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等差数列


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姓名 学科 阶段 课题名称

余建华 数学

学生姓名 年级 高二 维护期□ 课时计 划

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2015-

-<

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人教版 第( )课时 共()课时 上课时间 2015- -

观察期□:第( )周

等差数列
同步教学知识内 容 个性化学习问题 解决

教学目标

教学重点 教学难点 教师活动 一、知识讲解
1.等差数列 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于__________,那么这个数列就叫 做等差数列,这个常数就叫做等差数列的______,通常用字母 d 表示. (1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项; 其二是强调这两项必须相邻. (2)公差 d∈R,当 d=0 时,数列为常数列;当 d>0 时,数列为递增数列;当 d<0 时,数列为递减数 列.
[来源:Z#xx#k.Com]

【做一做 1】 等差数列 4,7,10,13,16 的公差等于__________. 2.通项公式

教学过程 等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则通项公式是 an=________.
(1)如果数列{an}的通项公式是 an=pn+q(p,q 是常数),那么数列{an}是等差数列. (2)如果数列{an}满足 2an=an-1+an+1(n>1,n∈N*),那么数列{an}是 等差数列. 【做一做 2】 已知等差数列{an}中,首项 a1=4,公差 d=-2,则通项公式 an 等于( A.4-2n C.6-2n 3.等差中项 如果三个数 a,A,b 成等差数列,那么____叫做______的等差中项. B.2n-4 D.2n-6 )

等差中项的性质:

[来源:学_科_网]

①A 是 a 与 b 的等差中项,则

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a+b A= 或 2A=a+b,即两个数的等差中项有且只有一个. 2 ②当 2A=a+b 时,A 是 a 与 b 的等差中项. 【做一做 3】 13 与-11 的等差中项 m=__________.

二、例题精析
题型一求等差数列的通项公式 【例题 1】 若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求 an. 分析:先求出 a1,d,然后求 an.

?a1+(m-1)d=a, ? 反思:一般地,可由 am=a,an=b,得? 求出 a1 和 d,从而确定通项公式. ? ?a1+(n-1)d=b,

题型二等差数列的判定与证明 【例题 2】 已知数列{an}的通项公式为 an=4-2n,求证:数列{an}是等差数列. 分析:只需证明 an+1-an=常数或 an-an-1=常数(n≥2).

反思:已知数列{an}的通项公式 an=f(n),用定义判断或证明{an}是等差数列的步骤: (1 )利用通项公式 an=f(n)写出 an+1=f(n+1)(或 an-1=f(n-1) ); (2)作差 an+1-an(或 an-an-1),将差变形; (3)当差 an+1-an(或 an-an-1)是一个与 n 无关的常数时, 数列{an}是等差数列; 当差 an+1-an(或 an-an -
1)不是常数,是与

n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.

题型三实际应用问题 【例题 3】 梯子的最高一级宽 33 cm,最低一级宽 110 cm,中间还有 10 级,各级宽度依次成等差数列, 计算中间各级的宽度.
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分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差数列的公差.又梯子的级数是 12,因 此,该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差.

反思:解决实际应用问题的关键是建立数学模型,本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及 项数,求各项. 题型四等差数列性质的应用 【例题 1】 设{an}为等差数列,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,求 a2+a8. 分析:方法一:依性质“若 m+n=p +q,则 am+an=ap+aq”求解即可. 方法二:将 a3+a4+a5+a6+a7 用 a1,d 表示,再将 a2+a8 用 a1,d 表示,从中寻找关系来解决.

反思:(1)比较方法一和方法二,显然方法一要优于方法二,因此要注意灵活运用性质解题. (2)等差数列的性质实质上是数列的定义、通项、等差中项的综合应用,因此应用得法可为解题带来极 大的方便,如本题方法一.

题型二等差中项的应用 【例题 2】 已知三个数成等差数列并且是递增数列,它们的和为 18,平方和为 116,求这三个数. 分析:充分利用等差中项的定义求解未知量.

