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2014年湖北省高考数学试卷(文科)解析


2014 年湖北省高考数学试卷(文科)
(扫描二维码可查看试题解析)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1. (5 分) (2014?湖北)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5, 6},则?UA=( ) A.{

1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} ) =(
2

D.{2,5,7} ) D.﹣i

2. (5 分) (2014?湖北)i 为虚数单位, ( A.1 B.﹣1 C.i
2

3. (5 分) (2014?湖北)命题“?x∈R,x ≠x”的否定是( A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=x C.?x?R,x2≠x

) D.?x∈R,x2=x

4. (5 分) (2014?湖北)若变量 x,y 满足约束条件

,则 2x+y 的最大

值是( A.2

) B.4 C.7 D.8

5. (5 分) (2014?湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1,点数之和大于 5 的概率记为 p2,点数之和为偶数的概率记为 p3,则( A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3 C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2 )

6. (5 分) (2014?湖北)根据如下样本数据: x y 3 4.0 4 2.5 ) C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 5 ﹣0.5 6 0.5 7 ﹣2.0 8 ﹣3.0

得到回归方程为 =bx+a,则( A.a>0,b<0

B.a>0,b>0

7. (5 分) (2014?湖北)在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶 点坐标分别为(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为① ,② ,③ ,④
第 1 页(共 21 页)

的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(



A.① 和②

B.③ 和①

C.④ 和③
2

D.④ 和②

8. (5 分) (2014?湖北)设 a,b 是关于 t 的方程 t cosθ+tsinθ=0 的两个不等实根,则 过A (a, a) , B (b, b) 两点的直线与双曲线 A.0 B.1 C.2
2 2



=1 的公共点的个数为 ( D.3



9. (5 分) (2014?湖北)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣3x,则函数 g(x)=f(x)﹣x+3 的零点的集合为( A.{1,3} B.{﹣3,﹣1,1,3} C.{2﹣ ) ,1,3} D.{﹣2﹣

2

,1,3}

10. (5 分) (2014?湖北) 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出 土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘 也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈ 公式 V≈ A.
2

L h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3,那么,近似 ) D.

2

L h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为( B. C.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.

11. (5 分) (2014?湖北)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽 样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测, 若样本中有 50 件产品由甲设备生产, 则乙设备生产的产品总数为 件.

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12. (5 分) (2014?湖北)若向量 | |= .

=(1,﹣3) ,|

|=|

|,

?

=0,则

13. (5 分) (2014?湖北)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= ,a=1,b= ,则 B= .

14. (5 分) (2014?湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的

值为 9,则输出的 S 的值为



15. (5 分) (2014?湖北)如图所示,函数 y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组 成,若?x∈R,f(x)>f(x﹣1) ,则正实数 a 的取值范围为 .

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16. (5 分) (2014?湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒) 、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= (Ⅰ )如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时; (Ⅱ )如果限定车型,l=5,则最大车流量比(Ⅰ )中的最大车流量增加
2 2



辆/小时.

17. (5 分) (2014?湖北)已知圆 O:x +y =1 和点 A(﹣2,0) ,若定点 B(b,0) (b≠﹣2)和常数 λ 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ|MA|,则: (Ⅰ )b= ; (Ⅱ )λ= . 三、解答题

18. (12 分) (2014?湖北)某实验室一天的温度(单位:℃ )随时间 t(单位:h)的 变化近似满足函数关系:f(t)=10﹣ (Ⅰ )求实验室这一天上午 8 时的温度; (Ⅱ )求实验室这一天的最大温差. cos t﹣sin t,t∈[0,24) .

19. (12 分) (2014?湖北)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.

20. (13 分) (2014?湖北)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、P、Q、M、 N 分别是棱 AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1 的中点,求证: (Ⅰ )直线 BC1∥ 平面 EFPQ; (Ⅱ )直线 AC1⊥ 平面 PQMN.

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21. (14 分) (2014?湖北)π 为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数. (Ⅰ )求函数 f(x)=
3 e π e

的单调区间;
π 3

(Ⅱ )求 e ,3 ,e ,π ,3 ,π 这 6 个数中的最大数与最小数.

