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2015届高考数学一轮复习 第5篇 高考大题冲关课件 文 新人教版


高考大题冲关(三)

数列的热点问题
数列是历年高考的热点,多从数列的递推公式及 an 与 Sn 的关系入手,考查等差数列、等比数列的概念、基本运 算性质、通项公式、求和公式等,常以等差、等比数列 的综合命题,或与方程、函数与导数、不等式等知识交 汇命题,综合考查数列的通项、求和等问题.

题型一

等差、

等比数列的综合

【例 1】 (2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)已知等差数 列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2. 思维导引:(1)由 a1,a11,a13 成等比数列,列方程求出公 差 d 即可. (2)求出 a3n-2 的通项,由等差数列的前 n 项和公式求和.

2 解:(1)设{an}的公差为 d,由题意, a11 =a1a13,

即(a1+10d) =a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25, 所以 d=0(舍去), d=-2. 故 an=-2n+27.

2

(2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31, 故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列,
n 从而 Sn= (a1+a3n-2) 2 n = (-6n+56) 2

=-3n +28n.

2

冲关策略

解决等差数列与等比数列的综合

问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数 列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要 把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究; 如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运 算入手,把两个数列分割开弄清两个数列各自的 特征,再进行求解.

即时突破 1 (2013 梅州市高三总复习质检)已知各项均不
相等的等差数列{an}的前 5 项和 S5=35,又 a1+1,a3+1,a7+1 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;
? ?1? ? (2)设 Tn 为数列 ? ? 的前 n 项和,问是否存在常数 m,使 ? ? Sn ? ?

? n ? n ? Tn=m· ? ? ,若存在,求 m 的值;若不存在,说 ? ? n ? 1 2 ? n ? 2? ? ?

明理由.

解:(1)设数列{an}的公差为 d, 由 S5=35 得 a1+2d=7, 即 a3=7, 又 a1+1,a3+1,a7+1 成等比数列, 所以(7+1) =(a1+1)(a1+6d+1), 解得 a1=3,d=2, 所以 an=a1+(n-1)d=2n+1.
2

(2)存在. ∵Sn= ∴
n ? a1 ? an ? 2

=n(n+2),

1 1 1 1 1 = = ( ), n n?2 Sn n ? n ? 2 ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( - + - + - +…+ + ) 1 3 2 4 3 5 2 n ?1 n ?1 n n ? 2

所以 Tn=

? n 1 1 1 1 1 1 ? n ? = ( + )= ? ?, 1 2 n ?1 n ? 2 2 2 ? ? ? n ? 1 2 ? n ? 2? ?

故存在常数 m=

1 , 2

? n ? n ? 使 Tn=m ? ? 成立. ? n ? 1 2 ? n ? 2? ? ? ?

题型二

利用 an 与 Sn 的关系求通项 an

【例 2】 (2012 年高考广东卷)设数列{an}的前 n 项和 2 * 为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn=2Sn-n ,n∈N . (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 思维导引:(1)令 n=1,由题意及 T1=S1=a1,可求得 a1. (2)n≥2 时,Sn=Tn-Tn-1 可得 Sn 与 an 的关系式,再次利用 an 与 Sn 的关系,得出 an 与 an-1 的关系,结合构造法,可求 得 an .

解:(1)当 n=1 时,T1=S1=2S1-1? a1=S1=1. 2 (2)Tn=2Sn-n , ① 2 Tn-1=2Sn-1-(n-1) (n≥2), ② 由①-②得 Tn-Tn-1=2(Sn-Sn-1)-2n+1(n≥2)? Sn=2an-2n+1(n≥2). 当 n=1 时,S1=2a1-2+1 成立, ∴Sn=2an-2n+1(n≥1), 则 Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n≥2).

