过,则 E ? ?e 点电荷电场
S

球面上各处场强大小均为

E?

kq r
2

?

q 4?? 0 r
2

S

1 ? 从该球面穿出的电通量12 C2 /N ? m2 ?0 ? ? 8.85 ? 10 4?? ? ES ? q ? 4? r 2 ? q k
e

q

S?

4?? 0 r 2

?0

根据电场线的性质——在电场中 没有电荷处电场线是连续的、不 相交的,可以肯定包围点电荷q的 任意封闭曲面S′上的电通量也是

?e ?

q

?0

?入 ? ?出 ?e ? 0 q ?e ?

返回

S ??

q?0
q

?0

根据电场迭加原理,将上述结果推广到任意点电荷 系构成的静电场:若闭合曲面包围的电荷的代数和 为 q ,

?
i

i

則 ?e ?

? qi
i

?0

R < r 由高斯定理有

E?

?e 4? R ?e 4? R
2 2

?

0 4? R ? 0
2

?0

O

R ? r 由高斯定理有

E

E?

?

Q 4? R ? 0
2

?

kQ R
2
R 0 r

R < r 由高斯定理有

R r ?e ?

3

3

Q
?kQ Q e E? ? 3 ? R E R 2 3 4? R 4? r ? 0 r

R

O

?0

R ? r 由高斯定理有

E?

?e

E

4? R

2

?

Q 4? R ? 0
2

?

kQ R
2
R 0 r

由高斯定理有

?
E
?S

两面积S、间距d平行板电容器当 带电荷量Q时,板间电场由电场 叠加原理可得为

? ? ?S ?e ? ?0 ?e ? E? ? 2?S 2? 0

? ? 4? kQ E?2 ? ? 2? 0 ? 0 S

Q ?Q

点电荷q,试求板上电通量.

专题17-例5 半径为r的圆板,在与其中心O距离为d处臵一
球冠面上的电通量与圆板的电通量相同! 距q为R处电场强度大小为

E?

kq R
2

?

kq r ?d
2 2

q

R r

d

球冠面积为

q ? d kq ?1? ?e ? 2 2? R ? R ? d ? ? 2 2 2? 0 ? d ?r R ?

?S ? 2? R ? R ? d ?

? ? ? ?

在相距d的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷,其线密度 专题17-例6
为+及-λ .求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点P的电场强度 .

R E? ?l 2?? ?? 0l R? ?e ? ? E1 ? E2 ? ? 0 ?e ? ?2 E? ? ? d ? x2 2?? 0 2? R? 2? R ? ?l ?2 ? 0 ? ? d d ? ? ? 2 d / 2 2 ?? Ep ? 2 2? d 2 2 x E2 Ep ? ?2d??d 2 2 ?d? 2 ?? 0 04 x ? ? x 2?? ? ? ? P? x ? 2? ? 2?

? 由高斯定理有

?

?

EP

如图,有“无限长”均匀带电圆柱面,半径为R,电荷面密 度为σ,试求其场强,并作E(r)图 .

r<R

?e E? ?0 ?S
r?R

?e ? 0

R

?

E
?l

? ? 2? R ? ?l ?e ? ?0 ?e ?e R? 1 E? ? ? ? ?S 2? r ? ?l ? 0 r

? ?0

E

r

0

R

如图,在一厚度为d的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷, 其密度为ρ,求在平板层内及平板层外的电场强度E,并作E(r)图 .

?e ? E? ? r 2 ?S ? 0
d r? 时 2

d r < 时 ? ? ? ? ?S ? 2 r e 2 ?0

?
d ?S

? ? ?S ? d ?e ? ?0
d? 2? 0

?e ?d E? ? 2?S 2? 0

E

0 d/2 ?d ? 2? 0

r

一点电荷q位于一立方体中心,立方体边长为a,试问通过 立方体一面的电通量是多少?如果点电荷移至立方体的一个角上,这时通过立方 体每个面的电通量各是多少?

点电荷位于立方体中心时,通过立方体一个表面的电通量为

q ?e ? 6? 0
点电荷位于立方体顶点时, 通过立方体一个表面的电通量为

q 1 ?e ? ? 6? 0 4

q ? 24? 0

如图,电场线从正电荷+q1出发,与正点电荷及负点 电荷的连线成α角,则该电场线进入负点电荷-q2的角度β是多大?

