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不定积分


一、不定积分的解题技巧 引例:不定积分 ∫(1-x)cos2xdx ∫(1-x)cos2xdx =∫cos2xdx-∫xcos2xdx =(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x =(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x =(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x =(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-

(1/4)cos2x C ∫(1-x)cos2xdx 求导行:1-x -1 0 积分行:cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x 所以:∫(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C 注:分步积分的时候,∫a*bdx 哪个放到 d 后面去(那个先反过来求导)? 这里遵循一个原则:对,反,幂,三,指。越后的先放到 d 里去 如∫x^2 cosxdx x^2 是幂函数,cosx 是三角函数。 所以,要这样化∫x^2dsinx 而不是 1/3∫cosxdx^3

原式=1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4) =0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4) =0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除 x 的平方> 如果是不定积分,两类换元法和 拼凑法 一般来说结合使用 灵活系数比较大 不过你要相信考试不定积分 形式比较简单 方法比较独到,绝对不是 “暴力“积 出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通. 第二,对于有独特的因子你要留意. 定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化 为二元 再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现 方法与技巧 一、换元法 1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。 对于这个问题一方面 要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数 中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。 例 1.求下列不定积分: (1)∫arcsinxx(1-x)dx(2)∫x 1x(1 xex)dx

引例 2:∫1/(1 x^4)dx 解:(1)分析:由于 darcsinx=12x(1-x)dx, 故可如下凑微分∫arcsinxx(1-x)dx=2∫arcsinxd(arcsinx)=arcsin2x C

(2)由于 d(xex)=ex(x 1)dx, 故可用如下解法:∫x 1x(1 xex)dx=∫ex(x 1)xex(1 xex)dx= ∫1xex-11 xexd(xex)= lnxex1 xex C ∫dxexxex(1 xex)=

ex 1=u44∫(u6-u2)du=

4u77-u33 C=47(ex 1)74-

43(ex 1)34 C

(2)利用三角公式 1 sinx=sinx2 cosx2 可将被积函数有理化。 ∫1 sinxsinxdx=∫sinx2 cosx22sinx2cosx2dx

2.拆(添)项将被积函数拆(添)项,把积分变为几个较简单的积分,是求不定积分常用的 技巧之一。 例 2.求下列不定积分: (1)∫1sin3xcosxdx (2)∫dx(1 ex)2 = = ∫dx2cosx2 ∫dx2sinx2 lnsecx2tanx2 lncscx2-cotx2 C

三、方程法运用分部积分公式后,有时会出现如下的情况: ∫f(x)dx=g(x) K∫f(x)dx(K≠1)此时可把它看作关于∫f(x)dx 的方程,解 得:∫f(x)dx=11-Kg(x) C 例 4.求∫sec3xdx

解:(1)当分母是 sinmxcosnx 的形式时,常将分子 1 改写成 (sin2x cos2x),然后拆项进 行积分。∫1sin3xcosxdx=∫sin2x cos2xsin3x cosxdx= ∫cosxsin3xdx= ∫d(2x)sin2x ∫d(sinx)sin3x= ∫1sinxcosxdx lncsc2x-cot2x-∫12sin2x C

(2)先给分子加一项减一项,再将积分拆项。∫dx(1 ex)2=∫1 ex-ex(1 ex)2dx= ∫dx(1 ex)-∫exdx(1 ex)2= C = 二、有理化将被积函数中的无理函数化为有理函数,是积分常用的手段之一。 = 有理化的方法常常是换元或利用三角恒等变换。 = 例 3.求下列不定积分:(1)∫e2x4ex 1dx 解:(1)∫e2x4ex 1dx=∫exd(ex 1)4ex 1? lnsecx tanx) C (2)∫1 sinxsinxdx 故:∫sec3xdx=12(secxtanx secxtanx lnsecx tanx∫sec3dx secxtanx-∫(sec2x-1)secxdx secxtanx-∫tan2xsecxdx ∫e-xe-x 1dx-∫d(ex 1)(1 ex)2= ln(e-x 1) 11 ex 解:∫sec3xdx=secxd(tanx)