③ ④

由③-④得 Sn-Sn-1=2an-2an-1-2, ∴an=2an-2an-1-2, ∴an=2an-1+2, ∴an+2=2(an-1+2)(n≥2), ∴{an+2}是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, n-1 ∴an+2=3·2 , ∴an=3·2 -2.
n-1

冲关策略

在非等差数列与等比数列中已知 Sn 求

n ? 1, ?S1 an 常考虑 an 与 Sn 的关系 an= ? 求解, ?Sn ? Sn ?1 n ? 2,
最后结果需检验 a1 是否符合 n≥2 时,an 的表达式, 若符合则把通项公式合写,否则应分 n=1 与 n≥2 两 段来写.

即时突破 2 (2013 清远市调研)设数列{an}的
前 n 项和为 Sn,已知 Sn=2an-2n. (1)证明:{an+2}是等比数列; (2)求数列{Sn}的前 n 项的和 Tn. (1)证明:∵Sn=2an-2n, ∴当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-2(n-1), ∴①-②,得 an=2an-2an-1-2, 即 an=2an-1+2(n≥2).

① ②

∵S1=2a1-2,即 a1=2,∴a1+2=4≠0.
2an ?1 ? 2 ? 2 an ? 2 ∵当 n≥2 时, = =2(常数), an ?1 ? 2 an ?1 ? 2

∴{an+2}是首项为 4,公比为 2 的等比数列. (2)解:由(1)得 an+2=4×2n-1,即 an=2n+1-2, ∴Sn=2an-2n=2n+2-2(n+2), ∴Tn=S1+S2+S3+…+Sn =(2 +2 +2 +…+2 )-2[3+4+5+…+(n+2)] =
3 4 5 n+2

8 ?1 ? 2n ? 1? 2
n+3 2

3 ? n ? 2? n ? -2· 2

=2 -n -5n-8.

题型三

数列与函数的综合
*

【例 3】 (2013 年高考安徽卷)设数列{an}满足 a1=2, a2+a4=8,且对任意 n∈N ,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x
?π? +an+1·cos x-an+2·sin x,满足 f′ ? ? =0. ?2?

(1)求数列{an}的通项公式;
1 (2)若 bn=2(an+ an ),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2

?π? 思维导引:(1)求 f′(x),由 f′ ? ? =0 得到 an,an+1,an+2 ?2?
的关系,再结合 a1=2,a2+a4=8 求解. (2)由 bn 的形式知,利用分组求和法求 Sn. 解:∵f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x, ∴f′(x)=an-an+1+an+2-an+1·sin x-an+2·cos x,

?π? f′ ? ? =an-an+1+an+2-an+1=0, ?2?
∴2an+1=an+an+2, ∴{an}是等差数列.

?a1 ? 2, 由 ? ?a2 ? a4 ? 8,
解得:d=1, ∴an=2+(n-1)·1=n+1.
1 (2)bn=2(an+ an ) 2

=2(n+1+

1 2
n ?1



1 =2(n+1)+ n . 2

1? 1 ? 1? n ? ? 2 ? 2 ? n ? 1? n 2? 2 ? Sn= + 1 2 1? 2

1 =n(n+3)+1- n 2 1 =n +3n+1- n . 2
2

冲关策略

(1)数列与函数的综合问题一般是以

函数作为背景,给出数列所满足的条件.解决这类问 题的关键是利用函数知识,将条件进行准确转化. (2)此类问题多考查函数的思想及性质(多为单调性), 注意题中的限制条件,如定义域.

即时突破 3 (2013 山东省实验中学第一次诊断性测试)已
知{an}是公比大于 1 的等比数列,a1,a3 是函数
9 f(x)=x+ -10 的两个零点. x

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}满足 bn=log3an+n+2,且 b1+b2+b3+…+bn≥80, 求 n 的最小值.

解:(1)令 f(x)=0,
9 即 x+ -10=0, x

解得 x1=1,x2=9. 由题意知,公比 q>1, ∴a1=1,a3=9. 2 ∴a3=a1q 得 q=3. n-1 * ∴an=3 (n∈N ).

