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2一元二次不等式及其解法(已修改)


一元二次不等式及其解法
主讲教师 贺思轩

内容提要: 一、一元二次不等式的解法 二、简单分式不等式的解法 三、利用解集求参数的值 四、不等式恒成立问题

一、一元二次不等式的解法 基本思路: ①解出相关方程的两实根; ②根据相关二次函数的开口方向及不等 号的方向,明确是两实根之间还是两实根之 外; ③确定边界点的情况. 注意:两实根的大小!!可能需要讨论. 是利用导数求函数单调区间的重要方法!!

例1、解关于x的不等式:
ax 2 ? 2 ? 2 x ? ax ? a ? 0? (1)整理 ax2 ? ? a ? 2? x ? 2 ? 0

(2)解相关方程 ax2 ? ? a ? 2? x ? 2 ? 0
(3)开口方向及不等号 ?2 ? ? ? a ? 0 x2 ? x1 所以 ? ??, 1? ? ? , ? ? (Ⅰ) a (Ⅱ) a ? 0 x2 ? x1?口下 ②当 a ? ?2 时 ③当 a ? ?2 时
? ?
x1 ? ?1
2 x2 ? a

①当 ?2 ? a ? 0 时 x2 ? x1
x2 ? x1 x1 ? x2

?2 ? ,? 1? ?a ? ? x ? ?1 2? ? ?1, ? ? a? ?

二、简单分式不等式的解法 基本方法: ①建立与之相关的一元二次不等式; ②解新不等式; ③根据分母不等于0进行处理.

x?2 ?0 例2、解分式不等式: 3? x

分析:? x ? 2?? 3 ? x ? ? 0

所以

? x x ? 2或x ? 3? ? x x ? 2或x ? 3?

点评:高中阶段的不等式大多数可转化 为一元二次不等式.注意端点处的取值情况.

三、利用解集求参数的值 基本方法:利用一元二次方程根与系数 的关系建立参数的方程(组).
ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的解 例3、设关于x二次不等式 ? 1? 集为 ? x ?1 ? x ? ? ,则 ab 的值为_____. 3? ? 1 2 分析:方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两根是:? 1 或 3 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ?a ? ?3 3 a 所以 ? 解得 ? ? ?1 ? 1 ? ? b ?b ? ?2 ? 3 a ?

四、不等式恒成立问题 不等式恒成立问题是证明函数在某一个 区间单调性的重要方法. 基本方法是: a ? b 恒成立,
即 a 的最大值小于 b 的最小值;

a ? b 恒成立,
即 a 的最小值大于 b 的最大值.

例4、当 x ? ?1,2? 时,不等式 x 2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是________.
分析:根据恒成立问题的基本方法,首先 是做分离参数;然后分别求左右两边函数的最 值. 2

?x ? 4 ①分离参数得:m ? x 2 ?x ? 4 4 ? ? x ? ? ? - 5,- 4 ? ②右边的最小值: x x ③所以 m ? ?5

点评:分离参数时要注意两边同除时,是 否能保证是正实数.恒成立问题在导数部分还会 详细讲解.

例4、当 x ? ?1,2? 时,不等式 x 2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是________.
分析:本题还可以利用一元二次方程根的 分布的方法来解决. f ? x ? ? x2 ? mx ? 4
? f ? 1? ? 0 ? ? ? f ? 2? ? 0 ?
? m ? ?5

?5 ? m ? 0 ? ? 8 ? 2m ? 0

点评:根的分布是重要 的基础知识点,有专门的视 频讲解,请同学们注意收 看!!

函数、方程、不等式是高中数学的重要 关系,函数是高中数学的核心,因而不等式 是解决函数问题的基础.解不等式也是解决函 数导数的重要工具,其重要性就不言而喻.


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