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2014高三数学一轮复习:5.1数列的概念与简单表示法


[备考方向要明了] 考 什 么 1.了解数列的概念 怎么考 数列的概念在高考试题中常与其他

和几种简单的表 知识综合进行考查,主要有:
示方法(列表、图 象、通项公式). (1)以考查通项公式为主,同时考 查S n 与a n 的关系,如2012年高考T6

2.了解数列是自变 等. 量为正整数的一 (2)以递推关系为载体,考查

数列

类函数.

的各项的求法,如2010年高考T19等.

[归纳

知识整合]

1.数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列,数列中的 每一个数叫做这个数列的 项 .排在第一位的数称为这个 数列的第1项(通常也叫做 首项 ).

2.数列的分类

分类原则
项数

类型
有穷数列 无穷数列 递增数列 项数 有限 项数 无限

满足条件

an+1 > an an+1 < an an+1=an

项与项 间的大小 关系

递减数列 常数列 摆动数列

其中

n∈N*

从第2项起有些项大于它的前一项,

有些项小于它的前一项

3.数列的表示法
数列的表示方法有列表法、图象法、公式法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. [探究] 有通项公式?
提示:不唯一,如数列-1,1,-1,1,?的通项公式可以为 an=(-1) 或
n

1.数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都

?-1,n为奇数, ? an=? ?1,n为偶数. ?

有的数列没有通项公式.

5.数列的递推公式 若一个数列{an}的首项a1确定,其余各项用an与an-1 的关系式表示(如an=2an-1+1,n>1),则这个关系式就 称为数列的递推公式. [探究] 2.通项公式和递推公式有何异同点? 提示:

不同点
通项公式法 可根据某项的序号,直接用 代入法求出该项 可根据第1项或前几项的值,通 递推公式法 过一次或多次赋值,逐项求出数 列的项,直至求出所需的项

相同点

都可确定一 个数列,都 可求出数列 的任何一项

[自测 牛刀小试]
1.(教材习题改编)已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0,?, 则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是____.
①an=1+(-1)
n+1



nπ ②an=2sin ; 2
?2,n为奇数, ? ④a=? ?0,n为偶数. ?

③an=1-cos nπ;

nπ π 3π 解析: an=2sin , a1=2sin =2,2=2sin π=0,3=2sin 若 则 a a 2 2 2 =-2,a4=2sin 2π=0.

答案:②

2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3是数列 {an}中的第________项. 解析:令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6, 故3是数列{an}中的第2项或第6项. 答案:2或6

3. (教材习题改编)在数列{an}中, 1=1, n=1+ a a (n≥2), an-1 则 a5=______.

1

3 5 8 解析:由题意知,a1=1,a2=2,a3= ,a4= ,a5= . 2 3 5 8 答案: 5

4.(教材改编题)已知数列 2, 5,2 2,?,根据数列的 规律,2 5应该是该数列的第________项.
解析:由于 2=3×1-1,5=3×2-1,8=3×3-1,? 故可知该数列的通项公式为 an= 3n-1 由 2 5= 3n-1,得 n=7.

答案:7

5.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则 此数列的通项公式为an=________;数列{nan}中数值 最小的项是第________项.
解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(n2-10n)-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11; ∵当 n=1 时,a1=S1=-9 也满足 ax=2n-11∴an=2n -11. ? 2 11 ? ?? 11?2 121? 2 ? ∴nan=2n -11n=2?n - 2 n?=2??n- 4 ? - 16 ? ? ? ?? ? ? 11?2 121 =2?n- 4 ? - . 8 ? ? 又∵n∈N*,∴当 n=3 时,nan 取最小值. 答案:2n-11 3

已知数列的前几项求通项公式
[例 1] 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式:

(1)4,6,8,10,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,?. 2 4 8 16 32 64

[自主解答] 2(n+1)(n∈N*).

(1)各数都是偶数,且最小为 4,所以通项 an=

(2)注意到分母分别是 21,22,23,24,25,?,而分子比分母少 1, 2n-1 所以其通项 an= n (n∈N*). 2 (3)分母规律明显,而第 2,3,4 项的绝对值的分子比分母少 3, 2-3 21-3 因此可考虑把第 1 项变为- ,这样原数列可化为- 1 , 2 2 22-3 23-3 24-3 25-3 26-3 ,- 3 , 4 ,- 5 , 6 ,? 22 2 2 2 2 2n-3 所以其通项 an=(-1)n n (n∈N*). 2

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用观察法求数列的通项公式的技巧
用观察归纳法求数列的通项公式,关键是找出各项 的共同规律及项与项数n的关系.当项与项之间的关系 不明显时,可采用适当变形或分解,以凸显规律,便于 归纳.当各项是分数时,可分别考虑分子、分母的变化 规律及联系,正负相间出现时,可用(-1)n或(-1)n+1调 节.
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1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下 列各数: 2 4 6 8 10 (1) , , , , ,?; 3 15 35 63 99 1 9 17 33 (2)-1, ,- , ,- ,?; 3 35 63 99 (3)9,99,999,9 999,?.