从而∫dx(x2 1)3=I3=x4(x2 1)2 3x8(x2 1) 38arctanx C 四、抵消法将原始积分拆项后,对其中一项用分部积分公式,以抵消另一项,或对拆开的 两项各分部积分一次后,将未积出的部分抵消,这也是求不定积分时常用的技巧。 例 5.求下列不定积分:(1)∫lnx-1(lnx)2dx(2)∫esinxxcos3x-sinxcos3xdx 解:(1)∫lnx-1(lnx)2dx=∫1lnx-∫dx(lnx)2= xlnx∫x?-1ln2x?1xdx-∫dx(lnx)2= xlnx ∫dx(lnx)2-∫dx(lnx)2=xlnx C (2)∫esinxxcos3x-sinxcos2xdx= esinx?cosxdx=xesinx-esinxcosx C 五、其他方法 1.递推法运用分部积分法,可建立 In 关于下标的递推公式。由此递推 公式,就把计算 In 归结为计算 In-1,依此类推,最后归结为计算 I1,I0。 例 6.求∫dx(x2 1)3 解:令 In=∫dx(x2 1)n 因为 In-1=∫dx(x2 1)n-1=x(x2 1)n-11)ndx=x(x2 1)n-1 In-1-2(n-1)?In 2(n-1)∫(x2 1)-1(x2 1)ndx= ∫x?(1-n)?2x(x2 即有:∫ekx?Pn(x)dx=ekx?Qn(x) C ∫esinx?x?cosxdx-∫esinxsinxcos2xdx=

34I2=x4(x2 1)2

34x2(x2 1) 12I1=x4(x2 1)2

2.待定系数法这里所说的待定系数法,是指在求不定积分时,若预知结果的形式, 只是 其中含有待定的常数时,可用求导的方法确定这些常数,进而求出积分。例 7.计算下列 积分(1)∫sinx 8cosx2sinx 3cosxdx(2)∫x3e2xdx 3cosx)′=2cosx-3sinx 故可假设 sinx 8cosx=A(2sinx 3cosx) B(2cosx-3sinx) 这里 A,B 为待定系数,比较两端 sinx 及 cosx 项的系数, 得:2A-3B=13A-2B=8, 故 A=2,B=1 则∫sinx 8cosx2sinx 3cosxdx= 2x ln2sinx 3cosx C (2)对于型如∫ekx?Pn(x)dx 的积分(其中 Pn(x)为 n 次多项式),它的原函数也形如 ekx?Qn(x),这里的 Qn(x)为某个 n 次待定多项式。 ∫2 (2sinx 3cosx)′2sinx 3cosxdx= 解:由于(2sinx

∫xdesinx-∫esinx-∫esinxd1cosx= xesinx- ∫esinxdx-esinxcosx ∫1cosx?

x(x2 1)n-1 2(n-1)?

两端求导得:ekx?Pn(x)=kekx?Qn(x) ekx?Q′n(x) 所以 In=x2(n-1)?(x2 1)n-1 2n-32(n-1)In-1 (n=2,3,?) 即:Pn(x)=k?Qn(x) Q′n(x) 又 I1=∫dx1 x2=arctanx C 再比较多项式的系数,求出待定的系数,进而求出积分。

设∫x3e2xdx=(B0x3 B1x2 B2x B3)e2x C 则有:x3=2(B0x3 B1x2 B2x B3) (3B0x2 2B1x B2) 比较系数可得: 解得 2B0=12B1 3B0=02B2 2B1=02B3 B2=0,

