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吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中总复习数学试题(1)


高一数学

必修 1 期中总复习(1)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 集合 A={0,2, a}, B={1, a2}, 若 A∪B={0,1,2,4,16}, 则 a 的值为________________. 2 ? ?x≤1? ?1-2x 1 2.设函数 f(x)=? 2 ,则 f( )的值为______

__. f ? 3? ? ?x +3x-2 ?x>1? f?2x? 3.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是________. x-1 4.三个数 a=0.32,b=log20.3,c=20.3 之间的大小关系是________. 5.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,那么下列命题 中正确的是________.(填序号) ①函数 f(x)在区间(0,1)内有零点; ②函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点; ③函数 f(x)在区间[2,16)内无零点; ④函数 f(x)在区间(1,16)内无零点. 6.已知 0<a<1,则方程 a|x|=|logax|的实根个数是________. 7.函数 f(x)=x2-2ax+1 有两个零点,且分别在(0,1)与(1,2)内,则实数 a 的取值范围是 ________. 8.一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b%,则 n 年后这批 设 备的价值为________万元. 9.下列 4 个函数中: ①y=2 008x-1; 2 009-x ②y=loga (a>0 且 a≠1); 2 009+x x2 009+x2 008 ③y= ; x+1 1 1 ④y=x( -x + )(a>0 且 a≠1). a -1 2 其中既不是奇函数,又不是偶函数的是________.(填序号) 1 1 10.设函数的集合 P={f(x)=log2(x+a)+b|a=- ,0, ,1;b=-1,0,1},平面上点 2 2 1 1 的集合 Q={(x,y)|x=- ,0, ,1;y=-1,0,1},则在同一直角坐标系中,P 中函数 2 2 f(x)的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是________. .. 1- 11.计算:0.25×(- ) 4+lg 8+3lg 5=________. 2 a b ? ?=|ad-bc|,则不等式 log ?1 1?<0 的解集是________. 12.若规定? ? ? 2? ?c d ? ?1 x ? 13. 已知关于 x 的函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数, 则 a 的取值范围是________. 1 - 14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 x,则不等式 f(x)<- 2 的解集是________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)
m?2 x ? x 15.(14 分)已知函数 f(x)= log 1 ? x ? 1? 的定义域为集合 A,函数 g(x)= 3 -1 的
2

2

值域为集合 B,且 A∪B=B,求实数 m 的取值范围.

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x+a 16.(14 分)已知 f(x)= 2 是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证 x +bx+1 明你的结论.

17. (14 分)若非零函数 f(x)对任意实数 a, b 均有 f(a+b)=f(a)· f(b), 且当 x<0 时, f(x)>1; (1)求证:f(x)>0; (2)求证:f(x)为减函数; 1 1 (3)当 f(4)= 时,解不等式 f(x2+x-3)· f(5-x2)≤ . 16 4

18. (16 分)我市有甲, 乙两家乒乓球俱乐部, 两家设备和服务都很好, 但收费方式不同. 甲 家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.某公司准备下个月从这两家中的一家租 一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40), 在乙家租一张球台 开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40),试求 f(x)和 g(x); (2)选择哪家比较合算?为什么?

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19.(16 分)已知函数 y=f(x)的定义域为 D,且 f(x)同时满足以下条件: ①f(x)在 D 上是单调递增或单调递减函数; ②存在闭区间[a,b] D(其中 a<b),使得当 x∈[a,b]时,f(x)的取值集合也是[a,b].那 么,我们称函数 y=f(x)(x∈D)是闭函数. (1)判断 f(x)=-x3 是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理由. (2)若 f(x)=k+ x+2是闭函数,求实数 k 的取值范围. (注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出是增函数还是减函数即可)

20.(16 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=ax-1.其中 a>0 且 a≠1. (1)求 f(2)+f(-2)的值; (2)求 f(x)的解析式; (3)解关于 x 的不等式-1<f(x-1)<4,结果用集合或区间表示.

