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北京四中 高考数学总复习:知识讲解


空间几何体结构及其三视图
编稿:孙永钊 【考纲要求】 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简 单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上 述三视图表示的立体模型,会用材料(如纸板)制作模型,并会用斜二测法画出它们的直观图. (3)通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图,了解空间图形的不同 表示形式. (4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 【知识网络】 审稿:

【考点梳理】 考点一、空间几何体的结构及其三视图和直观图 1、多面体的结构特征 (1)棱柱(以三棱柱为例) 如图:平面 ABC 与平面 A1B1C1 间的关系是平行,Δ ABC 与 Δ A1B1C1 的关系是全等。 各侧棱之间的关系是:A1A∥B1B∥C1C,且 A1A=B1B=C1C。 (2)棱锥(以四棱锥为例) 如图:一个面是四边形,四个侧面是有一个公共顶点的三 角形。

(3)棱台 棱台可以由棱锥截得, 其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥, 截面和底面之间的部 分为棱台。 2、旋转体的结构特征 旋转体都可以由平面图形旋转得到,画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。

3、空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到, 在这种投影下, 与投影面平行的平面图形留下的 影子与平面图形的开关和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图。 4、空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1) 原图形中 x 轴、 轴、 轴两两垂直, y z 直观图中, x’轴、 y’轴的夹角为 45o (或 135o) , z’轴与 x’轴和 y’轴所在平面垂直; (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行。平行于 x 轴和 z 轴的线段长度 在直观图不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中减半。 5、平行投影与中心投影 平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点。 要点诠释: 空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是: 观察角度: (1) 三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形; 直观图是从某一点观察几何体而画出的 图形; (2)投影效果:三视图是正投影下的平面图形,直观图是在平行投影下画出的空间图 形。 考点二、空间几何体的表面积和体积 1、旋转体的表面积 名称 图形 表面积

圆柱

S=2π r(r+ l )

圆锥

S=π r(r+ l )

圆台



2、几何体的体积公式 (1)设棱(圆)柱的底面积为 S,高为 h,则体积 V=Sh; (2)设棱(圆)锥的底面积为 S,高为 h,则体积 V=

1 Sh; 3 1 3
'

' (3)设棱(圆)台的上、下底面积分别为 S’,S,高为 h,则体积 V= ( S + S S +S)

h; (4)设球半径为 R,则球的体积 V= 要点诠释: 1、对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法,转化成已知体积公式的几何体进行解 决。 2、重点掌握以三视图为命题背景,研究空间几何体的结构特征的题型. 3、要熟悉一些典型的几何体模型,如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图.

4 π R3 。 3

【典型例题】

类型一、空间几何体的结构特征
例 1.下列命题中,假命题是 。 (选出所有可能的答案)

(1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 (2)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 (3)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 (4)若一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体 【答案】 (3) (1) 【解析】 (1)中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。 (3)中是不是棱台还要看侧棱的延长线 是否交于一点。 【点评】准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。 举一反三: 【高清课堂:空间几何体结构及其三视图例 1】 【变式 1】例 1、下面是关于四棱锥的四个命题: ① 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ② 若两个过相对侧棱的截面都垂直与底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③ 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④ 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱。 其中,真命题的编号是 【变式 2】以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( A.0 【答案】B 【解析】命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥.命题②错,因这条 腰必须是垂直于两底的腰. 命题③对. 命题④错, 必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行. 例 2 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: B.1 ). C.2 D.3 (写出所有真命题的编号) 。

充要条件① 充要条件② 【答案】两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点且互相平行; 底面是平行四边形(任选两个即可) 。 【解析】 平行六面体实质是把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体, “平 因此 行四边形”与“平行六四体”有着性质上的“相似性” 。 平行四边形 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 对角线互相平分 平行六面体 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点且互相平分

【点评】利用类比推理中“线 ? 面”再验证一下所给出的条件是否正确即可。 举一反三: 【变式】将一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图,则在原正方体中( )

A

AB∥CD

B AB∥EF C

CD∥GH D AB∥GH

【答案】选 C。 【解析】折回原正方体如图,则 C 与 E 重合,D 与 B 重合。显见 CD∥GH

类型二、空间几何体的三视图
例 3 右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱, 其正视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正视图、俯视图如右图;③存在圆 柱,其正视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是 A.3 C.1 【答案】A 【解析】 把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个直角边所在侧面放在水平面上, 就 B.2 D.0 ( )

可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求, 故命题①是真命题; 把一个正四棱柱的一 个侧面放置在水平面上, 即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求, 命题②是真命题; 只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求,命题③也是真命题. 【点评】 空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影, 并不是从三个 方向看到的该几何体的侧面表示的图形. 举一反三: 【变式】若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ).

【答案】D 【解析】A 中正视图,俯视图不对,故 A 错.B 中正视图,侧视图不对,故 B 错.C 中侧 视图,俯视图不对,故 C 错,故选 D. 例 4 如下的三个图中, 上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图, 它的正视图 和侧视图在下面画出(单位:cm).在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯 视图。

【答案】如图:

【解析】根据正视图和侧视图可确定出点 G、F 的位置,从而可以画出俯视图。 举一反三: 【变式 1】 【高清课堂:空间几何体结构及其三视图例 4】 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 。

【答案】 6 ? 2 3 【解析】由正视图可知该三棱柱是底面边长为 2,侧棱长为 1 的正三棱柱。其表面积为

2?

