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2014广州一模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】


2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)
参考公式: 1 ? 2 ? 3 ?
2 2 2

? n2 ?

n ? n ? 1?? 2n ? 1? n ? N* ? . ? 6

一、选择题: 1.函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? 的定义域为( A. ? ??, ?

1? B. ? ??,1?
2

) C. ? ?1, ?? ? ) D. 2 D. ?1, ?? ?

2.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为( A. ?2 B. ?2 C. ? 2

3.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2 sin C
2 2

c 为( b

) D. 2 cos C

B. 2 cos B

C. 2 sin B )
2 2

4.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为( A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 ) C.1 D.2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

5.已知 x ? ?1 ,则函数 y ? x ? A. ? 1

1 的最小值为( x ?1
) y

B.0

x 6.函数 f ? x ? ? 2 的图象大致是( x ?1
y O A x

y x O C x

y O D ) x

O B

7.已知非空集合 M 和 N ,规定 M ? N ? x x ? M 且x ? N ,那么 M ? ? M ? N ? 等于( A. M

?

?

N

B. M

N

C. M ) D. )

D. N

8.任取实数 a , b ? ??1,1? ,则 a , b 满足 a ? 2b ? 2 的概率为( A.

1 8

B.

1 4

C.

3 4

7 8

9.设 a , b 是两个非零向量,则使 a b = a b 成立的一个必要非充分条件是( A. a ? b B. a

b

C. a ? b

D. a ? ? b

? ? ? 0?


10.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? sin

? n ? 1? ? ,记
2

Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S2014 ? (
D.1009

A.1006 B.1007 C.1008 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
1

(一)必做题(11~13 题) 11.执行如图 1 的程序框图,若输入 k =3 ,则输出 S 的值为 . 12.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 2 所示,则这个四棱锥的体积是



开始 输入k

5

n=0,S=0 n<k ?
是 否

2

2

1

1

正(主)视图

侧(左)视图

n=n+1 S=S+2n
1

输出S 结束
4

图2

俯视图

13.由空间向量 a ? ?1, 2,3? ,b ? ?1, ?1,1? 构成的向量集合 A ? x x ? a ? kb, k ? Z ,则向量 x 的模 x 的最小 值为 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 直线 ? ?sin ? ? cos? ? ? a 与曲线 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 相交于 A ,

?

?

B 两点,若 AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为

C . D O P E B

15. (几何证明选讲选做题)如图3, PC 是圆 O 的切线,切点为 C ,直线 PA 与圆 O 交于 A , B 两点, ?APC 的平分线分别交弦 CA , CB 于 D , E

A 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 图 3 16. (本小题满分12分)已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过保质期. (1)从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,求抽到没过保质期的饮料的概率; (2)从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,求抽到已过保质期的饮料的概率.

PE 两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 ,则 的值为 PD



2

17. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0? . (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ?x ? 的最小正周期与单调递增区间.

? π ? 3

? ?

18. (本小题满分14分) 如图4, 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 点 E 是棱 D1D 的中点, 点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F ? 2FB . (1)求证: EF ? AC (2)在棱 C1C 上确定一点 G ,使 A , E , G , F 四点共面, 1 1; 并求此时 C1G 的长; (3)求几何体 ABFED 的体积.

D1 A1
E

C1 B1
C

D

F
A
图4

B

3

19. (本小题满分14分) 已知等差数列 ?an ? 的首项为10,公差为2,数列 ?bn ? 满足 bn ?

n an ? 6n , n ? N* . 2

(1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? max ?an, bn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . (注: max ?a, b? 表示 a 与 b 的最大值. )

20. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 6x ? 9x ? 3 .
3 2

(1)求函数 f ? x ? 的极值; (2)定义:若函数 h ? x ? 在区间 ? s, t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s, t ? ,则称区间 ? s, t ? 为 函数 h ? x ? 的“域同区间”.试问函数 f ? x ? 在 ?3, ??? 上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域 同区间”;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分14分)已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左,右焦点分别为 F1 , F2 ,离 a2 4

心率为

3 5 a2 ,点 P 是直线 x ? 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 QF2 ? 0 . 3 5

(1)求实数 a 的值; ( 2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3) 若点 P 的纵坐标为 1 , 过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M ,N , 在线段 MN 上取异于点 M ,

N 的点 H ,满足

PM MH ,证明点 H 恒在一条定直线上. ? PN HN

4

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:CABAC ABDBC 二、填空题:11. 7 12. 4 13.

13

14. ?1 或 ?5

15.