22. (14 分) (2014?湖北)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离 比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ )求轨迹 C 的方程; (Ⅱ )设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(﹣2,1) ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围.

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2014 年湖北省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?湖北)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},则 ?UA=( ) A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据全集 U 以及 A,求出 A 的补集即可. 解答: 解:∵ 全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},
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∴ ?UA={2,4,7}. 故选:C. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.
2

2. (5 分) (2014?湖北)i 为虚数单位, ( A.1 B.﹣1

) =( C.i

) D.﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由条件里哦也难怪两个复数代数形式的乘除法法则,虚数单位 i 的幂运算性质,计算 求得结果. 解答: 2 解: ( )= = =﹣1,
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故选:B. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题. 3. (5 分) (2014?湖北)命题“?x∈R,x ≠x”的否定是( ) 2 2 2 A.?x?R,x ≠x B.?x∈R,x =x C.?x?R,x ≠x
2

D.?x∈R,x2=x

考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据全称命题的否定是特称命题,利用特称命题写出命题的否定命题. 解答: 解:根据全称命题的否定是特称命题,
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∴ 命题的否定是:?x0∈R,

=x0.

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故选:D. 点评: 本题考查了全称命题的否定, 要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命 题,全称命题的否定是特称命题.

4. (5 分) (2014?湖北) 若变量 x, y 满足约束条件

, 则 2x+y 的最大值是 (



A.2

B.4

C.7

D.8

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件画出满足约束条
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的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.

解答: 解:满足约束条件 的可行域如下图中阴影部分所示:

∵ 目标函数 Z=2x+y, ∴ ZO=0,ZA=4,ZB=7,ZC=4, 故 2x+y 的最大值是 7, 故选:C 点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关 键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻 求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后 比较,即可得到目标函数的最优解. 5. (5 分) (2014?湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率 记为 p1,点数之和大于 5 的概率记为 p2,点数之和为偶数的概率记为 p3,则( )
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A.p1<p2<p3

B.p2<p1<p3

C.p1<p3<p2

D.p3<p1<p2

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 首先列表,然后根据表格点数之和不超过 5,点数之和大于 5,点数之和为偶数情况, 再根据概率公式求解即可. 解答: 解:列表得: (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) ∴ 一共有 36 种等可能的结果, ∴ 两个骰子点数之和不超过 5 的有 10 种情况,点数之和大于 5 的有 26 种情况,点数 之和为偶数的有 18 种情况,
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∴ 向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1= p2= ,点数之和为偶数的概率记为 p3=

,点数之和大于 5 的概率记为 ,

∴ p1<p3<p2 故选:C. 点评: 本题考查了树状图法与列表法求概率. 注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出 所有等可能的结果.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 6. (5 分) (2014?湖北)根据如下样本数据: x 3 4 5 y 4.0 2.5 ﹣0.5 得到回归方程为 =bx+a,则( A.a>0,b<0 ) C.a<0,b<0 D.a<0,b>0

6 0.5

7 ﹣2.0

8 ﹣3.0

B.a>0,b>0

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 利用公式求出 b,a,即可得出结论. 解答: 解:样本平均数 =5.5, =0.25,
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=﹣24.5,

=17.5, ∴ b=﹣

=﹣1.4,

∴ a=0.25﹣(﹣1.4)?5.5=7.95, 故选:A. 点评: 本题考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,属于基础题.
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7. (5 分) (2014?湖北)在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标 分别为(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出的编号为① ,② ,③ ,④ 的四个 图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

A.① 和②

B.③ 和①

C.④ 和③

D.④ 和②

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得结论. 解答: 解:在坐标系中,标出已知的四个点,根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图 和俯视图分别为④ ② , 故选:D.
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点评: 本题考查三视图的画法,做到心中有图形,考查空间想象能力,是基础题. 8. (5 分) (2014?湖北)设 a,b 是关于 t 的方程 t cosθ+tsinθ=0 的两个不等实根,则过 A(a, a) ,B(b,b )两点的直线与双曲线 A.0 B.1
2 2 2