3 ? 4 ? 3? 2?1 ? 6 ? 2 3 4

【变式 2】已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何 体的体积是( )

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】依题意,此几何体为如图所示的四棱锥 P-ABCD,

底面 ABCD 是边长为 20 的正方形,侧面 PCD 垂直于底面 ABCD,△PCD 的高为 20,

故这个几何体的体积为



类型三、几何体的直观图
例 5(1)如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。

(2)已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么Δ ABC 的平面直观图Δ A B C 的面积为 【答案】 (1)由三视图知该几何体是一个简单的组合体,它的下部是一个不在此列四棱台, 上部是一个正四棱锥。 画法:①画轴。如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45 ,∠xOz=90 .
0 0

'

'

'

②画底面。 利用斜二测画法画出底面 ABCD, z 轴上截取 O 使 O O 等于三视图中相应 在 高度,过 O 作 Ox 的平行线 O x ,Oy 的平行线 O y ,利用 O x 与 O y 画出底面 A B C D ; ③画正四棱锥顶点。在 Oz 上截取点 P,使 P O 等于三视图中相应的高度; ④成图。连接 PA 、PB 、PC 、PD 、AA 、B B、C C、D D ,整理得到三视图表示
' ' ' ' ' ' ' '

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

的几何体的直观图如图②所示。

(2)如图③、④所示的实际图形和直观图。

由图可知, A B ? AB ? a, O C ?
' ' '

1 3 OC ? a, 在图④中作 2 4

C ' D ' ? A' B '于D,则C ' D ' ?

2 ' ' 6 OC ? a. 2 8

∴ S?A' B'C ' ?

1 ' ' ' ' 1 6 6 2 6 2 AB ? D ? ?a? C a? a . 面积为: a 2 2 8 16 16
' ' '

【点评】 (1)三视图 ? 确定几何体结构 ? 画直观图(2)根据规则求出Δ A B C 的高即可。 【变式】 为 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 的面积

,那么△ABC 的面积为_________。

【答案】设正△ABC 的边长是 2 ,则

,解得



类型四、空间几何体的表面积与体积
例 6 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.

【答案】4 【解析】由三视图可知,此几何体的上面是正四棱柱,其长,宽,高分别是 2,1,1,此几何 体的下面是长方体,其长,宽,高分别是 2,1,1,因此该几何体的体积 V=2× 1+2× 1= 1× 1× 4(m3). 举一反三: 【变式】如图是某个圆锥的三视图,请根据正视图中所标尺寸,则俯视图中圆的面积为 __________,圆锥母线长为______.

【答案】圆半径

,面积

,圆锥母线



例 7 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是

【答案】12π 【解析】由三视图可知,该几何体是由一个球和圆柱组合而成的几何体,球的直径为 2,圆 柱的底面直径为 2,高为 3,则

S球 ? 4? R 2 ? 4? ,S圆柱 ? 2? rh ? 2? r 2 ? 2? ? 1 ? 3 ? 2? ? 8? , ∴几何体的表面积为 S=4
π +8π =12π 。 【点评】三视图 ? 直观图(圆柱与球的组合体) ? 圆柱的底面半径、高及球半径 ? 代入 公式求解 举一反三: 【变式】如图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形, 根据图中尺寸(单 位: ),可知这个几何体的表面积是 ( )

A. 【答案】C;

B.

C.

D.

【解析】由三视图知道立体图形是一个倒放的底面为正三角形的三棱柱

. 例 8 一个正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 15 ,求这个三棱锥的体积。 【解析】如图所示,正三棱锥 S-ABC。设 H 为正三角形 ABC 的中心,连接 SH,则 SH 的长即 为该正三棱锥的高。连接 AH 并延长交 BC 于 E,则 E 为 BC 的中点,且 AH⊥BC。 ∵Δ ABC 是边长为 6 的正三角形,∴AE=

3 2 ? 6 ? 3 3 ,AH= AE= 2 3 。在Δ ABC 中, 2 3

1 1 BC ?AE ? ? 6 ? 3 3 ? 9 3.在Rt ?SHA中, SA ? 15, AH ? 2 3, 2 2 1 1 SH ? SA2 ? AH 2 ? 15 ? 13 ? 3,?V正三棱锥 ? S ?ABC ?SH ? ? 9 3 ? 3 ? 9 3 3 S?ABC ?
【点评】 本题为求棱锥的体积问题。 已知底面边长和侧棱长, 可先求出三棱锥的底面积和高, 再根据体积公式求出其体积。 注:求锥体的体积,要选择适当的底面和高,然后应用公式 V ? 常用方法为:割补法和等积变换法: (1)割补法:求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求 出锥体和柱体的体积,从而得出几何体的体积; (2)等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。①求体积时,可选择 容易计算的方式来计算;②利用“等积性”可求“点到面的距离” 。 举一反三: 【变式 1】 如图, 在四边形 ,求四边形 绕 中, , , , ,

1 Sh 进行计算即可。 3

旋转一周所成几何体的表面积及体积

【答案】



.

【变式 2】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.

【答案】38 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方 体的长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表 面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为 2(3 ? 4 ? 4 ?1 ? 3 ?1) ? 2? ?1 ?1 ?2 ? ? 38 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算 求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然 后再根据几何体的形状计算出表面积.


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