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高中选修2-1双曲线典型习题


例题 定义类
1,已知 F1 (?5, 0), F2 (5, 0) ,一曲线上的动点 P 到 F1 , F2 距离之差为 6,则双曲线的方程为 2 双曲线的渐近线为 y ? ? 3 设 P 为双曲线 x ?
2

3 x ,则离心率为 2

y2 ? 1 上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2

|=3:2, 12
( B.12 ) C. 12 3 D.24

则△PF1F2 的面积为 A. 6 3

求双曲线的标准方程
1 已知双曲线 C 与双曲线

y2 x2 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2).求双曲线 C 的方程. 16 4
x 2

2.已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方程 为
2



3.以抛物线 y ? 8 3 x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为 ___________________.

与渐近线有关的问题
1 若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心 a2 b2
B. 3
2 2

率为 ( ) A. 2 2. 双曲线 C. 5 (
3 C. y ? ? x 2

D. 2 )
9 D. y ? ? x 4

x y ? ? 1 的渐近线方程是 4 9 2 4 A. y ? ? x B. y ? ? x 3 9

3.焦点为(0,6) ,且与双曲线 A.
x2 y2 ? ?1 12 24

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 2

( )

B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D.

x2 y2 ? ?1 24 12

求弦
1 双曲线 x A.
2

? y 2 ? 1 的一弦中点为(2,1) ,则此弦所在的直线方程为
B.

( D.



y ? 2x ? 1

y ? 2x ? 2

C.

y ? 2x ? 3

y ? 2x ? 3

【解析】设弦的两端分别为 A

? x y ?, B ? x
1, 1

2,

y2 ? .则有:
.

? x12 ? y12 ? 1 y ?y x ?x 2 2 ? ? x12 ? x2 ? ? ? y12 ? y2 ? ? 0 ? 1 2 ? 1 2 ? 2 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? x2 ? y2 ? 1

∵弦中点为(2,1) ,∴ ?

? x1 ? x2 ? 4 y ? y2 x1 ? x2 .故直线的斜率 k ? 1 ? ?2. x1 ? x2 y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? 2

则所求直线方程为:

y ? 1 ? 2 ? x ? 2 ? ? y ? 2 x ? 3 ,故选 C.

练习题
1 已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=

21 的双曲线过点 P(6,6) (1)求双曲线方程 (2) 3
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动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问 证明你的结论
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是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,

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(1) 如 图 , 设 双 曲 线 方 程 为

x2 y2 ? =1 a2 b2
x y =1 ? 9 12
2 2
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由已知得

62 62 a 2 ? b2 2 1 ? 2 ? 1, e 2 ? ? ,解得 3 a2 b a2

y
N

P

a2=9,b2=12

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所以所求双曲线方程为

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(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) ,∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2)
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A1 M

o

G A2

x

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则有

2 2 ? x1 ? x2 ? 4 ?12 x1 ? 9 y1 ? 108 y ? y2 12 4 4 ? ,? ? 1 ? ? ,∴kl= ∴l 的方程为 ? 3 y1 ? y2 ? 4 ?12 x2 2 ? 9 y2 2 ? 108 x1 ? x2 9 3 ? ?

?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 4 ? y= (x-2)+2,由 ? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0 ∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存 4 3 y ? ( x ? 2) ? 3 ?
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2 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程 (Ⅱ)若直线 l : 求 k 的取值范围

? 2, 0 ? ,右顶点为 ?

3, 0

?.

??? ??? ? ? y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点) ,

解(1)设双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

由已知得 a

? 3, c ? 2 ,再由 a 2 ? b2 ? 22 ,得 b2 ? 1

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 3

(2)将

y ? kx ? 2 代入

?1 ? 3k 2 ? 0 ? 由直线 l 与双曲线交与不同的两点得 ? ? ? ? 6 2k ?

?

?

2

? 36(1 ? 32 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0

即k

2

?

1 2 且 k ?1. 3



设A

? xA , y A ? , B( xA , yB ), ,则
,由 OA ? OB

x A ? yB ?
而 x A xB

6 2 ?9 , x A yB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

??? ??? ? ?

? 2 得 xA xB ? y A yB ? 2 ,

? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxb ? 2) ? (k 2 ? 1) xA xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2
?9 6 2k 3k 2 ? 7 . ? 22k ?2? 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1


? (k 2 ? 1)

于是

3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2 ,即 ? 0 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3
1 ? k2 ?1 3

由①+②得

故的取值范围为 (?1, ?

3 ? 3 ? )?? ? 3 ,1? ? 3 ? ?


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