﹣ C.2

=1 的公共点的个数为( D.3



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 求出过 A(a,a ) ,B(b,b )两点的直线为 y=﹣
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x,结合双曲线的渐近线方

程,可得结论. 2 解答: 解:∵ a,b 是关于 t 的方程 t cosθ+tsinθ=0 的两个不等实根,
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∴ a+b=﹣
2

,ab=0,
2 2

过 A(a,a ) ,B(b,b )两点的直线为 y﹣a = ab, 即 y=﹣ x,

(x﹣a) ,即 y=(b+a)x﹣

∵ 双曲线



=1 的一条渐近线方程为 y=﹣

x,

∴ 过 A(a,a ) ,B(b,b )两点的直线与双曲线

2

2



=1 的公共点的

个数为 0. 故选:A. 点评: 本题考查双曲线的方程与性质, 考查直线与双曲线的位置关系, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 9. (5 分) (2014?湖北)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣3x, 则函数 g(x)=f(x)﹣x+3 的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{﹣3,﹣1,1,3} C.{2﹣ ,1,3} D.{﹣2﹣ ,1,3} 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先根据 f(x)是定义在 R 上的奇函数,求出函数在 R 上的解析式,再求出 g(x) 的解析式,根据函数零点就是方程的解,问题得以解决. 2 解答: 解:∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣3x, 令 x<0,则﹣x>0, 2 ∴ f(﹣x)=x +3x=﹣f(x) 2 ∴ f(x)=﹣x ﹣3x,
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2

∴ ∵ g(x)=f(x)﹣x+3 ∴ g(x)= 令 g(x)=0, 2 当 x≥0 时,x ﹣4x+3=0,解得 x=1,或 x=3, 2 当 x<0 时,﹣x ﹣4x+3=0,解得 x=﹣2﹣ , ∴ 函数 g(x)=f(x)﹣x+3 的零点的集合为{﹣2﹣ 故选:D.
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,1,3}

点评: 本题考查函数的奇偶性及其应用,考查函数的零点,函数方程思想. 10. (5 分) (2014?湖北) 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这 是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又 以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的 近似公式 V≈ V≈ A.
2

L h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3,那么,近似公式 ) D.

2

L h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为( B. C.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 2 根据近似公式 V≈ L h,建立方程,即可求得结论.
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解答: 解:设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,则 L=2πr, ∴ ∴ π= . = (2πr) h,
2

故选:B. 点评: 本题考查圆锥体积公式,考查学生的阅读理解能力,属于基础题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 11. (5 分) (2014?湖北)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方 法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测, 若样本中有 50 件产品由甲设备生产, 则乙 设备生产的产品总数为 1800 件. 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据样本容量为 80,可得抽取的比例,再求得样本中由乙设备生产的产品数,乙设备
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生产的产品总数=

. = ,

解答: 解:∵ 样本容量为 80,∴ 抽取的比例为

又样本中有 50 件产品由甲设备生产,∴ 样本中 30 件产品由乙设备生产, ∴ 乙设备生产的产品总数为 30×60=1800. 故答案为:1800. 点评: 本题考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键.

12. (5 分) (2014?湖北)若向量

=(1,﹣3) ,|

|=|

|,

?

=0,则|

|=



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考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出. 解答: 解:设 =(x,y) ,∵ 向量 =(1,﹣3) ,| |=| |, ? =0,
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,解得





∴ =(3,1) , (﹣3,﹣1) . ∴ = ∴ = =(2,4)或(﹣4,2) . .

故答案为: . 点评: 本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 13. (5 分) (2014?湖北)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= a=1,b= ,则 B= 或 .



考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将 a,sinA,b 的值代入求出 sinB 的值,即可确定出 B 的 度数. 解答: 解:∵ 在△ ABC 中,A= ,a=1,b= ,
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∴ 由正弦定理 ∵ a<b,∴ A<B, ∴ B= 或 . 或

=

得:sinB=

=

=



故答案为:



点评: 此题考查了正弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

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14. (5 分) (2014?湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 9,

则输出的 S 的值为 1067 . 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 1 2 k 分析: 算法的功能是求 S=2 +2 +…+2 +1+2+…+k 的值,根据输入 n 的值,确定跳出循环的 k 值,利用等比数列、等差数列的前 n 项和公式计算输出 S 的值. 1 2 k 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=2 +2 +…+2 +1+2+…+k 的值, ∵ 输入 n 的值为 9,∴ 跳出循环的 k 值为 10,
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∴ 输出 S=2 +2 +…+2 +1+2+…+9=

1

2

9

+

×9=2 ﹣2+45=1067.

