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高一数学常考立体几何证明题


1、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: AB ? 平面 CDE; E A

B

C

D

2、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点, 求证: A1C // 平面 BDE 。 B1

/>
A
1

D1

E

C
1

A

D

B

C

3、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,
?

求证: AD ? 面 SBC .

S

D A C B

1

4、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.

? 面 AB1D1 . 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ; (2) AC 1

D1 A1 D O A B B1

C1

C

5、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' .

2

D1 6、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. E D A G A1 B1

C1

F

C

B

7、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点. 求证:平面 D1 EF ∥平面 BDG .

8、 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且
0

平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB .

3

9、如图 1,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: A1O ? 平面 MBD.

10.(12 分)(2009· 浙江高考)如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° ,P,Q 分 别为 AE,AB 的中点.

(1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

4

1、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 A 求证:(1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 证明:(1) E

BC ? AC ? AD ? BD ? ? ? CE ? AB 同理, ? ? DE ? AB AE ? BE ? AE ? BE ?
∴ AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC ,

B

C

又∵ CE ? DE ? E

D ∴平面 CDE ? 平面 ABC A
1

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE

2、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点,求证: A1C // 平面 BDE 。 证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , B1 ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A1 AC 的中位线 ∴ EO // A1C

D1

E

C
1

又 EO 在平面 BDE 内, A1C 在平面 BDE 外 ∴ A1C // 平面 BDE 。 3、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .
?

A

D

证明:∵?ACB ? 90 ° 又 SA ? 面 ABC

? BC ? AC ? SA ? BC ? BC ? 面 SAC

B

S

C

? BC ? AD
D1 A1 D O A B B1 C1

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC 4、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.

D A C B

? 面 AB1D1 . 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC 1
证明:(1)连结 A1C1 ,设 ∴A1C1∥AC 且 A1C1 ? AC 又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO

C

A1C1 ? B1D1 ? O1

,连结 AO1

∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形

? AOC1O1 是平行四边形 ? C1O∥AO1 , AO1 ? 面 AB1 D1 , C1O ? 面 AB1 D1
(2)? CC1 ? 面 A1 B1C1 D1 又

∴C1O∥面 AB1 D1

∵A1C1 ? B1 D1

?CC1 ? B1D! D1 B1 ? AD1 ? D1 即A1C ? B1D1

同理可证

A1C ? AD1

, ? B1 D1 ? 面 A1 C1 C , 又

? A1C ? 面 AB1D1
5、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证:(1) AC ? 平面B ' D ' DB ;(2) BD ' ? 平面ACB ' .
5

6、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. A1 E

D1 B1

C1 F

D A

G B

C

从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 7、 如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 、F 、G 分别是 AB 、AD 、C1 D1 的中点.求证: 平面 D1 EF ∥平面 BDG . 证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ D1G

EB ?四边形 D1GBE 为平行四边形, D1 E ∥ GB

又 D1 E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1 E ∥平面 BDG

EF ? D1 E ? E

,?平面 D1 EF ∥平面 BDG
0

8、 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且 平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB . 证明:(1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
6

9、如图 1,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: A1O ? 平面 MBD. 证明:连结 MO, A1M ,∵DB⊥ A1 A ,DB⊥AC,

A1 A ? AC ? A



∴DB⊥平面 A1 ACC1 ,而 A1O ? 平面 A1 ACC1 ∴DB⊥ A1O . 设正方体棱长为 a ,则 A1O 2 ? 在 Rt△ A1C1M 中, A1M 2 ?

3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4

9 2 ?OM . a .∵ A1O 2 ? MO2 ? A1M2 ,∴ AO 1 4

∵OM∩DB=O,∴ A1O ⊥平面 MBD. 10.(12 分)(2009·浙江高考)如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC =

EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q 分别为 AE,AB 的中点.
(1)证明:PQ∥平面 ACD;(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. 解:(1)证明:因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点,所以 PQ∥EB.又 DC∥EB,因此 PQ∥DC, 又 PQ?平面 ACD,从而 PQ∥平面 ACD. (2)如图,连接 CQ,DP,因为 Q 为 AB 的中点,且 AC=BC,所以 CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC,EB∥DC,所以 EB⊥平面 ABC,因此 CQ⊥EB. 故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)有 PQ∥DC,又 PQ= EB=DC,所以四边形 CQPD 为平行四边形,故 DP∥CQ,因此 DP⊥平面 ABE, 2 5 5

∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角,在 Rt△DPA 中,AD=

5,DP=1,sin∠DAP=



? BD?A1C
8; 证明:连结 AC ∵BD⊥AC ∴ AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

? ? ? A1C?平面BC1 D 同理可证A1C?BC1 ?

9、证明:(1)连结 A1C1 ,设 A1C1 ? B1 D1 ? O1
连结

AO1 ,? ABCD ? A1B1C1D1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形
2分

? A1C1 ? AC 且 A1C1 ? AC
又 O1 , O 分别是

A1C1 , AC 的中点,? O1C1 ? AO 且 O1C1 ? AO
4分

? AOC1O1 是平行四边形

? C1O ? AO1 , AO1 ? 面 AB1 D1 , C1O ? 面 AB1 D1
7

? C1O ? 面 AB1D1
(2)? CC1

6分

? 面 A1 B1C1 D1

?CC1 ? B1D!

7分 9分 11 分 12 分

又? A 1C1

? B1 D1 , ? B1 D1 ? 面 A1 C1 C

即A1C ? B1D1
同理可证

A1C ? AB1 ,

又 D1 B1 ?

AB1 ? B1
14 分

? A1C ? 面 AB1D1

8


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