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河南省商丘市2016届高三第三次模拟考试数学理科试题含答案


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商丘市 2016 年高三第三次模拟考试参考答案 数学(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1)C (7)C (2)D (8)C (3)B (4)D (5)A (11)B (6)A (12)D

(9)B (10)A

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) 5 三、解答题
2 2 2 (17)解:(Ⅰ)在 ?ABC 中,因为 b ? c ? a ? bc ,

(14)

10 21

(15)

32 3

(16) 4 2

由余弦定理可得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? , ………………………3 分 2bc 2bc 2
……………………………………6 分

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3



2 (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? 2 cos

x ? ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1 , 2 4

f ( B ) ? 2 sin( B ? ) ? 1 ? 2 ? 1 ,∴ B ? , ………………………9 分 4 4


?

?

a b 2 b ? ? ,即: , 0 sin A sin B sin 60 sin 450
2? 2 2 ?2 6. 3 3 2

∴b ?

………………………………………12 分

(18)解:(Ⅰ)设 “仅有两人的成绩合格”为事件 A ,“有三人的成绩合格”为事 件B ,

至少有两人的成绩是合格的概率为 P ,则 P ? P( A) ? P( B) ,又男生共 12 人,
1 C4 ? C82 其中有 8 人合格,从而 P(A) ? , 3 C 12

…………………………2 分

P( B) ?


C83 , 3 C 12

………………………………4

所以 P ? 分

42 . 55

………………………………6

(Ⅱ)因为女生共有 18 人,其中有 10 人合格,依题意, X 的取值为 0,1,2.

2 1 1 C80C10 C8 C 5 80 则 P( X ? 0) ? , ? , P( X ? 1) ? 210 ? 2 C18 17 C18 153 0 C82C10 28 ,(每项 1 分) ……………………………10 分 ? 2 C18 153

P( X ? 2) ?

因此, X 的分布列如下:

X

0

1

2

P
∴ E( X ) ? 0 ? 分

5 17

80 153

28 153

5 80 28 136 8 ? 1? ? 2? ? ? (人).(未化简不扣分)……12 17 153 153 153 9

(或是,因为 X 服从超几何分布,所以 E (X) ? 2 ?

8 8 ? (人). 18 9

(19)解(Ⅰ)依题意,以点 A 为原点建立如图的空间直角坐标系 ,…………………1 分 不妨设 AB ? AP =2 , 则 B(2,0,0), C (2, 2,0), D(0, 2,0), P(0,0, 2) ,

??? ? E 为棱 PD 的中点,得 E (0,1,1) , AE ? (0,1,1) ,

??? ? ??? ? BD ? (?2, 2,0) , PB ? (2,0, ?2) , ? 设平面 PBD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,
? ??? ? ?n ? BD ? 0 ??2 x ? 2 y ? 0 ? ? 则 ? ? ??? ,即 ? , 2 x ? 2 z ? 0 n ? PB ? 0 ? ? ? ? 不妨令 y ? 1 ,得 n ? (1,1,1) , ………………………………………4 分
所以 cos ? AE , n ??

??? ? ?

6 , …………………………………………………5 分 3

∴直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 (Ⅱ)向量 CP ? (?2, ?2, 2) , AC ? (2, 2,0) ,

6 . …………………………6 分 3

??? ?

??? ?

由点 M 在棱 PC 上,设 CM ? ? CP ( 0 ? ? ? 1 ), ∴ FM ? FC ? CM ? (1 ? 2?, 2 ? 2?, 2? ) , ∵ FM ? AC ,∴ FM ? AC ? 0 , ∴ (1 ? 2? ) ? 2 ? (2 ? 2? ) ? 2 ? 2? ? 0 ? 0 ,解得 ? = ∴

???? ?

??? ?

???? ?

??? ? ???? ?

???? ? ??? ?

