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河南省扶沟县高级中学2015届高三数学下学期押题考试试题 理


2015 年高考模拟卷数学(理)试题
注意事项: 1.本试题分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 1 卷 l 至 2 贞,第Ⅱ卷: 至 4 页. 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡卜-完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡.一并交回. 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小

题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. x-3 2 1. 若全集 U=R,集合 A={x|x >4},B={x| <0},则 A∩(CUB)等于( x+1 A. {x|x<-2} B. {x|x<-2 或 x≥3} C. {x| x≥3}
x+y



D. {x|-2≤x<3} )

2.已知 x,y∈R,i 为虚数单位,且(x-1)i+y=2+i,则(1+i) 的值为( A .4 B.-4
2

C .4+4i
2

D.2i

? s i n x ? 2 s i n x c o s x ? 3 c o s x 3.把函数 fx 的图象沿 x 轴向左平移 m(m ? 0) 个单位,所 ? ?
得函数 g ? x ? 的图象关于直线 x ? A.

?
4

B.

?
3

? 对称,则 m 的最小值为( 8 ? C. D. 2



开始 输入 x

4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=3,则输出 y 的值为( A.5 B.9 C.17 D.33



y=2x-1 1 |x-y|>8 是 输出 y 结束 否

x=y

5.在长为 8 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,临边分别等于 AC、 BC 的长,则该矩形面积大于 15 的概率( A. )

1 2 4 C. D. 4 3 5 6.以下命题中:① p ? q 为真命题,则 p 与 q 均为真命题;
B. ②

1 6

?

?

2 0

x ? 1 sin2 d x ? ? ;③ (a ? b ? c)9 的展开式, a 4 b 3 c 2 项的系数为 1260; 2 4 2
3

x ? ? xxx ?,1 , xx ,3 ? R ? ? 0 , xx ? ? 0 , xx ? ? 0 ④ 已 知 函 数 f , 且 xx , 则 ?? 2 1 2 2 3 3 1
-1-

f( x ) ? f( x ) ? f( x )的 值 恒 为 负 ; ⑤ “ a ? 1 ” 是 “ 直 线 l a x ? 2 y ? 1 ? 0与 直 线 1 2 3 1:
”平行的充分条件。其中真命题的个数为( l : x ? ( a ? 1 ) y ?? 40 2 A.5 B.4 C.3 D.2 )

7.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一 行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( A.48 种 B.72 种 C.78 种 D.84 种 )

8.设 F 1 , F 2 是双曲线

2 2 x y ? ? 1 (a?0 ,b?0 )的左右焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使得 2 2 a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( O P ? O F ) ? P F ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 ) 2 P F 3 P F 2 2 1? 2 ,则双曲线的离心率为(

A.

3 2

B.

13 2

C.

D. 2 1 3

?3x ? 4 y ? 10 ? 0 ? 2 2 9.已知不等式组 ? x ? 4 表示区域 D ,过区域 D 中任意一点 P 作圆 x ? y ? 1的两 ?y ? 3 ?
条切线且切点分别为 A , B ,当 ?APB 最大时, c ( o s ? P A B ? )

A.

3 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

s i n 2 x 10.若函数 y 1? 1?
值为( A. ) B.

3 2 2 ( x ,? ),函数 y2 ? x2 ? 3 ,则 ( x ? x ) ? ( y ? y ) 的最小 ?0 ? 1? 1 2 1 2 2

2? 12

(? ? 1 8 ) 2 72
3 2
2

C.

(? ? 1 8 ) 2 12
?

D.

(? ? 3 3 ? 15)2 72

?, a ? a a ? 1 ( n ? N ) ? 11.数列 ? a n ? 满足 a ,则 m 1 n ? 1 n? n
是 A.0 B.1 C.2 D.3

1 1 1 ? ? ? ? 的整数部分 a a a 1 2 2 0 0 9

12.已知 f ( x ) 为偶函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? m( x ? 2 ? 1)(m ? 0) ,若函数 y ? f [ f ( x)] 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围为

-2-

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(1,+∞)

D.

? 3, ?? ?

第Ⅱ卷(非选择题 满分 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 1 8 2 13.(1+2x )(x- ) 的展开式中常数项是________(用数字作答); x 14.已知四面体 ABCD 的顶点都在球 O 球面上,且球心 O 在 BC 上,平面 ADC ? 平面 BDC,A D=A C=BD, ? DAC=90 ,若四面体 ABCD 的体积为
?