(2)∵bn=log3an+n+2=log33n-1+n+2 =2n+1. ∴数列{bn}是以 3 为首项,公差 d=2 的等差数列. 设 Sn=b1+b2+b3+…+bn, 则 Sn=
n ? 2n ? 1 ? 3 ? 2

=n(n+2),

由题意,得 n(n+2)≥80. 解得 n≥8,(或 n≤-10 舍去), 又 n∈N*, ∴n 的最小值为 8.

题型四 数列与不等式的综合
【例 4】 (2013 年高考江西卷)正项数列{an}的 前 n 项和 Sn 满足: S -(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=
2 n
2 2

n ?1

? n ? 2?

2

a

2 n

,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.

5 证明:对于任意的 n∈N ,都有 Tn< . 64
*

思维导引:(1)化简已知等式求出 Sn,利用 an 与 Sn 的关系求 an. (2)借助(1)的结论写出 bn 的通项公式裂项求和 Tn,放缩法证明不等式. (1)解:由 S n2 -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0, 得[Sn-(n +n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n +n. 于是 a1=S1=2,n≥2 时, 2 2 an=Sn-Sn-1=n +n-(n-1) -(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项公式为 an=2n.
2 2

(2)证明:由于 an=2n, 故 bn =

n ?1

? n ? 2?
3

2

a

2 n

=

n ?1 4n ? n ? 2?
2 2

1 ?1 1 ? = ? 2? ?. 2 16 ? ? n ? n ? 2? ? ?
1 1 ? ? ? 2? ? 2 2 2 ? n ? 1? ? n ? 1? n ? n ? 2? ? ? 1 1

1 1 1 1 1 Tn= 1 ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 16 ? ? 2 4 3 5

1? 5 1? 1 1 1 ? 1? = ?1 ? 2 ? . ? ? < ?1 ? 2 ? = 2 2 16 ? ? 2 ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? ? 16 ? 2 ? 64

冲关策略

数列与不等式相结合,考查方式主

要有三种,一是判断数列问题中的一些不等关系; 二是以数列为载体考查不等式的解法或恒成立 问题;三是考查与数列有关的不等式证明问题. 解决此类问题要充分利用数列的自身特点,把数 列转化为相应的不等式问题解决.注意对不等式 进行放缩,或利用单调性证明.

即时突破 4 (2013 韶关模拟)已知各项均为正数的等比
数列{an}的首项 a1=2,Sn 为其前 n 项和,5S1,S3,3S2 成等差 数列. (1)求数列{an}的通项公式;

1 (2)设 bn=log2 an,cn= ,记数列{cn}的前 n 项和为 Tn. bnbn ?1
若对? n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成立,求实数 k 的取值范围.

解:(1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵5S1,S3,3S2 成等差数列,∴2S3=5S1+3S2, 2 即 2(a1+a1q+a1q )=5a1+3(a1+a1q).
3 化简得 2q -q-6=0,解得 q=2 或 q=- . 2
2

3 因为数列{an}的各项均为正数,所以 q=- 不合题意, 2

所以{an}的通项公式为 an=2 .

n

(2)由 bn=log2 an,得 bn=log2 2n=n,
1 1 1 1 ∴cn= = = , bnbn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1
1 1 1 1 1 ∴Tn=1- + - +…+ 2 2 3 n n ?1 1 n =1= , n ?1 n ?1 n ∵ ≤k(n+4), n ?1

n 1 ∴k≥ = 2 = . 4 ? n ? 1?? n ? 4? n ? 5n ? 4 n ? ? 5 n

n

4 4 4 ∵n+ +5≥2 n ? +5=9,当且仅当 n= , n n n

即 n=2 时等号成立,
1 1 ∴ ≤ , 4 n? ?5 9 n

?1 ? ? ?? . ∴k 的取值范围为 ? , ?9 ?


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