反思:当三个数或四个数成等差数列时,可设出这几个数,由已知条件列方程组求解,如本题解法一; 也可采用对称的设法,三个数时,设 a-d,a,a+d.四个数时,设 a-3d,a-d,a+d,a+3d,利用 已知条件列方程(组)先求出其中的 a 与 d,再进一步解题,如本题解法二.

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题型三等差数列的综合问题 1 【例题 3】 一个等差数列的首项为 ,公差 d>0,从第 10 项起每一项都大于 1,求公差 d 的范围. 25
?a9≤1, ? 分析:从第 10 项起每一项都大于 1 是指? 转化为解不等式组. ?a10>1, ?

反思:等差数列是关于 n 的一次函数(d=0 时为常数函数),对于有关单调性、取值范围的问题,可先结 合已知条件利用通项公式,得到一个以 a1 和 d 为未知数的方程或不等式,再利用函数、不等式的有关 方法来解决.

易错辨析
【例题 1】 若数列{an}的通项公式为 an=10+lg 2n,求证数列{an}为等差数列. 错解:因为 an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以 a1=10+lg 2,a2=10+2lg 2,a3=10+3lg 2, 所以 a2-a1=lg 2,a3-a2=lg 2, 则 a2-a1=a3 -a2,故数列{an}为等差数列. 错因分析:a3-a2=a2-a1=常数,不能满足等差数列的定义中“从第 2 项起,每一项 与前一项的差等于 ... 同一个常数”的要求. 反思:要说明一个数列为等差数列,必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数,即 an -an-1=d(n≥2)恒成立,而不能只验证有限个相邻两项之差 相等. 【例题 2】 设数列{an}是等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),试求 ap+q. 错解:∵数列{an}是等差数列, ∴ap+q=ap+aq=p+q. 错因分析:性质 am+an=ap+aq 中必须是两项相加等于两项相加,如 a7+a8=a6+a9,并不是下标和相
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等即相等,如 a15=a7+8≠a7+a8. 反思:利用等差数列的性质解决问题时,所用的性质必须是经过证明成立的,才能应用,否则不能应 用.

三、课堂运用
A组 1(2011· 吉林长春高三调研)在等差数列{an}中,a1· a3=8,a2=3,则公差 d=( A.1 B.-1 ) C.63 ) D.45 D.76 C.± 1 D.± 2 )

2 等差数列-3,1,5,…的第 15 项为( A.40 B.53

3 等差数列 1,-1,-3,…,-89 的项数是( A.92 B.47


C.46

4 已知数列{an}的通项公式是 an=7n 2, 求证:数列{lg an}是等差数列. 5 有一正四棱台形楼顶,其中一个侧面中最上面一行铺瓦 30 块,总共需要铺瓦 15 行,并且下一行比其 上一行多铺 3 块瓦,求该侧面最下面一行需铺瓦多少块?

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B组

1 已知等差数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=20,则 a3=__________. 2 已知数列{an}是等差数列,若 a1-a5+a9-a13+a17=117,则 a3+a15=________ __. 3 在数列{an}中,a1,a12 是方程 x ? 2 x ? 5 =0 的两根,若{an}是等差数列,则 a5+a8=__________.
2

4 在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12>31,求公差 d 的取值范围. 5 已知三个数成等差数列,其和为 15,首末两项的积为 9,求这三个数.