3 ,…………………10 分 4

PM 1 = . MC 3

………………………………………………………12 分

(20)解:(Ⅰ)设点 M ( x, y) , P( x0 , y0 ) ,则由 PM ?

???? ?

? ?x ? x 1 ??? PQ ,得 ? 0 , 2 y ? 2 y ? 0

因为点 P 在抛物线 x2 ? 2 y 上,∴ x2 ? 4 y . ………………………4 分 (Ⅱ)方法一: 由已知,直线 l 的斜率一定存在, 设点 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,则联立 ? 得, x 2 ? 4kx ? 16k ? 20 ? 0 ,

? y ? k ( x ? 4) ? 5
2 ?x ? 4 y



由韦达定理,得 ?

?x1 ? x2 ? 4k . ?x1 x2 ? 16k ? 20

………………………………………6 分

当直线 l 经过点 S 即 x1 ? ?4 或 x2 ? ?4 时, 当 x1 ? ?4 时,直线 SA 的斜率看作抛物线在点 A 处的切线斜率, 则 k1 ? ?2 , k 2 ?

1 17 ,此时 k1 ? k 2 ? ; 8 8 17 (学生如果没有讨论,不扣 8
y1 ? 4 y ?4 , , k2 ? 2 x1 ? 4 x2 ? 4

同理,当点 B 与点 S 重合时, k1 ? k 2 ? 分)

直线 l 不经过点 S 即 x1 ? ?4 且 x2 ? ?4 时,∵ k1 ?

? k1 ? k2 ?

(kx1 ? 4k ? 1) ? (kx2 ? 4k ? 1) ……………………………………8 分 ( x1 ? 4) ? ( x2 ? 4)

?
?

k 2 x1 x2 ? (k ? 4k 2 )( x1 ? x2 ) ? 16k 2 ? 8k ? 1 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16

1 ? 8k 1 ? ? , …………………………………………………10 分 32 k ? 4 4

故 k1 ? k2 ? 2 k1 ? k2 ? 2 ? 所以 k1 ? k 2 的最小值为 1. 方法二:同上

1 ?1, 4
………………………………………12 分

2 x12 x2 ?4 ?4 y1 ? 4 y2 ? 4 1 4 4 k1 ? k2 ? ? ? ? ? x1 ? x2 ,……………8 分 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 4

x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 ? x2 ? 16k 2 ? 4 ?16k ? 20 ?

? 4 k 2 ? 4k ? 5 ? 4
所以 k1 ? k 2 的最小值为 1.

? k ? 2?

2

? 1 ? 4 , ………………………10 分
……………………………………12 分

方法三: 设点 A ? x1 ,

? ?

? x22 ? x12 ? , B ? ? x2 , ? ,由直线 l 过 N (4,5) 交轨迹 E 于 A, B 两点得: 4 ? 4 ? ?

x12 x2 2 ?5 ?5 4 ,化简整理得: ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4

x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 20, 令x1 ? x2 =t, 则x1 ? x2 ? 4t ? 20 ,………………8 分
2 x12 x2 ?4 ?4 y1 ? 4 y2 ? 4 1 4 4 k1 ? k2 ? ? ? ? ? x1 ? x2 . ……………10 分 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 4

1
而4

x1 ? x2 ?

1 4

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

1 4

? x1 ? x2 ?

2

?4? ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 20 ? ?

?

1 2 1 t ? 16t ? 20 ? 4 4

? t ? 8?

2

? 16 ? 1 .……………………12 分

(21)解:(Ⅰ)由 f ?( x) ?

a(1 ? x) ( x ? 0 ), x

…………………………………1 分

①当 a ? 0 时,显然 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,

(0,1) ( 1, +?) 所以此时 f ( x ) 的单调增区间为 ,减区间为 ;
( 1, +?) (0,1) ②当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ,减区间为 ;
③当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3 不是单调函数. (Ⅱ)由题知 f ?(2) ? ? …………………………………4 分

a ? 1 ,得 a ? ?2 , 2
……………………………5 分

所以 f ( x) ? ?2ln x ? 2 x ? 3 ,
3 所以 g ( x) ? x ? (

m ? 2) x 2 ? 2 x ( x ? 0 ), 2
…………………………………………6 分

g?( x) ? 3x2 ? (m ? 4) x ? 2 .