2 3 4 2 ? . 6 3

16.解:记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶,抽到没过保质期的饮料”为事件 A ,从6瓶饮料中中任意抽取1瓶,共有6 种不同的抽法.因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期,所以事件 A 包含4种情形.则 P ? A ? ? 所以从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,抽到没过保质期的饮料的概率为

2 . 3

(2)解法 1:记“从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料”为事件 B , 随机抽取 2 瓶饮料,抽到的饮料分别记为 x , y ,则 ( x, y ) 表示第一瓶抽到的是 x ,第二瓶抽到的是 y ,则 ( x, y ) 是一个基本事件.由于是随机抽取,所以抽取到的任何基本事件的概率相等.不妨设没过保质期的饮料为 1,2, 3,4, 已过保质期的饮料为 a , b ,则从 6 瓶饮料中依次随机抽取 2 瓶的基本事件有:

?1, 2? ,?1,3? ,?1, 4? ,?1, a ? ,?1, b ? ,? 2,1? ,? 2,3? ,? 2, 4 ? ,? 2, a? ,? 2, b ? ,?3,1? ,? 3, 2? ,? 3, 4? ,? 3, a ? ,

? 3, b ? ,? 4,1? ,? 4, 2 ? ,? 4,3? ,? 4, a? ,? 4, b ? ,? a,1? ,? a,2? ,? a,3? ,? a,4? ,? a, b ? ,? b,1? ,? b, 2 ? ,? b,3? ,
? b, 4 ? ,? b, a ? .共 30 种基本事件.由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料,所以事件
B 包含的基本事件有:?1, a ? ,?1, b ? ,? 2, a ? ,? 2, b ? ,? 3, a ? ,? 3, b ? ,? 4, a ? ,? 4, b ? ,? a,1? ,? a,2? ,? a,3? ,

? a,4? , ? a, b ? , ? b,1? , ? b, 2 ? , ? b,3? , ? b, 4 ? , ? b, a ? .共 18 种基本事件.则 P( B) ? 30 ? 5 .
所以从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料的概率为

18

3

3 . 5

解法 2:记“从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料”为事件 B ,随机抽取 2 瓶饮料,抽到的饮料分 别记为 x , y ,则 ( x, y ) 是一个基本事件.由于是随机抽取,所以抽取到的任何基本事件的概率相等.不妨设没 过保质期的饮料为 1, 2, 3, 4, 已过保质期的饮料为 a ,b , 则从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶的基本事件有:?1, 2 ? ,

?1,3? ,?1, 4? ,?1, a ? ,?1, b ? ,? 2,3? ,? 2, 4 ? ,? 2, a? ,? 2, b ? ,? 3, 4? ,? 3, a ? ,? 3, b ? ,? 4, a? ,? 4, b ? ,? a, b ? .共
15 种基本事件.由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料,所以事件 B 包含的基本事件 有:?1, a ? ,?1, b ? ,? 2, a ? ,? 2, b ? ,? 3, a ? ,? 3, b ? ,? 4, a ? ,? 4, b ? ,? a, b ? . 共 9 种基本事件. 则 P( B) ? 所以从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料的概率为

9 3 ? . 15 5

3 . 5

17.解: (1)因为函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0 ? ,所以 f ? ?

? π ? 3

? ?

? ?? ? ? 0. ? 3?

即 sin ? ?

3 a ? π? ? π? ? ? 0 .解得 a ? 3 . ? ? a cos ? ? ? ? 0 .即 ? 2 2 ? 3? ? 3?

5

(2) 由 (1) 得,f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ?

?1 ? 3 ? ?? π? ? ? sin x ? cos x ? 2 ? sin x cos ? cos x sin ? ? 2sin ? x ? ? . ? ?2 ? 2 3? 3 3? ? ? ? ?

所以函数 f ?x ? 的最小正周期为 2 ? .因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k ? ? 所以当 2kπ ?

? ?

? ?? , 2 k ? ? ? ? k ? Z? , 2 2?

5π π π π π ? x ? 2kπ ? ? k ? Z? 时,函 ? x ? ? 2kπ ? ? k ? Z? 时,函数 f ?x ? 单调递增,即 2kπ ? 6 6 2 3 2

数 f ?x ? 单调递增.所以函数 f ?x ? 的单调递增区间为 ? 2kπ ?

? ?

5π π? , 2kπ ? ? ? k ? Z? . 6 6?