第 2 课时
一、知识讲解
1.数列的前 n 项和

等差数列求和

对于数列{an},一般地,我们称 a1+a2+a3+…+an 为数列{an}的前 n 项和,用 Sn 表示,即 Sn= ______________. 数列的前 n 项和必须从第 1 项开始,逐项相加到第 n 项,不能是 其中几项的和. 【做一做 1】 数列 9,-2,-10,3 的前 3 项和 S3=__________. 2.等差数列{an}的前 n 项和 n(a1+an) 设等差数列{an}的公差是 d, 则 Sn= =na1+__________. 2
[来源:学#科#网]

n(a1+an) n(n-1) 等差数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d,前 n 项和公式 Sn= =na1+ d. 2 2 ①上述两个公式共涉及到 a1,an,Sn,n,d 五个量,通常已知其中三个,可求另外两个,即“知三求二”, 而且方法就是解方程 组,这也是解决等差数列问题的策略. ②当已知首项 a1,末项 an,项数 n 时,常用公式 Sn= n(n-1) 用公式 Sn=na1+ d. 2 n(a1+an) ;当已知首项 a1,公差 d,项数 n 时,常 2

二、例题精析

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题型一已知 Sn 求 an 【例题 1】 已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 分析:利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)求解.

反思:已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn,求通项公式 an 的步骤: (1)当 n=1 时,a1=S1. (2)当 n≥2 时,根据 Sn 写出 Sn-1,化简 an=Sn-Sn-1. (3)如果 a1 也满足当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列{an}的通项公式为 an=Sn-Sn-1(如本题 (1)); 如果 a1 不满足当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列{an}的通项公式要分段表示为 an=
? ?S1,n=1, ? (如本题(2)). ?Sn-Sn-1,n≥2 ?

题型二等差数列前 n 项和的有关计算 【例题 2】 已知等差数列{an}中, 3 1 (1)a1= ,d=- ,Sn=-15,求 n 及 an; 2 2 (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 d. 分析:合理地使用前 n 项和公式,并注意其变形;要应用方程的思想.

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反思:a1,d,n 称为等差数列的三个基本量,an 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示,五个量 a1,d, n, an,Sn 中可知三求二,即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公 式和前 n 项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法,在具体求解过程中应注 意已知与未知的联系及整体思想的运用. 题型三等差数列前 n 项和的最值问题 【例题 3】 数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6. (1)该数列前多少项都是非负数? (2)求此数列的前 n 项和 Sn 的最大值.
?am≥0, ? 分析:(1)满足不等式组? 的正整数解即是;(2)既可 以从项的正负考虑,也可以利用等差数列 ?am+1<0 ?

的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,考虑对应二次函数的最值.

反思:求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方法: (1)由二次函数的最值特征得解. n(n-1) d 2 ? d Sn=na1+ d= n +?a1-2? ?n 2 2

?a -d?2 d d? a1- ?2 ? 1 2? 2? - = ? 2 n+ 2d ? d ?
1 a1 d d 1 a1 = ? n-? - ??2- ? - ?2. 2? ?2 d ?? 2?2 d ?
[来源:学科网]

1 a1 由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N*知,当 n 取最 接近 - 的正整数时,Sn 取到最大值(或最小 2 d 1 a1 值),如本题(2)方法二.值得注意的是最接近 - 的正整数可能有 1 个,也可能有 2 个. 2 d (2)根据项的正负来定.
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?am≥0, ? ①首项 a1>0,公差 d<0,m 满足? 时,前 n 项和 Sn 的最大值是 Sm. ?am+1<0 ? ?am≤0, ? ②首项 a1<0,公差 d>0,m 满足? 时,前 n 项和 Sn 的最小值是 Sm. ? ?am+1>0

题型四等差数列前 n 项和的性质应用 【例题 4】 一个等差数列的前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求其前 110 项之和. 分析:本题基本解法是求 a1,d 或令 Sn=an2+bn,先求 Sn,再求 S110,或利用性质.