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答案解析:
1.4 解析 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又∵A∪B={0,1,2,4,16}, ? ? ?a=4, ?a=16 ∴? 2 即 a=4.否则有? 2 矛盾. ?a =16, ?a =4 ? ? 127 2. 128 1 1 解析 ∵f(3)=32+3×3-2=16,∴ = , f?3? 16 1 1 1 2 127 ∴f( )=f( )=1-2×( )2=1- = . 16 16 256 128 f?3? 3.[0,1) ?0≤2x≤2 ? 解析 由题意得:? ,∴0≤x<1. ?x≠1 ? 4.b<a<c 解析 20.3>20=1=0.30>0.32>0=log21>log20.3. 5.③ 解析 函数 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故函数 f(x)在区间[2,16)内无零点. 6.2 解析 分别画出函数 y=a|x|与 y=|logax|的图象,通过数形结合法,可知交点个数为 2.

5 7.1<a< 4 解析 ∵f(x)=x2-2ax+1,∴f(x)的图象是开口向上的抛物线. 1>0, f?0?>0, ? ? ? ? 由题意得:?f?1?<0, 即?1-2a+1<0, ? ? ?f?2?>0. ?4-4a+1>0, 5 解得 1<a< . 4

8.a(1-b%)n 解析 第一年后这批设备的价值为 a(1-b%); 第二年后这批设备的价值为 a(1-b%)-a(1-b%)· b%=a(1-b%)2;故第 n 年后这批设 n 备的价值为 a(1-b%) . 9.①③ 解析 其中①不过原点,不可能为奇函数,也可能为偶函数;③中定义域不关于原点对 称,则既不是奇函数,又不是偶函数. 10.6 1 1 解析 当 a=- ,f(x)=log2(x- )+b, 2 2 1 ∵x> , 2 ∴此时至多经过 Q 中的一个点; 1 当 a=0 时,f(x)=log2x 经过( ,-1),(1,0), 2 1 f(x)=log2x+1 经过( ,0),(1,1); 2 1 当 a=1 时,f(x)=log2(x+1)+1 经过(- ,0),(0,1), 2 f(x)=log2(x+1)-1 经过(0,-1),(1,0);

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1 1 1 当 a= 时,f(x)=log2(x+ )经过(0,-1),( ,0), 2 2 2 1 1 f(x)=log2(x+ )+1 经过(0,0),( ,1). 2 2 11.7 解析 原式=0.25×24+lg 8+lg 53=(0.5×2)2×22+lg(8×53)=4+lg 1 000=7. 12.(0,1)∪(1,2) ?1 1?=|x-1|, 解析 ? ? ?1 x ? 由 log 2|x-1|<0,得 0<|x-1|<1, 即 0<x<2,且 x≠1. 13.(1,2) 解析 依题意,a>0 且 a≠1, ∴2-ax 在[0,1]上是减函数, 即当 x=1 时,2-ax 的值最小,又∵2-ax 为真数, ?a>1 ? ∴? ,解得 1<a<2. ?2-a>0 ? 14.(-∞,-1) 1 - 解析 当 x>0 时,由 1-2 x<- , 2 1x 3 ( ) > ,显然不成立. 2 2 当 x<0 时,-x>0. 因为该函数是奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=2x-1. 1 - 由 2x-1<- ,即 2x<2 1,得 x<-1. 2 1 又因为 f(0)=0<- 不成立, 2 所以不等式的解集是(-∞,-1). + 15.解 由题意得 A={x|1<x≤2},B=(-1,-1+31 m]. + + 由 A∪B=B,得 A?B,即-1+31 m≥2,即 31 m≥3, 所以 m≥0. x+a 16.解 ∵f(x)= 2 是定义在[-1,1]上的奇函数, x +bx+1 0+a ∴f(0)=0,即 2 =0,∴a=0. 0 +0+1 -1 1 又∵f(-1)=-f(1),∴ =- , 2-b 2+b x ∴b=0,∴f(x)= 2 . x +1 ∴函数 f(x)在[-1,1]上为增函数. 证明如下: 任取-1≤x1<x2≤1, ∴x1-x2<0,-1<x1x2<1, ∴1-x1x2>0. x1 x2 ∴f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1+1 x2+1 2 2 x1x2 +x1-x1 x2-x2 = 2 ?x1 +1??x2 2+1? x1x2?x2-x1?+?x1-x2? = 2 ?x1 +1??x2 2+1?