以点电荷+q1与-q2为中心, 取一半径r很小的球面,可 视为其上电场线均匀分布, 穿出2α角所对的球冠面的 α 电场线应完全穿入2β角所 对的球冠面,两面上电通 +q1 量相等:

β



-q2

q1 2? r ? r ? 1 ? cos ? ? q2 2? r ? r ? 1 ? cos ? ? ? ? ? 2 2 ?0 ?0 4? r 4? r

sin

?
2

?

q1 ? sin q2 2

准确地画出两点电荷+q及-4q的电场线分布示意图.
若两电荷相距a,场强为零的点在两点电荷连线延长线 2 距+q为x远处: x 1

由上题,从+q出发, 与两电荷连线所成 角度在[0,π]之间的 电场线进入-4q终止 时与两电荷连线夹 角在[0,π/3]之间, 如图:

?a ? x?

2

?

4

? x?a

A

q

-4q

如图,两个以O为球心的同心金属球壳都接地,半径 分别是r、R.现在离O为l(r<l<R)的地方放一个点电荷q.问两 个球壳上的感应电荷的电量各是多少? . O点电势为0:

q qr qR ? ? ?0 l r R
由高斯定理知

q

l

r


q ? qr ? qR ? 0

?l ? r? R QR ? q ? r ? R? l
Qr

R

? l ? R? r ? q ?R ? r?l

如图,两个以O为球心的同心金属球壳都接地,半径 返回 分别是r、R.现在离O为l(r<l<R)的地方放一个点电荷q.问两 个球壳上的感应电荷的电量各是多少? . ◎球壳内、外表面感应电荷电量总等于球 壳中心电荷量
+ + +

◎内外感应电荷在球壳中心引起的电势为 + Q kQ kQ U? ? + a b + + ◎从中心移动极小电量过程中可认为中心点电势不变 Q 取q ? , 在第i次移动中的元功为 W ? Q ? k ? n ? i ? Q ? 1 ? 1 ? i ? ? n n n ?a b? 移动Q到无穷远的总功为 n

+
+

Q Q? 1 1? W ? lim ? ? k ? n ? i ? ? ? ? n?? n ?a b? i ?1 n
2

n 1 kQ ? 1 1 ? ?1 1? 2 ? kQ ? ? ? lim ? 2 ? n ? i ? ? ? ? ? ? a b ? n?? i ?1 n 2 ?a b?

这两部分移开很远的距离,设分开后的球表面仍均匀带电,试比较点与点电场强 度的大小 .

如图所示,将表面均匀带正电的半球,沿线分成两部分,然后将 专题17-例7

E2 < E3 E1 ? E3 E1 > E2

A?

E1

AE

A??

A

2

R 2

R 2

E3

A

如图所示,正四面体ABCD各面为导体,但又彼此 ? 绝缘.已知带电后四个面的静电势分别为 ?1 、2 、3 和 ?4,求四面体 ? 中心O点的电势φ0 .

专题17-例8

若正四面体的四个面电势相同,四面体就是一个等势体, 其中心点电势即可确定,现正四面体ABCD各面静电势均 不同,其中心点的电势难以直接确定. A

进行等效替代:另有同样的三个四个
面的静电势分别为φ1、 φ2 、 φ3和φ4的正 四面体,将它们适当地叠在一起,使四个 面的电势均为φ1+φ2 +φ3+φ4 ,中心点O共 B 点,这个叠加而成的四面体是等势体,其 中心O点电势4φ0=φ1+φ2 +φ3+φ4
O

D C

?0 ?

?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4
4

径为r的一个小球,小球球心与大球球心O相距为a,试求点的场强,并证明空腔 内电场均匀 .

专题17-例9 如图所示,在半径为R、体密度为的均匀带电球体内部挖去半

E A ? E1 ? E2
带电球内半径为r处 4 3 场强
E2 a O

EA E1

? ? E1 ? ? r1 E2 ? ? ?r2 3? 0 3? 0

k? ? r 3 ? ? r E? 2 3? 0 r

O ? r2

r1 A

? 則 EA ? ? r1 ? r2 ? 3? 0

? ? a 3? 0

总电量为Q,AB是它的一条直径,如果要使AB上的场强处处为零,则圆环上的 电荷应该如何分布?