∵ ? ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0 一定有两个不等的实根 x1 , x2 ,

又∵ x1 ? x2 ? ?

2 ? 0. 3

不妨设 x1 ? 0 ? x2 ,由已知 0 ? x ? x1 时 g ?( x) ? 0 , x ? x2 时 g ?( x) ? 0 , 即 g ( x) 在 (0, x2 ) 上递减,在 ( x2 , ??) 上递增,依题意知 x2 ? (t ,3) ,

? g ?(1) ? m ? 5 ? 0 37 ? ? m ? ?9 .……………………………8 分 于是只需 ? g ?(2) ? 2m ? 18 ? 0 ,得 ? 3 ? g ?(3) ? 3m ? 37 ? 0 ?
(Ⅲ)由(Ⅰ)知当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 在 (1, ??) 上递增, ∴ f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ? f (1) ? ?2 ? ln x ? x ? 1 ( x ? 1) ,…………………9 分 在上式中分别令 x ? 2,3, 4,?, n 得 ln 2 ? 1, ln 3 ? 2, ln 4 ? 3, ?, ln n ? n ?1 (n ? 2) ,………………………10 分 以上不等式相乘 得 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ??? ln n ? 1? 2 ? 3 ??? (n ? 1) (n ? 2) ,…………………11 分 两边同除以 n ! 得

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ??? ? ( n ? 2, n ? N ? ),即证……………………12 分 2 3 4 n n

(22)解:(Ⅰ)由 BC ? CD ,可知 ?BAC ? ?DAC , …………………………………2 分 由角分线定理可知, 分 (Ⅱ)由 CP ? MD ? CB ? BM ,可知 ∴

AB BM ,即 AB ? MD ? AD ? BM ,得证. ? AD MD

………5

CP BM ,又 CB ? CD , ? CB MD
………………………………8 分

BM CP ? ,∴ PB // AC . MD CD

∴ ?PBC ? ?ACB (内错角), 又 ?PBC ? ?BAC (弦切角), ∴ ?ACB ? ?BAC ,∴ AB ? BC . …………………………………10 分

(23)解:(Ⅰ)将 A 、 B 化为直角坐标为 A(2cos ? ,2sin ? ), B(2cos 即 A(?2,0), B(?1, ? 3) , k AB ?

4? 4? ,2sin ) , 3 3

? 3 ?0 ? ? 3 , ………………………3 分 ?1 ? 2

∴直线 AB 的方程为 y ? 0 ? ? 3( x ? 2) ,即 3x ? y ? 2 3 ? 0 .………5 分 (Ⅱ)设 M (2cos? ,sin ? ) ,它到直线 AB 的距离为

d?

2 3 cos? ? sin ? ? 2 3 2

?

13 sin(? ? ? ) ? 2 3 2



(其中 tan ? ? 2 3 ), ∴ d max ?
13 ? 2 3 . 2
8 6

…………………………………………8 分 …………………………………………10 分

? x ? 3 , x ? ?1, ? (24)解:(Ⅰ) f ( x) ? ??3x ? 1 , ? 1 ? x ? 1 , 画出图象如图,∴ m ? 2 . ?? x ? 3 , x ? 1, ?
4 2

15

10

5

5

10

15

2

4

6

………………………………5 分

(Ⅱ)∵

a2 ? c2 ? b2 ? m , 2
8

∴ 2m ? a2 ? 2b2 ? c2 ? (a2 ? b2 ) ? (b2 ? c2 ) ? 2(ab ? bc) , ∴ ab ? bc ? 2 ,∴ ab ? bc 的最大值为 2, 当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,等号成立. …………………………………………10 分


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