反思:(1)利用已知求出 a1,d,然后再求所求的量,是基本解法,有时运算量大些,如本题解法一. (2)我们也可以利用等差数列前 n 项和的性质,或利用等差数列通项公式的性质,这两种解法可简化运 算,为最优解法,如本题解法三和解法四. 题型五实际应用问题 【例题 2】 某长江抗洪指挥部接到预报,24 小时后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来 临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队 指战员和当地干部群众连续奋战外,还需用 20 台同型号的翻斗车,平均每辆车要工作 24 小时才能完成任务.但目前只有一辆车投入施工,其余的 需从附近高速公路上抽调,每隔 20 分能有一辆车到达,且指挥部最多还可调集 24 辆车,那么在 24 时 内能否构筑成第二道防线? 分析:这 25 辆车分别完成的工作量按从小到大排起来,组成一个等差数列,计算出这 25 辆车可以完 成的工作量,即这个等差数列的前 25 项和,如果大于或等于总共需要完成的工作量,就能构筑成第二 道防线 ,否则不能.

反思:有关数列的应用问题,应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型,最后求出符合实际 的答案,可分以下几步考虑: (1)问题中所涉及的数列{an}有何特征? (2)是求数列{an}的通项还是求其前 n 项和? (3)列出等式(或方程)求解. (4)怎样求解?

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(5)答案是怎样的?

易错辨析
【例题 1】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2,求此数列的通项公式. 错解:an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1. 错因分析:∵Sn=n2+2 ,∴a1=S1=12+2=3,而当 n=1 时,an=2n-1=2× 1-1=1≠3,则 an=2n-1 不是数列{an}的通项公式.错解中忽视了 an=Sn-Sn-1 成立的条件是 n≥2. 反思:已知数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 的关系求 an,一般使用公式 an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须写明 它 成立的条件:n∈N*,n≥2,忽视了这一点往往会导致错误. Sn n+3 a10 【例题 2】 已知两个等差数列{an},{bn},它们的前 n 项和分别记为 Sn,Tn,若 = ,求 . Tn n+1 b10 a10 S10 10+3 13 错解: = = = . b10 T10 10+1 11 a10 S10 a10 S19 错因分析:事实上 ≠ ,应是 = . b10 T10 b10 T19 反思:两个等差数列第 n 项的比等于它们前 2n-1 项和的比,不等于它们前 n 项和的比.

三、课堂运用
A组 1(2011· 山东济南二模)数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sn=2n2-17n, 则当 Sn 取得最小值时, n 的值为( A.4 或 5 B.5 或 6
第 10 页

)

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C .4

D.5 )
[来源:学科网 ZXXK]

2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( A.9 B.8 C.7 D.6

3(2011· 北京丰台一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,S5=10,则 S7=__________. 4(2011· 安徽“江南十校”高三联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为 __________. 5 等差数列{an}中,a3=-5,a6=1,此数列的通项公式为__________,设 Sn 是数列{an}的 前 n 项和, 则 S8 等于__________.

B组

1 在等差数列{an}中,已知 a5+a7=10,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S11=( A.45 B.50 C.55 D.60

)

2 一个等差数列共有 10 项,其偶数项之和是 15,奇数项之和是 12.5,则它的首 项与公差分别是( A.

)

1 1 , 2 2
)

B.

1 ,1 2

C.

1 ,2 2

D.1,

1 2

3 现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数 为(

A.9 B.10 C.1 9 D.20 4 等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别是 Sn,Tn,且

a5 2 S ? ,则 9 =__________. b5 3 T9

5 等差数列{an}的前 m 项和为 3,前 2m 项和为 10,求它的前 3m 项和.

课后记

本节课教学计划完成情况:照常完成□ 提前完成□ 延后完成 _____________________________ 学 生 的 接 受 程 度 : 完 全 能 接 受 □ 部 分 能 接 受 □ 不 能 接 受 ________________________________ 学 生 的 课 堂 表 现 : 很 积 极 □ 比 较 积 极 □ 一 般 □ 不 积 极 ________________________________ 学 生 上 次 作 业 完 成 情 况 : 数 量 ____% 完 成 质 量 ____ 分 存在问 ______________________________ 配合需求:
家长___________________________________________________________________________ 学管师_________________________________________________________________________

□ □ □ 题

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