如图所示,在半径为R的细圆环上分布有不能移动的正电荷, 专题17-例10

P处带宽设为 带面积为

?l
A B

M A
B

4? R Q Q ?Q ? ? ? 2? R ? ?l ?lsin? sin? 2R 2 4? R Q ?? ? ? sin ? P处弧上电荷线密度为 4R
2
P处带上电荷量为

?s ? ?l ? 2? ? R sin? 均匀带电球电荷面密度为 ? ?

Q
P

A

?

O

B

两个半球合在一起组成一个完整的金属球,球的半径 为R,如图所示,求两个半球间的静电斥力. 均匀带电金属球表面每一个面元受到整 个球面其余部分电荷对它的静电力大小 是
+ + + +

+ + + + + +

Fi ?

kQ

2R

2

?

Q

4? R

2

?S

+

+ + + +

+

+ + + +

则单位面积静电力

F kQ P? ? ?s 8? R4

2

设想另半球对此半球的作用力与压强亦为P的气体作 用在半球上的压力相平衡,则

F?

kQ

2 4

8? R

?? R ?
2

kQ 8R

2 2

?

Q

2 2

32?? 0 R

在强度为E的均匀电场中放着一个均匀的金属球,其半径为R, 由于感应,在球上产生了表面密度为σ的电荷,σ与图中标出的角α有关系.求关 系式σ(α)

E
+ + E? ? EQ ? E?Q + + r2 E ? ? ? + 而 EQ ? r1 E?Q ? ? r2 + d ? 3? 0 3? 0 + + + + ? ? 則 E? ? ? r1 ? r2 ? ? d= ? E ++ 3? 0 3? 0 3? 0 E 3? 0 E ? ?V 可得 ? ? ?? d d + +

d

?V ?S

?V ? ?S ? d cos?

? ? 3? E cos ?

?S

如图所示,平面上有一段长为l的均匀带电直线AB,在该平面取 返回 直角坐标Oxy,原点O为AB中点,AB沿x轴.⑴试证明该平面上任一点P的电场线 EP 方向沿∠APB的角平分线;⑵试求该平面上的电场线方程⑶试求该平面上的等势 线方程.

?xi ?
元电荷在P点 引起的场强

r?

?

sin ? i

n

Eqi ?

2 ?r ?r ? qi ? ?? nh nh k??

2

P
?
i

?
n

利用双曲线性质:双曲线上各点切线沿该点与双曲线 两焦点夹角平分线,而所研究的电场其各点电场线切 线沿各点对A、B张角平分线,则电场线为一簇焦距 为l /2的双曲线 利用椭圆性质:椭圆上各点法线为该点与椭圆两焦点 夹角平分线,所研究的电场其各点电场线切线沿各点 对A、B张角平分线,而等势线与电场线处处垂直, 则其等势线即为一簇焦距为 l /2的椭圆

各点合场强均沿该点对 A AB张角的角平分线 !

nh

?i

h

r
i ?2 1 C ?xi
2 2

B

x a

?

y2
2

?l? ? a2 ? ? ? 2?

?1

x2 a
2

?

y2 ?l? a ?? ? ? 2?
2 2

?1

如图,无限大的接地导体板,在距板d处的A点有 一个电量为Q的正电荷,求板上的感应电荷对点电荷Q的作用力.

专题17-例11

由于导体板接地,板上电势为零,在点电荷Q 的作用下,板的右侧出现感应电荷.

由于导体为一等势面,从点电荷Q出 发的电场线应处处与导体面正交而终 止,因而导体板右侧电场线分布大致 如图所示. 联想到等量异种电荷的电场:

A -Q Q

导体板上感应电荷对板右侧电场的影响, 可用与点电荷Q关于导体面成镜像对称的另 一虚设点电荷-Q替代,板上感应电荷对Q的 作用亦等效于像电荷-Q对Q发生的作用 由库仑定律,板上感应电荷对点电荷Q的 作用力大小为 Q

kQ ? F? 2 2 16?? 0 d 4d

专题17-例12如图所示,设在一接地导体球的右侧P点,有一点电荷q,它与
球心的距离为d,球的半径为R,求导体球上的感应电荷为多少?点电荷q受到的电 场力为多大?