4 ,则球 O 的体积为 ________. 3
?

15.已知圆 O 的半径为 1,点 A、B、C 是圆 O 上的动点,满足 ?AOB 等于 120 ,

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 ,则 m ? n 的取值范围是 O C ? m O A ? n O B ( m , n ? R )
16、若函数 f

? x ? 的定义域为 D 内的某个区间 I 上是增函数,且 F ? x? ?
x

f ? x? 在 I 上也是增 x

e?? xl n x ? 1 函数,则称 y ? f ? x ? 是 I 上的 “完美函数” ,已知 gx ,若函数 g ? x ? 是区 ???
间[

m ,则整数 m 的最小值为 , ? ? ) 上的“完美函数” 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

、 b 、 c,且满足 17. (本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a

?? ? ?? ? cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos A cos A ? ? ? ? ? ? ?6 ? ?6 ?
(1)求角 B的值; (2)若 b ? 3 ,求 a ? 18. (本小题满分 12 分) 根据河南省期初教育工作会议精神,我省所有中小 学全部取消晚自习,某校高二年级共有学生 1000 名, 其中走读生 750 名,住宿生 250 名,现从该年级采用 分层抽样的方法从该年级抽取 n 名学生进行问卷调 查.根据问卷取得了这 n 名同学每天晚上有效学习时 间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组
1/200 1/300 1/600 1/750 1/3000

1 c 的取值范围. 2
频率/组距
1/100

时间(分钟)
0 30 60 90 120 150 180 210 240

O ?A D ① (1) 在? , O 为 A D 中点, 所以 P , 又侧面 P PAD中, P A ? P D A D?底面 ABCD ,

A D?平面 A B C D ? A D 平面 P , PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD .
C ?A D 又在直角梯形 ABCD 中, 连结 O C , 易得 O , 所以以 O 为坐标原点, 直线 O C 为
-3-

x 轴,直线 O D 为 y 轴,直线 O P 为 z 轴建立空间直角坐标系,则
P( 0,, 0 1) , A 0 0) , D( 0, 1, 0) (0 ,, ? 1 0), B (1 ,, ? 1 0), C(1,,
∴P ,易证 OA ? 平面 P O C , B ? ( 1 , ? 1 , ? 1 )

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P B ? O A 3 ? ? ? ? ? ? ? ?? . ∴O 是平面 P O C 的法向量, c o s ? P B , O A ? ? A ? ( 0 , ? 1 , 0 ) |P B || ?O A | 3
∴直线 P B 与平面 P O C 所成角的余弦值为 (2) P ,C D ? ( 0 , 1 , ? 1 ) P ? ( ? 1 , 0 , 1 ) 设平面 P D C 的一个法向量为

6 3

.

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? , ? ? ( xyz , , )

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? P ??x?z ?0 ? ?? C 则 ?? ,取 z ? 1 ,得 ? . ? ( 1 , 1 , 1 ) ? ?? ? ? ? D? y?z ?0 ? ? ?? P ? ? ? ?? ? ? |B P? ?| 3 ? ? ? ? . ∴ B 点到平面 P C D 的距离 d ? 3 | ?|
(3)存在.设 P ( 0?? ?1), Q ? ? P D ∵ P ,∴ P , D ? ( 0 , 1 , ? 1 ) Q ? ( 0 , , ? ) ? O Q ? O P ∴O ,∴ Q (0 , ? , 1 ? ? ). Q ? ( 0 , , 1 ? ) 设平面 C A Q 的一个法向量为 m , ? ( xyz , , )

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

??

? ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? m ?A C ? x ? y ? 0 ? 则? ,取 z ? ? ?1,得 m . ? ( 1 ? , ?? 1 , 1 ) ? ? ?? ? ? ? ? m ? A Q ? ( ? ? 1 ) y ? ( 1 ? ? ) z ? 0 ? ? ? ? ? 又平面 C A D 的一个法向量为 n , ? ( 001 , , )

? ??

? ? ?? ? ? ? ?? ? |m ? n | 6 ? ? ? ? ?? , c o s ? m , n ? |? ?A C?D ∵二面角 Q 的余弦值为 ,∴ | 3 |m |? |n | 3

6

?? 1 0 ? ? 3 ? 0 得3 ,解得 ? ?
2

1 或(舍), 3
6 3
,且

∴存在点 Q ,使得二面角 Q 的余弦值为 ?A C?D

PQ 1 ? . QD 2

-4-

20.(1)设 E 、 G 的公共焦点为 F ( c , 0 ) ,由题意得

c 1 ? ( ?3)
2

?