10

故答案为:1067. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断是否的功能是解题的关 键. 15. (5 分) (2014?湖北)如图所示,函数 y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成,若 ?x∈R,f(x)>f(x﹣1) ,则正实数 a 的取值范围为 (0, ) .

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用.
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分析: 由已知中的函数图象可得 f(4a)=a,f(﹣4a)=﹣a,若?x∈R,f(x)>f(x﹣1) , 则 ,解不等式可得正实数 a 的取值范围.

解答: 解:由已知可得:a>0, 且 f(4a)=a,f(﹣4a)=﹣a, 若?x∈R,f(x)>f(x﹣1) , 则 ,解得 a< ,

故正实数 a 的取值范围为: (0, ) , 故答案为: (0, ) 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,其中根据已知分析出不等式组,是解答的关键. 16. (5 分) (2014?湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单 位时间内经过测量点的车辆数, 单位: 辆/小时) 与车流速度 v (假设车辆以相同速度 v 行驶, 单位:米/秒) 、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= .

(Ⅰ )如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 1900 辆/小时; (Ⅱ )如果限定车型,l=5,则最大车流量比(Ⅰ )中的最大车流量增加 100 辆/小时. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ )把 l 带入,分子分母同时除以 v,利用基本不等式求得 F 的最大值. (Ⅱ )把 l 带入,分子分母同时除以 v,利用基本不等式求得 F 的最大值最后于(Ⅰ ) 中最大值作差即可. 解答: 解: (Ⅰ )F= = ,
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∵ v+ ∴ F=

≥2

=22,当 v=11 时取最小值, ≤1900,

故最大车流量为:1900 辆/小时; (Ⅱ )F= = = ,

∵ v+

≥2

=20,

∴ F≤2000,
第 14 页(共 21 页)

2000﹣1900=100(辆/小时) 故最大车流量比(Ⅰ )中的最大车流量增加 100 辆/小时. 故答案为:1900,100 点评: 本题主要考查了基本不等式的性质.基本不等式应用时,注意“一正,二定,三相等” 必须满足. 17. (5 分) (2014?湖北)已知圆 O:x +y =1 和点 A(﹣2,0) ,若定点 B(b,0) (b≠﹣2) 和常数 λ 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ|MA|,则: (Ⅰ )b= ﹣ (Ⅱ )λ= . ;
2 2

考点: 三点共线. 专题: 直线与圆. 2 2 2 2 2 2 分析: (Ⅰ )利用|MB|=λ|MA|,可得(x﹣b) +y =λ (x+2) +λ y ,由题意,取(1,0) 、 (﹣ 1,0)分别代入,即可求得 b; (Ⅱ )取(1,0) 、 (﹣1,0)分别代入,即可求得 λ. 2 2 2 解答: 解: 解法一: 设点 M (cosθ, sinθ) , 则由|MB|=λ|MA|得 (cosθ﹣b) +sin θ=λ [ (cosθ+2) 2 2 +sin θ],即
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﹣2bcosθ+b +1=4λ cosθ+5γ 对任意 θ 都成立,所以

2

2

2

.又由|MB|=λ|MA|

得 λ>0,且 b≠﹣2,解得



解法二: (Ⅰ )设 M(x,y) ,则 ∵ |MB|=λ|MA|, 2 2 2 2 2 2 ∴ (x﹣b) +y =λ (x+2) +λ y , 2 2 2 2 2 由题意,取(1,0) 、 (﹣1,0)分别代入可得(1﹣b) =λ (1+2) , (﹣1﹣b) =λ 2 (﹣1+2) , ∴ b=﹣ ,λ= . (Ⅱ )由(Ⅰ )知 λ= . 故答案为:﹣ , . 点评: 本题考查圆的方程,考查赋值法的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 三、解答题

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18. (12 分) (2014?湖北)某实验室一天的温度(单位:℃ )随时间 t(单位:h)的变化近 似满足函数关系:f(t)=10﹣ cos t﹣sin t,t∈[0,24) .