令 T1=∫sinxdxasinx bcosx,构造伴侣 T2=∫cosxdxasinx bcosx,于是 有理函数积分法求解,但计算繁琐。 令 J1=∫dx1 x4,J2=∫x2dx1 x4 则 J1 J2=∫1 x21 x4dx= 1x2dx=∫dx-1xx-1x2 2= 1x2-2= -122lnx2-2x 1x2 2x 1 C2 ∫1 1x2x2

aT1 bT2=x

C1aT2-bT1=lnasinx bcosx C2 故得:T1=1a2 b2(ax-bln|asinx bcosx|) C(2)本题可用

12arctan12x-1x C1J1-J2=∫1-x21 x4dx=

-∫dx 1xx

B0=12B1=-34B2=34B3=-38 故∫x3e2xdx=12x3-34x2 34x-38e2x C

类似地,对于∫[Pn(x)coskx Qn(x)sinx]dx 的类型(这里 Pn(x),Qn(x)为 n 次多项式), 它的原函数类型也是很有规律的,即有∫[Pn(x)coskx Qn(x)sinx]dx=Sn(x)coskx Tn(x)sinkx C (这里 Sn(x),Tn(x)是两个 n 次待定多项式);同样对于 ∫Pn(x)ax2 bx cdx 型的积分, 它的原函数类型也是已知的,即有:∫Pn(x)ax2 bx cdx= a?∫dxax2 bx c Qn-1(x)ax2 bx c

所以 J1=∫dx1 x4=122arctan12x-1x-142lnx2-2x 1x2 2x 1 C 求解一个数学问题,要用到若干有关的数学概念、定理、公式,但是怎样运用这些概念、 定理和公式来解题,却有许多方法和技巧,尤其是有些高等数学问题要用很巧妙的方法 或技巧才能解决,因此要学好高等数学就必须掌握一定的解题方法和技巧。 二、导数 引例:(x^2)*sinx 的一百阶导数是多少

(这里 Qn-1(x)是 n-1 次待定多项式,α 为待定系数)。

它们均不需积分,只要经过一些求导及代数运算即可求出积分来。 用“二项式”展开法, 的 3 阶以及 3 阶以上导数等于 0. 所以(x^2)*sinx 甭管是 100 x^2 3.伴侣法有些不定积分,单独考虑时较难积出,倘若构造出另一个不定积分作为伴侣,两 个积分同时考虑,则可利用两积分相互之间的良好关联性质,简单地求出不定积分。 这种 利用“伴侣”求解的方法即所谓“伴侣法”。 例 8.求下列不定积分(1)∫sinxdxasinx bcosx (2)∫dx1 x4 即得-x*x*cosx-200sinx*x 9900cosx 例 1:f(x)在(-∞, ∞)上除 X=0 外有定义,且 f(xy)=f(x) f(y),f'(1)=1,求 f'(x). 用定义去做 阶还是 10000 阶求导。只有前几项不为 0.

解:(1)本题可用待定系数法求解,这里介绍用“伴侣法”求解。

附一些解题技巧与经验 单选题的基本解题方法 1.推演法:从题设条件出发,按惯常思维运用有关的概念、性质、定理等,经过直接的 推理、演算,得出正确结论。适用对象:对于围绕基本概念设置的,或备选项为数值形 式结果的或某种运算律形式或条件为某种运算形式的,常用推演法。 个人观点:这种 方法应该是最常用的, 并且所有的题都能通过这种方法解出来, 大家应该注重对基本概 念和定理的记忆和运用。 2.图示法: 是指根据条件作出所研究问题的几何图形, 然后借助几何图形的直观性, 看” “ 出正确选项。 适用对象:对于条件有明显的几何意义:如五性:对称性,奇偶性,周 期性,凹凸性,单调性或平面图形面积,空间立体体积等,常用图示法。