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?x1-x2??1-x1x2? <0, 2 ?x1 +1??x2 2+1? ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)为[-1,1]上的增函数. x x x 17.(1)证明 f(x)=f( + )=f2( )≥0, 2 2 2 又∵f(x)≠0,∴f(x)>0. (2)证明 设 x1<x2,则 x1-x2<0, 又∵f(x)为非零函数, f?x1-x2?· f?x2? f?x1-x2+x2? ∴f(x1-x2)= = f?x2? f?x2? f?x1? = >1,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数. f?x2? 1 1 (3)解 由 f(4)=f2(2)= ,f(x)>0,得 f(2)= . 16 4 原不等式转化为 f(x2+x-3+5-x2)≤f(2),结合(2)得: x+2≥2,∴x≥0, 故不等式的解集为{x|x≥0}. 18.解 (1)f(x)=5x,15≤x≤40; ? 15≤x≤30 ?90, g(x)=? . ?30+2x, 30<x≤40 ? (2)①当 15≤x≤30 时,5x=90,x=18, 即当 15≤x<18 时,f(x)<g(x); 当 x=18 时,f(x)=g(x); 当 18<x≤30 时,f(x)>g(x). ②当 30<x≤40 时,f(x)>g(x), ∴当 15≤x<18 时,选甲家比较合算; 当 x=18 时,两家一样合算; 当 18<x≤40 时,选乙家比较合算. 19.解 (1)f(x)=-x3 在 R 上是减函数,满足①; 3 ? ?-a =b 设存在区间[a,b],f(x)的取值集合也是[a,b],则? 3 ,解得 a=-1,b=1, ?-b =a ? 所以存在区间[-1,1]满足②, 所以 f(x)=-x3(x∈R)是闭函数. (2)f(x)=k+ x+2是在[-2,+∞)上的增函数, 由题意知,f(x)=k+ x+2是闭函数,存在区间[a,b]满足② =

?k+ a+2=a 即:? . ?k+ b+2=b
即 a,b 是方程 k+ x+2=x 的两根,化简得, a,b 是方程 x2-(2k+1)x+k2-2=0 的两根. 且 a≥k,b>k. f?k?≥0 ? ?Δ>0 令 f(x)=x -(2k+1)x+k -2,得? 2k+1 ? ? 2 >k
2 2



9 解得- <k≤-2, 4

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9 所以实数 k 的取值范围为(- ,-2]. 4 20.解 (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-2)=-f(2),即 f(2)+f(-2)=0. - (2)当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=a x-1. 由 f(x)是奇函数,有 f(-x)=-f(x), - ∵f(-x)=a x-1, - ∴f(x)=-a x+1(x<0). x ? ?x≥0? ?a -1 ? ∴所求的解析式为 f(x)= . -x ?-a +1 ?x<0? ? (3)不等式等价于?
?x-1<0 ? ?-1<-a ?
-x+1

+1<4

? ?x-1≥0 或? , x-1 ?-1<a -1<4 ? ?x-1<0 ?x-1≥0 ? ? 即? 或? . -x+1 x-1 ? ? <2 ?-3<a ?0<a <5 ? ?x<1 ?x≥1 ? 当 a>1 时,有? 或? ,注意此时 loga2>0,loga5>0, ?x>1-loga2 ?x<1+loga5 ? ? 可得此时不等式的解集为(1-loga2,1+loga5). 同理可得,当 0<a<1 时,不等式的解集为 R. 综上所述,当 a>1 时, 不等式的解集为(1-loga2,1+loga5); 当 0<a<1 时,不等式的解集为 R.


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