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揭秘一道高考解析几何题


l 0  

中学数 学研 究 

2 0 1 2年第 1 2期 

2变 式探 究 
2 . 1   横 向变式 
性质 1 : 设椭 圆  +   =1 ( 口>b>0 )的左右 

f 与双 曲线 交于 c、 D两点 , 并 与  轴 交 于点 P, 直 线  A C与直 线 B D交于 点 9 . 当点 P异于 A、 B两点时 , 则 




—  

O P? o o =Ⅱ   .  

证 明可 参照性 质 1的证 明过 程 , 略.  

顶点 为 A、 B, 过其 焦点 F( 0, c )的直线 f 与椭 圆交于  c、 D两 点 , 并与 轴 交 于点 P, 直线 A C与直线 B D交 
于点 Q . 当点 P异于 4、 B两 点时 , 则O P? o Q =b   .   证明 : 设 C ( b c o s  ̄, a s i n  ̄ ) , D( b o o  , a s i  ) , 则  直线 A c的 方 程 是 : Y=   8 D的方 程是 : Y   解得 一   / c 。 s  
/ c o  

至此 , 我们得 到有 心 圆锥 曲线如下 一 个性质 :  
性质 : 已知 有心 圆锥 曲线 £ : p   +q Y  = 1 ( P q≠   0 ) , A、 B是在 同一 条 对称 轴 上 的两 个顶 点 , 过 另一 

条 对 称轴 上 的一点  ( 除原 点外 )的直 线 f 与 曲线 交  于 c、 D两 点 , 并 与直 线 A B所在 的对称 轴交 于点 P直  线A C与 直线 B D交于 点 ( ) , 当点 P异 于 _ 4 、  两 点时 ,   则O P? o Q是定 值 ( 0是原 点 ) .  

(   +6 ) , 直 线  (  一 6 ) , 联立 消去 y ,  

3   高数背景 
S1  

n   十 s l n   一 端  I S I n     一   ,   …s  

3 . 1   极点 、 极 线有 关知 识简介 [ 1 ]  
记 S (  , Y ) =A x  +B x y+ C y  +D x +E y+F,  

, 所 以 Q 点 横 坐 标 p = 6 .c 。 s  
.  

S (  。 , y 。 ) (  , y ):A   。   +B   — X — o y —   +   — y — o x+C —   ( ) y
+ E 

+ D 

因为 c、 , ) 、 F、 P四点 共 线 , 则 
k , c .  

=k F p , k   。=   定理 1 : 已知 二 次 曲线 L : S (  , Y ) =0 , 过 定 点 

。 =  得 专=  焉
=一 6 c. ‘ S . l   n   — 一 / /   C O S   — —   一


所  

P(   。 , Y 。 ) ( ( P 隹L )作动直 线交 , J 于  ,   两点 , 该  直线 上 的一点 Q满 足 (   : , P Q)=一1 ( 即 P与 Q  
关 于 二次 曲线  调 和共轭 或点 p和点 P关 于 , J 互 为 

,  

共 轭点 ) , 则 9必在 定 直 线 f 上, 且 直线 f 的方 程 是 

又 由   ∞ =   , 。 , 得 詈 ? 篙  


  0 , Y o ) (  , Y ) =0 .   =   S( 由定理 1知点 P(   。 , Y 。 ) 关于 L : S (  , Y )=0的 


整理 可得  i  
:  .

/ 。 。  
Z 

DCOS  

:旦 则 
C  

共 轭点 Q 的轨 迹 在 一 条 直线 上 , 称这条直线 S (  ,   Y 。 ) (  , Y ) =0为 P(  。 , Y 。 ) 关 于此 二 次 曲线 L : S (  ,  

.  

= 

P .   o



= b  
. 

Y )=0的极 线 , 点P (   。 , Y 。 ) 为该 直线关 于 此二 次 曲 
线 的极 点.  

由上 面证 明过程 , 不难 得 到如下 性质也 成立 :  
2   2  

三点形 : 平 面 内不 共线 的三 点 与其 每 两 点 的连 
线 所组 成 的图形 叫做 三点 形.   定理 2 : 一 个 完 全 四点 形 的 四 个 顶 点 在 二 次 曲  线上 , 则这个 完全 四点 形 的对 边 三点 形 的顶 点 是 其 
对 边 的极点.  

性质 2 : 设椭 圆  +   =l ( n>b>0 )的左右  顶点 4、  , 过 Y轴上一 点 M( 0, m) ( m ≠0 )的直线 Z   与椭 圆交 于 c、 D两点 , 并 与 轴 交于点 P, 直线A C 与 

直线 B D交 于点 Q . 当点 P异于 A、 B两 点 时 , 则O P?  
— —

十 

一 

O Q =b   .  


3 . 2   高考 题 的高数 解法 
2  


2  

性质 3 : 设椭 圆- 7+÷   了=1 ( n>b>0 ) 的左右 
顶 点是  、 曰, 过 轴上一 点 M( 0, m) ( m ≠0 )的直线 f   与椭 圆交 于 c、 D两点 , 并与 轴 交于 点 P . 直线A C 与  直线 B D交 于点 p . 当点 P异 于 A、 B两点 时 , 则O P?  
— —

由 已知 四边 形 A B C D 的 四个顶 点 在 椭 圆 上 , 且 

点 P、 Q是其对边三点形的两个顶点 , 则由定理 2 知  点Q 在点P的极线上. 设P ( P , 0 ) , 由定理 1 知该极线  方程 是 p x=1 , 所 以 Q点 的横 坐标是 ] / p , 则O P? o Q  
= P ‘1 / p = 1 .  

寸  

一  

O Q =n   .   2 . 2   纵 向推 广 

参 考 文献 

[ 1 ]林志展. 几道解 析几何的高数 背景初 探 [ J ] . 中学数 学研究 ( 广 
州) , 2 O l 1 ( 3) .  

性 质 4: 没双 曲线  一Y  =1 ( r z>0 , b>0 )的 
顶 点是 4、  , 过Y 轴 上一 点 M( 0 , m) ( m≠ 0 )的直线 

[ 2 ]彭 世 金 . 有 心 圆 锥 曲线 的一 个 性 质 [ J ] . 数 学 通讯 , 2 0 1 0 ( 4 )   .


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