18. (1)证明:连结 B1D1 , BD ,因为四边形 A1B1C1D1 是正方形,所以 AC 1 1 ?B 1D 1. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, DD1 ? 平面 A1B1C1D1 , A1C1 ? 平面 A1B1C1D1 , 所以 AC 1 1 ? DD 1 .因为 B 1D 1

D1
E

C1 B1
F
B

A1

DD1 ? D1 , B1D1 , DD1 ? 平面 BB1D1D ,
A

D

C

所以 A1C1 ? 平面 BB1D1D .因为 EF ? 平面 BB1D1D ,所以 EF ? AC 1 1. (2)解:取 C1C 的中点 H ,连结 BH ,则 BH 过点 F 作 FG 因为 CH ?

AE .在平面 BB1C1C 中,

D1
E

BH ,则 FG

AE .连结 EG ,则 A , E , G , F 四点共面. A 1

C1 G B1
F
B H

1 1 1 1 C1C ? a , HG ? BF ? C1C ? a ,所以 D 2 2 3 3 1 1 C1G ? C1C ? CH ? HG ? a .故当 C1G ? a 时, A , E , G , F 四点共面. A 6 6 (3)解:因为四边形 EFBD 是直角梯形,所以几何体 ABFED 为四棱锥 A ? EFBD .

C

因为 S EFBD

1 ? ?1 a ? a ? ? 2a ? ? BF ? DE ? BD ? ? 3 2 ? 5 2 2 1 2 ? ? a ,点 A 到平面 EFBD 的距离为 h ? AC ? a, 2 2 12 2 2
5 1 1 5 2 2 2 5 SEFBD h ? ? a ? a ? a3 .故几何体 ABFED 的体积为 a 3 . 36 3 3 12 2 36

所以 VA? EFBD ?

19.解: (1)因为等差数列 ?an ? 的首项为10,公差为2,所以 an ? 10 ? ? n ?1? ? 2 ,即 an ? 2n ? 8 . 所以 bn ?

n an ? 6n ? n2 ? 2n . 2

2 2 (2)由(1)知 bn ? an ? n ? 2n ? ? 2n ? 8 ? ? n ? 4n ? 8 ? ? n ? 2 3 ? 2 ? ? n ? 2 ? 2 3 ? ,

?

?

?

?

?? ? ?

??

因为 5 ? 2 ? 2 3 ? 6 , 所以当 n ? 5 时, 当 n ? 5 时, 所以 cn ? max ?an , bn ? ? ? an ? bn , bn ? an .

? 2n ? 8,

n ? 5,

2 ? n ? 2n, n ? 5.

当 n ? 5 时, Sn ? c1 ? c2 ? c3 ?

? cn ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? 10 ?12 ?14 ?

? ? 2n ? 8? ?

10 ? ? 2n ? 8 ? ? n ? n2 ? 9n . 2

6

当 n ? 5 时, Sn ? c1 ? c2 ? c3 ?

? cn ? ? a1 ? a2 ?

? a5 ? ? ?b6 ? b7 ?

? bn ?

2 2 2 ? ? 52 ? 9 ? 5? ? ? ?? 6 ? 2 ? 6 ? ? ? 7 ? 2 ? 7 ? ? ? 8 ? 2 ? 8 ? ?

? ? n2 ? 2 ? n ?? ?

? ? 6 ? n ?? n ? 5? ? 2 2 2 2 ? ? 70 ? ? 12 ? 22 ? 32 ? ? n2 ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 2 ? 70 ? ? 6 ? 7 ? 8 ? ? n ? 2 6 ? 7 ? 8 ? ? n ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?

?

? ?

?

? n ? n ? 1?? 2n ? 1? ? 1 1 5 ? 70 ? ? ? 55 ? ? 6 ? n ?? n ? 5?? ? n3 ? n 2 ? n ? 45 .综上可知,Sn 2 6 6 ? ? 3

?n2 ? 9n, ? ? ?1 3 1 2 5 ? n ? n ? n ? 45, 2 6 ?3

n ? 5, n ? 5.

20.解: (1)因为 f ? x ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 ,所以 f ? ? x ? ? 3x2 ?12x ? 9 ? 3? x ?1?? x ? 3? . 令 f '( x) ? 0 ,可得 x ? 1 或 x ? 3 .则 f '( x), f ( x) 在 R 上的变化情况为:

x
f ? ? x?

? ??,1?
+ 增函数

1 0 1

?1,3?
- 减函数

3 0

? 3, ?? ?
+

f ? x?