(Ⅰ )求实验室这一天上午 8 时的温度; (Ⅱ )求实验室这一天的最大温差. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ )直接根据 f(t)的解析式求得 f(8)的值.
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(Ⅱ )根据 f(t)=10﹣2sin(

+

t) ,t∈[0,24) ,求得函数 f(t)取得最大值和最

小值,从而得到这一天的最大温差. 解答: 解: (Ⅰ )∵ f(t)=10﹣ cos t﹣sin ∴ f(8)=10﹣ cos ﹣sin =10﹣

t,t∈[0,24) . ×(﹣ )﹣ =10,

故实验室这一天上午 8 时的温度为 10℃ . (Ⅱ )∵ f(t)=10﹣ ∴ < 当 + + t= t< cos , 故当 t﹣sin + t= t=10﹣2sin( + t) ,t∈[0,24) .

, 即 t=14 时, 函数 ( f t) 取得最大值为 10+2=12,

,即 t=2 时,函数 f(t)取得最小值为 10﹣2=8,

故实验室这一天的最大温差为 12﹣8=4℃ . 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象特征,正弦函数的值域,属于中档题. 19. (12 分) (2014?湖北)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 考点: 等差数列的性质;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ ) 设出数列的公差, 利用等比中项的性质建立等式求得 d, 则数列的通项公式可得. (Ⅱ )利用(Ⅰ )中数列的通项公式,表示出 Sn 根据 Sn>60n+800,解不等式根据不等 式的解集来判断. 2 解答: 解: (Ⅰ )设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成比数列,故有(2+d) =2 (2+4d) , 2 化简得 d ﹣4d=0,解得 d=0 或 4, 当 d=0 时,an=2, 当 d=4 时,an=2+(n﹣1)?4=4n﹣2. (Ⅱ )当 an=2 时,Sn=2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,
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当 an=4n﹣2 时,Sn=
2 2

=2n ,

2

令 2n >60n+800,即 n ﹣30n﹣400>0, 解得 n>40,或 n<﹣10(舍去) , 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41, 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n, 当 an=4n﹣2 时,存在满足题意的正整数 n,最小值为 41 点评: 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质. 要求学生对等差数列和等比数列的通项 公式,求和公式熟练记忆. 20. (13 分) (2014?湖北)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、P、Q、M、N 分 别是棱 AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1 的中点,求证: (Ⅰ )直线 BC1∥ 平面 EFPQ; (Ⅱ )直线 AC1⊥ 平面 PQMN.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )要证直线 BC1∥ 平面 EFPQ,只需证 BC1∥ FP,且 BC1?平面 EFPQ 即可,由 AD1∥ BC1,FP∥ AD1 即可证出; (Ⅱ )要证直线 AC1⊥ 平面 PQMN,只需证出 MN⊥ AC1,且 PN⊥ AC1 即可. 解答: 证明: (Ⅰ )在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,连接 AD1, ∵ AD1∥ BC1,且 F、P 分别是 AD、DD1 的中点, ∴ FP∥ AD1,∴ BC1∥ FP, 又 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ, ∴ 直线 BC1∥ 平面 EFPQ; (Ⅱ )如图, 连接 AC、BD,则 AC⊥ BD,∵ CC1⊥ 平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴ CC1⊥ BD; 又 AC∩ CC1=C,∴ BD⊥ 平面 ACC1, 又 AC1?平面 ACC1,∴ BD⊥ AC1; 又∵ M、N 分别是 A1B1、A1D1 的中点, ∴ MN∥ BD,∴ MN⊥ AC1; 同理可证 PN⊥ AC1, 又 PN∩ MN=N,∴ 直线 AC1⊥ 平面 PQMN.
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点评: 本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题, 解题时应明确空间中的线面平 行、 线面垂直的判定方法是什么, 也考查了逻辑思维能力与空间想象能力, 是基础题. 21. (14 分) (2014?湖北)π 为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数. (Ⅰ )求函数 f(x)=
3 e π e