10 c 2 5 , ? a 5 5

故c ? 2 ,a ? ∴椭圆 E :

5 , b ? 1 .(2 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,抛物线 G : y 2 ? 8 x .(4 分) 5

(2)存在.设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D ( x4 , y4 ) .

? x2 ? y2 ? 1 ? 直线 l 的方程为 y ?k(x?2 ),与椭圆 E 的方程联立得 ? 5 ? y ? k (x ? 2) ?
化简得 ( , 1 ? 5 k ) x ? 2 0 k x ? 2 0 k ? 5 ? 0
22 2 2 4 2 2 2 . ? ? 4 0 0 k ? 2 0 ( 1 ? 5 kk ) ( 4 ? 1 ) ? 2 0 ( k ? 1 ) ? 0

20k 2 20k 2 ? 5 , x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1? 5k 2 1? 5k 2

(6 分)

2 2 5 ( k ? 1 ) 2 2 | A B | ? ( 1 ? k ) ? [ ( xx ? ) ? 4 x x ] ? 1 2 1 2 2 1 ? 5 k

(7 分).

? y2 ? 8x 直线 l 的方程为 y ?k(x?2 )与抛物线 G 的方程联立得 ? ? y ? k (x ? 2)
化简得 k , x3 ? x4 ? x ? ( 4 k ? 8 ) x ? 4 k? 0
22 2 2

4k 2 ? 8 k2

(9 分)

2 8 ( k ? 1 ) |C D |? x ? x ? 4 ? . (11 分) 3 4 2 k

2 2 2 1 ? 1 ? 5 k ? k ( 2 0 ? 5 ? ) k ? 4 , ? ? ? ? 2 2 2 | A B | | C D | 2 ( k ? 1 ) 8 5 ( k ? 1 )8 5 ( k ? 1 )

要使

16 5 1 ? ? ? 4,得 ? ? ? ? 为常数,则 20? 5 , 5 | AB | | CD | 16 5 1 ? ? ,使 为常数. (12 分) 5 | AB | | CD |

故存在 ? ? ?

?(x )? ? 1? 21.(1) g

1 x

1 ?x ( x ? 0 ). (1 分) x
-5-

令 g?(x) ? 0 ,解得 0 ? x ?1;令 g?(x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

(2 分)

∴函数 g ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 内单调递增,在 (1, ? ? ) 上单调递减. (3 分) ∴ g ( x ) 的极大值为 g(1) ? ?2 (4 分)

(2)由(1)知在 (1, ? ? ) 上单调递减, 令,则在 (1, ? ? ) 上单调递减.

1 11 , (5 分) ? ( 1 ) ? g ( 1 ) ? g () ? 2 ? l n?? 10 ? 2 22 1 1 1 3 ? ?e?1,则 ? 取x . ( e ) ??? g ( e ) g ( ) l n e ? (1 e ? ) ? l n ? ? 1 ? ? e ? l n 2 ? ? 0 2 2 2 2 1 故存在 x0 ?(1, e ) ,使 ?( x0 ) ? 0 ,即存在 x (1 , ??),使 g ( x0 ) ? g ( ) .(7 分) 0? 2
(说明: x ? 的取法不唯一, 只要满足, 且 ?(x?) ? 0 即可) (3)设 F ( x ? 0 ), () x? h () x? f () x? x? e l n x
2 e x ? e( x ?ex ) ( ?e ) ? 则, F () x ??? x ? x x x

12 2

当 0 ? x ? e 时, F?(x) ? 0 , 函数单调递减; 当x ? ∴x ?

e 时, F?(x) ? 0 ,函数 F ( x ) 单调递增. e 是函数 F ( x ) 的极小值点,也是最小值点,即 Fx () F (e )? 0 . m i n?

1 e 处有公共点 ( e , e ) . (9 分) 2 1 设与 h ( x ) 存在“分界线”且其方程为 y? e ?k(x? e) , 2 1 (x )?k x? e?k e, 令函数 u 2 1 2 1 x? e?k e在 x ? R 上恒成立, ①由 h (x) ?u(x),得 x ?k 2 2
∴函数与 h ( x ) 的图象在 x ?