?3

增函数

所以当 x ? 1 时,函数 f ? x ? 有极大值为 1,当 x ? 3 时,函数 f ? x ? 有极小值为 ?3 . (2) 假设函数 f ? x ? 在 ?3, ??? 上存在“域同区间” ? s, t ? ? 3 ? s ? t ? , 由 (1) 知函数 f ? x ? 在 ?3, ??? 上单调递增. 所
3 2 ? ? s ? 6 s ? 9 s ? 3 ? s, ? f ? s ? ? s, ? 3 2 以? 即? 3 也就是方程 x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? x 有两个大于 3 的相异实根.设 2 ? ?t ? 6t ? 9t ? 3 ? t. ? f ? t ? ? t. ? 2 3 ? 3, g ( x) ? x3 ? 6x2 ? 8x ? 3 ? x ? 3? ,则 g?( x) ? 3x2 ?12x ? 8 .令 g? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 2 ? 3 2 x2 ? 2 ? 3 ? 3 .当 3 ? x ? x2 时, g? ? x ? ? 0 ,当 x ? x2 时, g? ? x ? ? 0 ,所以函数 g ? x ? 在区间 ? 3, x2 ? 上单 3

调递减, 在区间 ? x2 , ??? 上单调递增. 因为 g ?3? ? ? 6 ? 0 ,g ? x2 ? ? g ? 3? ? 0 ,g ? 5? ? 12 ? 0 , 所以函数 g ( x) 在区间 ?3, ??? 上只有一个零点. 这与方程 x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? x 有两个大于 3 的相异实根相矛盾, 所以假设不成
3 2

立.所以函数 f ( x) 在 ?3, ??? 上不存在“域同区间”.

?c 3 5 , ? ? 21. (1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,由题意可得 ? a 解得 a ? 5 . 5 ?c 2 ? a 2 ? 4. ?
(2)证明:由(1)可知,直线 x ?

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ?3,0? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?

PF2 QF2 ? 0 ,

x2 y2 4 4 ? 5 ? ? ? 3 ? , ?t ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 .? ty0 ? ? x0 ? 3? . 点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,? 0 ? 0 ? 1,即 y0 2 ? ? x02 ? 5? . 3 5 5 4 ? 3 ?
7

? k PQ ? kOQ

4 2 4 x0 ? 5? ? ? x0 ? 3? ? y ? t y0 y ? ty0 4 4 3 ? 0 ? ? ?5 ? .? 直线 PQ 与直线 OQ 斜率之积是定值 . 5 5 5 5 2 5 x0 ? x0 x0 ? x0 x0 2 ? x0 3 3 3
2 0

(3) 证法 1: 设点 H ? x, y ? , 且过点 P ?

?5 ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? ,N ? x2 , y2 ? , ?3 ?

由(2)知 y1 ?
2

? PM MH 4 2 4 ? PM ? ? PN , x1 ? 5 ? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5 ? .设 .即 ? ? ? ,则 ? ? 5 5 PN HN MH ? ? HN . ? ?
① ② 由① × ③ ,② × ④ 得 ③ ④

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ?? 5 5 ? ? ? ? ?? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1? , ? 3 3 ? ? ? 整理,得 ? y1 ? ? y2 ? 1 ? ? , ?? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x , y ? y ? . ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , 1 1 2 2 ? ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? .
5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x , ? ? y12 ? ? 2 y2 2 ? ?1 ? ? 2 ? y. ?
⑤ ⑥
将 y1 ?
2

4 2 4 x1 ? 5 ? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5 ? 代入⑥ ,得 ? 5 5

4 4 x 2 ? ? 2 x22 y? ? 1 ?4. ⑦ ,将⑤ 代入⑦ ,得 y ? x ? 4 .所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上. 2 3 5 1? ?

? 5? ? y ?1 ? k ? x ? ? , ? 5? 3? ? ? ? 证法 2:依题意,直线 l 的斜率 k 存在.设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,由 ? 2 2 3? ? ? x ? y ? 1. ? ?5 4
2 2 2 2 消去 y 得 9 4 ? 5k x ? 30 5k ? 3k x ? 25 5k ? 6k ? 9 ? 0 .因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点

?

?

?

?

?

?

? ? 2 2 2 2 ? ? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0, ① ? 30 ? 5k 2 ? 3k ? 设点 H ? x, y ? ,由 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则有 ? x ? x ? , ? 1 2 2 ② 9 ? 5k ? 4 ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? . ? x1 x2 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ? ? ③

PM

150 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? 30 ? 3x ? 5? ? 5k 2 ? 3k ? ? ? 10 x ? 0 .整理得 ?3x ? 5? k ? 4x ?15 ? 0 . ④ ,因为点 H 在直线 9 ? 5k 2 ? 4 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?

5 3 ? x ? x1 .整理得 6x x ? ?3x ? 5?? x ? x ? ?10x ? 0 .将②③代入上式得 ,得 ? 1 2 1 2 5 x2 ? x1 PN HN x2 ? 3

MH

x1 ?

5? ? l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? ? .⑤ ,联立④ ⑤ 消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 .所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上. 3? ?
8


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