由导体表面感应 电荷总电量在O点 引起的电势与点 电荷q在O点引起 的电势之和为零 得 ?

R

O

?
r q?
F? kq ?q

P
kRdq 2
+q

kq kq ? ?0 d R

?d ? r ?

2

?

?d

2

?R

2

?

2

根据唯一性原理可知,等效的像电荷量即为

像电荷位置,应令其在球面上任意点引起的电势与q在同 一点电势叠加为零,即满足

R q? ? ? q d

2 2 d 2r 2 ?

d

?

Rr ? 22 Rrd ?? 2 R d R ? d ? 2R2 cos ? R 2 ? 2 ? Rr cos ? ? R 2 2 ? Rd R ? d ? 2 Rd cos ? R ? r ? 2r ? ? Rr cos 对任意角位置等式均成立必有 d
2 32

4 2 kq

?

?

??

2 kq? 2 cos ?

?

半径为R2的导电球壳包围半径为R的金属球,金属球 原来具有电势为U,如果让球壳接地,则金属球的电势变为多少?

金属球上电量设为Q

kQ UR1 由U ? ?Q? R1 k
球壳接地后设感应电荷的像电荷电 量为q,由高斯定理

U

R1U ? ? 0 q ? ?Q ? ? k ?0 ?0
Q q

壳接地后球的电势为Q与q引起的电势叠加

UR1 R2 ? R1 ? U U? ? U ? R2 R2

两个电量q相等的正点电荷位于一无穷大导体平板 的同一侧,且与板的距离均为d,两点电荷之间的距离为2d.求在 两点电荷联线的中点处电场强度的大小与方向.

像电荷在c点引起的场强大小

E?

kq 5d
2 5
2

a? -q
Ea ?

a

q c

Eb Ea q
b

Ec

Ec ? 2 E

?

4kq 5 5d
2

-q

Eb ?

b?

如图,速调管用于甚高频信号的放大.速调管 主要由两个相距为b的腔组成,每个腔有一对平行板.初始速度为 v0的一束电子通过板上的小孔横穿整个系统.要放大的高频信号以 一定的相位差(一个周期对应于2π相位)分别加在两对电极板上, 从而在每个腔中产生交变水平电场.当输入腔中的电场方向向右时, 进入腔中的电子被减速;反之,电场方向向左时,电子被加速.这 样,从输入腔中射出的电子经过一定的距离后将叠加成短电子 束.如果输出腔位于该短电子束形成处,那么,只要加于其上的电 压相位选择恰当,输出腔中的电场将从电子束中吸收能量.设电压 信号为周期T=1.0×10-9 s,电压V=0.5 V的方波.电子束的初始速度 v0=2.0×106 m/s,电子荷质比e/m=1.76×1011 C/kg.假定间距a很小, 电子渡越腔的时间可忽略不计.保留4位有效数字,计算:(a)使 电子能叠加成短电子束的距离b.(b)由相移器提供的所需的输出腔 与输入腔之间的相位差. b a a v0

专题17-例13

输出腔 输入腔



相移器

解答

读题 v0 a b a

输出腔 输入腔
通过输入腔的电子


电场向左时被电场加速 电场向右时被电场减速

相移器

要形成短电子束,应使后半周期通 过输入腔被加速的电子经过一段距 离b在输出腔“追”上前半周期通 过输入腔被减速的电子,从而叠加 成短电子束,故此应有:

1 1 2 由动能定理:?Ue ? mv ? mv 2 ? v ? v 2 ? ? 2Ue ? t 0 ? ? t 0 2 2 m ? ?
b ? 2Ue ? 2 v0 ? ? ? ? m ? ? T ? 2 b
2 ? 2Ue ? v0 ? ? ? ? m ?

b?