的单调区间;
π 3

(Ⅱ )求 e ,3 ,e ,π ,3 ,π 这 6 个数中的最大数与最小数. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数思想. 分析: 第(Ⅰ )问中,先根据分式求导法则,再解对数不等式即可; 第(Ⅱ )问中,可先将 6 个数分组,比较各组内数的大小后,再比较组与组之间的数
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的大小,而数的大小比较,可以考虑函数 y=lnx,y=e ,y=π 的单调性. 解答: 解: (Ⅰ )函数 f(x)的定义域为(0,+∞) . 由 f(x)= 得 .

x

x

当 f′ (x)>0,即 0<x<e 时,f(x)单调递增; 当 f′ (x)<0,即 x>e 时,f(x)单调递减, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,e) ,单调递减区间为(e,+∞) . (Ⅱ )∵ e<3<π,∴ eln3<elnπ,πlne<πln3, e e π π 从而有 ln3 <lnπ ,lne <ln3 . x x 于是,根据函数 y=lnx,y=e ,y=π 在定义域上单调递增, e e 3 3 π π 可得 3 <π <π ,e <e <3 , 3 π e 3 ∴ 这 6 个数的最大数在 π 与 3 之中,最小数在 3 与 e 之中. 由(Ⅰ )知,f(x)= 在[e,+∞)上单调递减,








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综上可知,6 个数中的最大数是 3 ,最小数是 3 . 点评: 1、求单调区间时,先写出函数的定义域,为后面取区间时作参考. 2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时,应注意以下几个要点: (1)寻找同底的指数式或对数式; (2)分清是递增还是递减; (3)把自变量的值放到同一个单调区间上. 22. (14 分) (2014?湖北)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ )求轨迹 C 的方程; (Ⅱ )设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(﹣2,1) ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )设出 M 点的坐标,直接由题意列等式,整理后即可得到 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ )设出直线 l 的方程为 y﹣1=k(x+2) ,和(Ⅰ )中的轨迹方程联立化为关于 y 的一
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π

e

元二次方程,求出判别式,再在直线 y﹣1=k(x+2)中取 y=0 得到

.然

后分判别式小于 0、等于 0、大于 0 结合 x0<0 求解使直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公 共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 解答: 解: (Ⅰ )设 M(x,y) ,依题意得:|MF|=|x|+1,即 , 化简得,y =2|x|+2x. ∴ 点 M 的轨迹 C 的方程为
2 2



(Ⅱ )在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y =4x(x≥0) ,C2:y=0(x<0) . 依题意,可设直线 l 的方程为 y﹣1=k(x+2) . 由方程组 ,可得 ky ﹣4y+4(2k+1)=0.
2

① 当 k=0 时,此时 y=1,把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点(
2

. ) .
2

② 当 k≠0 时,方程 ky ﹣4y+4(2k+1)=0 的判别式为△ =﹣16(2k +k﹣1) . 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0) , 则由 y﹣1=k(x+2) ,取 y=0 得 .

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,解得 k<﹣1 或 k> .

即当 k∈

时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个

公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. 若 或 ,解得 k=﹣1 或 k= 或 .

即当 k=﹣1 或 k= 时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 当 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 无公共点. 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点.

故当 k=﹣1 或 k= 或



,解得﹣1<k<﹣ 或 0<k< .

即当﹣1<k<﹣ 或 0<k< 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点. 此时直线 l 与 C 恰有三个公共点. 综上,当 k∈ 当k 当 k∈ ∪ {0}时,直线 l 与 C 恰有一个公共点; ∪ {﹣1, }时,直线 l 与 C 恰有两个公共点; 时,直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点.

点评: 本题考查轨迹方程, 考查了直线与圆锥曲线的关系, 体现了分类讨论的数学思想方法, 重点是做到正确分类,是中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;caoqz;清风慕竹;翔宇老师;whgcn;刘长柏; 孙佑中;wsj1012;742048;尹伟云;sxs123(排名不分先后) 菁优网 2015 年 5 月 14 日

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