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2012年温州中学自主招生数学模拟试卷


2012 年温州中学自主招生数学模拟试卷
(满分 120 分,时间 120 分钟) 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、设 a , b , c , d , e 为互异正奇数,若方程 ? x ? a ? ? x ? b ? ? x ? c ? ? x ? d ? ? x ? e ? ? 2 0 0 9 有整数 根 x,则 a ? b ? c ? d ? e 的

末位数字是 ( A.1 B.3 C.7 ) D.9

2、如图,点 C 是线段 AB 内任一点,△DAC 与△ECB 均为等边三角形,且在 AB 同侧,联 结 AE 交 CD 于点 M,联结 BD 交 CE 于点 N.得等式:① AE=BD,②CM=CN,③AM=DN,④BN=EM. 若将△ACD 绕点 C 旋转,其中保持恒成立的等式 ( A.恰有 1 个 C.恰有 3 个 B.恰有 2 个 D.4 个全是 ).

E D M A C N B

3、有 4 位奥运奖牌选手到小王所在的学校与师生见面,其中有 2 位曾是小王的同学(另 2 位 不曾是同学).当 4 位奖牌选手依次走上舞台时,第二个人是小王同学的概率为( A.
1 6

).

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

4、一名学生在用某自然数代入下面的某个二次函数 f k ? x ? (k=1,2,3,4)时,得到了一个完全平 方数.则他用的函数是 ( A. f 1 ? x ? ? x ? 5 x ? 7
2

). B. f 2 ? x ? ? x ? 7 x ? 1 0
2

C. f 3 ? x ? ? x ? 9 x ? 1 8
2
2

D. f 4 ? x ? ? x ? 1 1 x ? 2
2

5、如图,记抛物线 y ? ? x ? 1 的图象与 x 正半轴的交点为 A ,将线段 O A 分成 n 等份.设分 点分别为 P1 , P2 , … , Pn ? 1 ,过每个分点作 x 轴的垂线,分别与抛物线交于点 Q1 , Q 2 ,?, Q n ?1 , 再 记 直 角 三 角 形 O P1Q1 , P1 P2 Q 2 , ? 的 面 积 分 别 为 S 1 , S 2 , ? , 这 样 就 有
S1 ? n ?1
2

2n

3

, S2 ?

n ?4
2

2n

3

, ?;记 W ? S 1 ? S 2 ? ? ? S n ? 1 ,

y 1 Q1 Q2

Q3 Qn-2 Qn-1

当 n 越来越大时,你猜想 W 最接近的常数是 A.
2 3

(

) O P1 P2 P3

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

1
Pn-1 A

x

6、若直角三角形的三条边长为正整数,并且其周长与面积的数值相等, 则称为是“标准直角三角形”.那么,标准直角三角形的个数为 A.0 B.1 C.2 D.无数 ( ).

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7、
1 2 ? 5 2 ?2
2

?

11 3 ?3
2

?? ?

100 ? 100 ? 1
2

100 ? 100
2

=__________.

8 、 在 △ ABC 中, ∠ B=2 ∠ C , AD 为 ∠A 的 角平 分 线 , m A B ? nB D ? n ? m ? 0 ? . 则 cosC=__________ 9、对于每个 x,函数 y 是函数 y1=2x,y2=x+3,y3=-x+3 中的最大值.则函数 y 的最小值为 10、 如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆, BC=a, CA=b, 且∠A-∠B=90° .则⊙O 的半径为 .

11、如图,AD∥BC,梯形 ABCD 的面积是 180,E 是 AB 的中点,F 是边 BC 上的点,且 AF∥DC,AF 分别交 ED、BD 于点 G、 H.设 BC/AD=m(m∈N).若△ GHD 的面积为整数,则 m 的 值为 12、2009 是一个具有如下性质的年号:它的各位数码之和为 11.那么,自古至今,这种四位数的 年号共出现过________次. 三、解答题(每小题 15 分,共 60 分) 13、已知 m、n 均为正整数,且 m>n,2006m +m=2 007n2+n.问 m-n 是否为完全平方数?并证明你 的结论.
2

14、如图 1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片 OABC,已知 O(0,0),A(4,0),C (0, 点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、 不重合). 3), A 现将△ PAB 沿 PB 翻折, 得到△ PDB; 再在 OC 边上选取适当的点 E,将△ POE 沿 PE 翻折,得到△ PFE,并使直线 PD、PF 重合. (1)设 P(x,0),E(0,y),求 y 关于 x 的函数关系式,并求 y 的最大值; (2)如图 2,若翻折后点 D 落在 BC 边上,求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式; (3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点 Q,使△ PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角 形?若不存在,说明理由;若
y

存在,求出点 Q 的坐标.

C F E O D

B

y C

D

B

E F P 图1 A x O P

图2

A x

15、 如图,△ABC 的内切圆分别切 AB、AC 于 E、F,D 是 BC 的中点, ∠B、∠C 的平分线分别与直线 EF 交于 N、M.求证:DM=DN.