4 ? 2Ue ? v0 ? ? ? T 1.0 1.956 ? 2.044 ? m ? ? ? ? 10?9 ? ? 106 m ? 2.272 ? 10?2 m 2 2 2.044 ? 1.956 2 ? 2Ue ? 2 ? 2Ue ? v0 ? ? ? ? v0 ? ? ? ? m ? ? m ?

2

读题

b)为使输出腔中的电场从短电子束中吸收能量,应使电 场方向向右,电场力对电子束做负功.当输入腔电场方 向向右时满足

b

T

2 v0

? ? ? ? ? b 2.272 ? 10?2 ? ? 2? ? ? ? ?? ? ? ? ?k? ? k ? 2? ? ? ? 11.62 ? k ? 2? ? 6 ?9 ? 1.956 ? 10 ? 1.0 ? 10 ? ? 2Ue ? 2 ? T v0 ? ? ? ? ? ? ? m ? ? ?

? 2Ue ? ?? ? ? m ?

? 2? ? ?? ? 2k?

?? ? ?0.62 ? 2? ? ?223

?

?? ? ?0.38 ? 2? ? ?137?

成一维点阵,相邻离子间的间距为a.计算这个相互静电作用的点阵 总静电能.(N→∞)

如图所示,N个一价正离子和N个一价负离子交错排列

A0
除两端处的一些离子外,每个离子与其周围离子的相互作用情 形都相同,任取一正离子记为A0,两侧各对离子依次为A-1、 A+2…… A0在第1对负离子中间位置具有电势能

E?1

A0在第2对正离子中间位置具有电势能

ke 2 ? ?2 a

这是与第1 对负离子所共有的!

ke 2 这是与第2 对正离子所共有的! E ?2 ? 2 2a 2 2 ke 2ke ? 1 1 1 ? E? ? ?1 ? ? ? ?? ? ? ? ? 2ln 2 ? a ? 2 3 4 a ?

如图所示,质子加速器使每个质子得到的动能为E.很细的质子 束从加速器射向一个远离加速器的半径为r的金属球,并留在球上.球中心并不处 在加速器发射出的质子运动方向的直线上,而与该直线的垂直距离为d,且d<r, 加速器工作足够长时间后,球能充电到多高的电势?计算中取E=2keV,.

设质子初速度为v0,当金属球充电到电势为U时,质子与 金属球相切而过,设此时速度设为v,由于质子在向球运 动时,只受库仑力且力的方向沿球径向,故对球心O,冲 r 量矩为零,质子角动量守恒:

v0 v? ? 2

E 2m
mv0

mv0

2

? mvr
r

由动能定理: E? ? eU ? ? E ? ? 4? ? 3 ?U ? E ? 1500V 4e

d U

需要净化空气中的灰尘,但在一般条件下灰尘沉积下来 是较缓慢的,为此可利用这样一个事实,即灰尘是带电的.为模拟净化过程, 提出两种装臵. 第一个装臵是,将含有灰尘空气的玻璃圆桶(高h=1 m,半径R=0.1 m,如 图示)放在场强E1=1×104 V/m的电场中,场强方向沿着圆柱形桶的轴向.经时 间t1=120 s后,可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部. 第二个装臵是这样的:沿圆柱桶的轴线紧拉着一根细导线,且将此导线跟高 压电源相连,电源电压是这样选取的,使在容器壁上场强值恰好等于第一个装 臵的场强值1×104 V/m.已知在这种情况下场强E∝1/r,r为离轴线的距离. 假设尘粒是同种的,其所带电荷量也相等,试确定第二个装臵中尘粒沉积到容 器壁所需时间.由于空气中的尘粒不多,体电荷可以忽略,认为尘粒沉积过程 动态平衡,空气阻力与速度成正比,不计重力 2R

h

解答

读题

第一个装置中,电场力恒定,故尘粒匀速下降时有

E1q ? kv1

h hk t1 ? ? v1 E1q
R n

第二个装置中,在距离轴心r处尘粒速度设为vr,则

? R? R ? t1 n R? i ? t 2 ? lim ? ? n? lim n ?? nvi ? n?? ? nRh i ?1 i ?1
n

Rh RE1 t1 E1q q ? kvr ? vr v r ? r h rt1

n R 1 ? t1 lim ? i ? 2 ? R t 1 h n?? i ?1 n 2h

? 6s


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