2 k x ?? e2 ke ? 0 即 x? 在 x ? R 上恒成立,
2

∴? ,即 4(k ? e) ?0, ? 4 k?? 4 (e ? 2 ke ) ? 0
2 2

1 e ,故 u(x) ? ex ? e . (11 分) 2 1 (x),即 eln x ? ex ? e( x ? 0 )恒成立. ②下面说明: f (x) ?u 2
∴k ?

-6-

?(x 设 vx ,则 v ( )? e l nx? e x? e )? ? e?

1 2

e x

e? e x . x

∵当 0 ? x ? e 时, v?( x) ? 0 ,函数 v ( x ) 单调递增, 当x ? ∴当 x ?

e 时, v?( x) ? 0 ,函数 v ( x ) 单调递减, e 时, v ( x ) 取得最大值, vx . ( )? vx () 0 m a x?
1 2

∴ eln x ? ex ? e( x ? 0 )恒成立. 综合 ① ② 知 h(x) ? ex ? e , 且 f (x) ? ex ? e , 故 函 数与 h ( x ) 存在 “分 界 线” , 且k ?

1 2

1 2

e,
1 e . (12 分 ) 2

k ? ?

四、选答解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,考生只选一个作答,如果多做,则按所做的 第一题计分,共 10 分). (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (1)解:∵A,B,C,D 四点共圆 ∴∠EDC=∠EBF EC ED CD ∴ = = EA EB BA (2)∵EF =FA·FB ∴△FAE∽△FEB
2

F A D ∴△ECD∽△EAB CD 6 ∴ = ???????5 分 BA 6 又∵∠EFA=∠BFE E C

又∵∠DEC=∠AEC EC 1 ED 1 又∵ = , = EB 3 EA 2 EF FB ∴ = FA EF

B

∴∠FEA=∠EBF

又∵A,B,C,D 四点共圆 ∴∠EDC=∠EBF ∴∠FEA=∠EDC ∴EF∥CD?????????????????????10 分

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。

:?c o s 2 ? ? 1 ? 0 解:由已知曲线 C
2 2 2

( c o s ? ? s i n ? ) ? 10 ? 得?
2 2 2

1?0,?????2 分 所以直角坐标方程为 x ?y ?
又点 N 的直角坐标为 ( 0 , 2 ) , ?????3 分

P ? O M ? O N (, ) ,Mx (1 ,y ),由 O x y ) ? ( xy ,1 ) ? ( 0 , 2 ) 设 Pxy 得 (, 1 1

? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?

-7-

所以 ?

x1 ? x ?????4 分 ? y1 ? y ? 2 ?
得 x? ( y ? 2 )? 1 ? 0
2 2 2 2

2 2 代 入 x y 1 ? 0 1? 1?

所以曲线 Q 的直角坐标方程为 x ? ?????5 分 ( y ? 2 )? 1 ? 0

(2)把直线 l :?

2?t ? ? x?? 化为 (t为 参 数 ) y ? 2 ? 3 t ? ?
2

1 ? x ? ? 2+ t / ? 2 ? ?????6 分 (t / 为 参 数 ) ? 3 / ? y ? 2+ t ? ? 2

2 和曲线 x ? 联立得 ( y ? 2 )? 1 ? 0 ( t/) ? 4 t/ ? 1 0 ? 0 ?????8 分

2

/ / / /2 // ?????10 分 A Bt ??? ( t ? t ) ? 4 t t ? 2 1 4 1 t 2 1 2 1 2

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲

? 3 ? 解: (1) f(x ) ?? ?2 x?1 ? ?3 ?

(x?? 1 ) (? 1?x?2 ),------------------3 分 (x?2 )

又当 ? ∴? ------------5 分 3 ?f( x )? 3 1 ? x ? 2 时, ? 3 ? ? 2 x ? 1 ? 3 ∴若使 f(x)≤a 恒成立,应有 a≥fmax(x),即 a≥3 ∴a 的取值范围是:[3,+∞)
2 (2)当 x?? ; ? 2 x ? 3 ? ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 1时, x 2 当? 时, x ; ? 2 x ? ? 2 x ? 1 ? ? 1 ? x ? 1 ? ? 1 ? x ? 1 1 ? x ? 2

2 当 x ? 2时, x ;-------------------------8 分 ? 2 x ? ? 3 ? x ? ?

?.-------------------------10 分 ?1 ,1 综合上述,不等式的解集为: ?

-8-


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