A

E M

N

F

B D C

16、将于 10 月 4 日开幕的乒乓球运动会上,大家把 104 定为“幸运数”.主办者拟按如下程 序从 100 名参赛运动员中选出打“幸运选手” ,在开幕式上进行表演: (1)100 名运动员手拉手围成一圈,从任意一个选手开始,顺序发出从 1 到 100 的编号 牌,每一个号牌代表一名选手. (2)从 1 号牌开始“1,2,3;1,2,3;?”报数,凡报数为“1”的把号牌交给主办者. (3)主办者从收来的 34 个号牌中随机抽取 20 个,这 20 个号牌中数字和为幸运数 104 的两个选手组成双打幸运选手. (4)如果双打选手不足两对,重新开始第(1)步;如果双打幸运选手恰好两对,就由这 两对出场表演;如果双打幸运选手超过两对,则从所有的双打幸运选手中随机抽取 两对,出场表演. 主办者担心,会不会一次又一次选拔不出双打幸运选手.请你证明:一次选拔便可 按程序选出两对双打幸运选手,如期出场表演.

2012 年温州中学自主招生数学模拟试卷(参考答案)
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、D 2、A 3、D 4、D 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7、
100
2

5、C

6、C

8、

n?m 2n

9、3

10、

1 2

a ?b
2

2

11、2 或 5

12、64

101

三、解答题(每小题 15 分,共 60 分) 13、 m-n 为完全平方数. 证明如下: 设 m=n+k(k 为正整数). 2 代入 2 006m +m=2 007n2+n,得 n2-2×2 006kn-(2 006k2+k)=0. 2 因为 n 为正整数,所以,Δ =4(2 006k) +4(2 006k2+k)为完全平方数. 2 故Δ /4=k[(2 006 +2 006)k+1]为完全平方数. 2 2 又因(k,(2 006 +2 006)k+1)=1,所以,k 与(2 006 +2006)k+1 均为完全平方数. 故 m-n 为完全平方数. 14、(1)由已知 PB 平分∠APD,PE 平分∠OPF,且 PD、PF 重合,则∠BPE=90° . ∴∠OPE+∠APB=90° .又∠APB+∠ABP=90° ,∴∠OPE=∠PBA. ∴Rt△ POE∽Rt△ BPA. ∴
PO OE ? BA AP

.即

x y

?

3 4? x

.∴y= x ( 4 ? x ) ? ?
3

1

1 3

x ?
2

4 3

x (0<x<4).

且当 x=2 时,y 有最大值 .
3

1

(2)由已知,△ PAB、△ POE 均为等腰三角形,可得 P(1,0),E(0,1),B(4,3).
1 ? ?a ? 2 , ? c ? 1, ? 3 ? ? 2 设过此三点的抛物线为 y=ax +bx+c,则 ? a ? b ? c ? 0, ∴ ?b ? ? , 2 ?1 6 a ? 4 b ? c ? 3 . ? ? ?c ? 1. ? ?

y=

1 2

x ?
2

3 2

x ?1.

(3)由(2)知∠EPB=90° ,即点 Q 与点 B 重合时满足条件. 直线 PB 为 y=x-1,与 y 轴交于点(0,-1).

将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0,1), ∴该直线为 y=x+1.
? y ? x ? 1, ? x ? 5, ? 由? 得? ∴Q(5,6). 1 2 3 ? y ? 6. ? y ? x ? x ? 1, 2 2 ?

故该抛物线上存在两点 Q(4,3)、(5,6)满足条件。 15、设内心为 I,连结 IA、IE、IF、BM、CN,则 A、E、I、F 四点共圆 ∴∠IEF=∠IAF=
1 2

∠A

∠BEM=90°+

1 2

∠A=∠BIC

∴B、E、M、I 四点共圆 ∴∠BMI=∠BEI=90° 同理∠BNC=90° ∴DM、DN 是直角三角形 BMC、直角三角形 BNC 斜边 BC 上的中线 ∴DM=DN=
1 2

BC

16、显然,程序(1) (2)是没有障碍的 下面证明:由程序(3)至少可以选出两对双打幸运选手.注意到主办者拿到的号码为: 1 、 4 、 7 ? , 97 , 100 ( 均 为 被 3 除 余 1 的 数 ) 把 这 些 号 码 分 成 18 组 : ,

?1? ,? 5 2 ?, ?

4 , 1 ? 0 , 7?, ? ? , 0? 97

4 9其中后 16 组中每组的两个数字和均为幸运数 ? ,55 ,

104,可以组成 16 对双打幸运选手,当主办者随机抽取 20 个号码时,至少有 18 个号码 来自后 16 组,因而,至少有两对双打幸运选手。这就保证了一次选拔便可按程序选出 两对双打幸运选手,如期出场表演。


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