4.排除法:从题设条件出发,或利用推演法排错,或利用赋值法排错,从而得出正确 结论。 适用对象:理论性较强,选项较抽象,且不易证明的题目。

个人观点:根据我的观察有些选择题,尤其是理论性的选择题, 有些答案是相互矛盾的,也就是说二者之中必有一对,所以建议 大家遇到这种题时“聪明”一下。
5.逆推法:将备选项依次代入题设条件的方法。 适用对象:备选项为具体数值结果, 且题干中含有合适的验证条件。 个人观点: 这种方法对于有些题还是比较好用的,缺点就是如果正确选项放在A还好, 如果放在D,可能要浪费些时间了。 解题经验

个人观点:相信大家一定很喜欢这种解题方法吧,画图直观,简 便,但一定要注意图形的准确性,一点细微的概念差错也许会导 致图形的错误。
3.赋值法:是指用满足条件的“特殊值”,包括数值、矩阵、函数以及几何图形,通过 推理演算,得出正确选项。 适用对象:对于条件中有??对任意??,必??特征的 题目,或选项为抽象的函数形式结果的,可用赋值法。 个人观点:赋值法应该说是一种特殊的,而且最快速的方法,可惜适用范围比较狭窄, 所以大家在用这种方法时,一定要注意使用条件,不要遇到什么题都赋特殊值。

1.只要遇到无穷小比较或∞.0 型未定式极限问题;或通项中含有“反对三指”函数关系 的数项级数的敛散性问题, 就要想到利用等价无穷小代换或皮亚诺型余项的泰勒公式求 解。注:“反对三指”:反三角函数,对数函数,三角函数,指数函数。 常见的三个重要展开式:arcsinx=x x^3/3! o(x^3) 注:此公式后项无此规律!tanx=x x^3 o(x^3) 注:此公式后项无此规律!arctanx=x-x^3 o(x^3) 2.只要遇到由积分上限函数确定的无穷小的阶的问题,则想到: 1 积分上限变量与被积函数的无穷小因子可用等价无穷小代换之。

2 两个由积分上限函数确定的无穷小量,若其积分上限无穷小同阶,则其阶取决于被 积函数无穷小的阶; 若被积函数无穷小同阶或都不是无穷小, 则其阶取决于积分上限无 穷小的阶。

10.积分等式,凡是含有变限积分,被积函数又不是复合函数,直接两边对积分变量求 导 11.除了幂级数运算外,任何我们所接触到的运算,绝对不能将两种运算交换位置

3.只要遇到积分区间关于原点对称的定积分问题, 就要想到先考查被积函数或其代数和 的每一部分是否具有奇偶性。 4.只要遇到对积分上限函数求导问题, 就要想到被积函数中是否混杂着求导变量 (显含 或隐含) 若显含时,即被积函数为求导变量函数与积分变量函数乘积(或代数和) 若隐含时,则必须作第二类换元法,把求导变量从被积函数中“挖”出来,其出路只有 两条:一是显含在被积函数中,二是跑到积分限上。 5.幂指函数,在求极限,求导数,求积分之前,一定要用对数恒等式处理一下 6.两项的和差的积分,如果积得出来就积,积不出来就通分,各项的极限求不出来就通分 7.如果被积函数中所含的对数函数,反三角函数的次数大于等于 2,一定要做变量替换 8.把对数函数,反三角函数拿来求导,看它是不是另一部分的常数倍,若是,凑微分做;若不 是,分部积分,对数函数,反三角函数一定作为求导对象;如果分部积分做,积分部分还要做 变量替换,与其如此,不如直接令对数函数,反三角函数等于一个变量 t 9.有理函数的积分,如果分母次数高于分子,在用待定系数法太繁的时候,一定要想 到倒代换,令分母的倒数为 t,然后就是多项式的积分,结果显然 13.在积分等式中,定积分,重积分都是定值,可令先其为 A 14.重积分定限口诀:后积先定限,限内画条线,先交下限写,后交上限见。注意:先 积的要简单。看到先积函数非初等可积的,先交换积分次序再做。 12.被积函数含绝对值符号的,一定要令绝对值的式子=0,得到若干个零点,然后按段积分, 再 sigma


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