解:(1)分子是连续的偶数, 且第 1 个数是 2, 所以用 2n 表示; 分母是 22 -1,42 -1,62 -1,82 -1,102 -1,所以用(2n)2 -1 表 2n 2n 示.所以 an= = 2 (n∈N*). ?2n?2-1 4n -1 (2)正负交替出现,且奇数项为负,偶数项为正,所以用(-1)n 表示; 1, ? 1 , 3 ? 9 , 35 ? 9 , 5×7 17 , 63 ? 17 , 7×9 33 ,? 99 ? 33 ,? 9×11

3 5 , , 1×3 3×5

分母是连续奇数相乘的形式,观察和项数 n 的关系,用(2n- 1)(2n+1)表示; 分子是 21+1,22+1,23+1,24+1,用 2n+1 表示.所以 2n+1 2n+1 an=(-1)n· =(-1)n· 2 (n∈N*). ?2n-1??2n+1? 4n -1 (3) 9, ? 101-1, 99, ? 102-1, 999, ? 103-1, 9999,? ? 104-1,?

所以 an=10n-1(n∈N*).

由an与Sn的关系求通项公式 [例2] 通项公式an. [自主解答] 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-1,求它的

-1)=2·n-1;当n=1时,a1=S1=2也满足an=2·n-1. 3 3 故数列{an}的通项公式为an=2·n-1. 3

若将“Sn=3n-1”改为“Sn=n2-n+1”,如何求解?
解:∵a1=S1=12-1+1=1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-[(n-1)2-(n-1)+1] =2n-2.
?1?n=1?, ? ∴an=? ?2n-2?n≥2?. ?

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已知 Sn 求 an 时应注意的问题 数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an =
?S ,n=1, ? 1 ? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

当 n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1

的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.

2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1,且 6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.求数列{an}的通项公式. 1 解:由 a1=S1= (a1+1)(a1+2), 6 解得 a1=1 或 a1=2.由已知 a1=S1>1,因此 a1=2. 又由 an+1=Sn+1-Sn 1 1 = (an+1+1)(an+1+2)- (an+1)(an+2), 6 6 得 an+1-an-3=0 或 an+1=-an. 因为 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去. 因此 an+1-an-3=0,即 an+1-an=3, 从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故{an}的通项公式 为 an=3n-1.

由递推关系式求数列的通项公式
[例 3] 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.

(1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= n an-1(n≥2); (3)a1=2,an+1=an+3n+2.

[自主解答]

(1)∵an+1=3an+2,

an+1+1 ∴an+1+1=3(an+1),即 =3. an+1 ∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3. 又 a1+1=2,∴an+1=2·n-1. 3 ∴an=2·n-1-1. 3 n-1 (2)∵an= n an-1(n≥2), n-2 1 ∴an-1= a ,?,a2= a1. 2 n-1 n-2

以上(n-1)个式子相乘得 n-1 a1 1 12 an=a1··· n = n =n. ?· 23 (3)∵an+1-an=3n+2, ∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1= n?3n+1? (n≥2). 2 1 当 n=1 时,a1= ×(3×1+1)=2 符合公式, 2 3 2 n ∴an= n + . 2 2

由递推公式求通项公式的常用方法

已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用
累加、累乘、构造法求解. 当出现an = an-1+m时,构造等差数列;当出现 an=xan-1+y时,构造等比数列;当出现an=an-1+f(n) an 时,用累加法求解;当出现 a =f(n)时,用累乘法 n-1 求解.

3.(2012· 大纲全国卷)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 n+2 Sn= a. 3 n (1)求 a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式. 4 解:(1)由 S2= a2 得 3(a1+a2)=4a2,解得 a2=3a1=3; 3
5 3 由 S3= a3 得 3(a1+a2+a3)=5a3,解得 a3= (a1+a2)=6. 3 2

(2)由题设知 a1=1. n+2 n+1 当 n>1 时有 an=Sn-Sn-1= a- a , 3 n 3 n-1 n+1 整理得 an= a . n-1 n-1 3 4 于是 a1=1,a2= a1,a3= a2,? 1 2 n+1 n an-1= a ,an= a , n-2 n-2 n-1 n-1 n?n+1? 将以上 n 个等式两端分别相乘,整理得 an= . 2 n?n+1? 综上可知,数列{an}的通项公式 an= . 2

数列函数性质的应用 [例4] 已知数列{an}.

(1)若an=n2-5n+4,
①数列中有多少项是负数? ②n为何值时,an有最小值?并求出最小值. (2)若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>an成 立.求实数k的取值范围.

[自主解答]

(1)①由n2-5n+4<0,解得1<n<4.

∵n∈N*,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数,即为a2,a3.

②∵an=n

2

? 5 ?2 9 -5n+4=?n-2? - 的对称轴方程为 4 ? ?

5 n= . 2

又 n∈N*,∴n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2. (2)由 an+1>an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公 式 an=n2+kn+4,可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n k 3 ∈N*,所以- < ,即得 k>-3. 2 2

以上(n-1)个式子相乘得 1 2 n-1 a1 1 an=a1··· n = n =n. ?· 23 (3)∵an+1-an=3n+2, ∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1= n?3n+1? (n≥2). 2 1 当 n=1 时,a1= ×(3×1+1)=2 符合公式, 2 3 2 n ∴an= n + . 2 2

—————

函数思想在数列中的应用

————————————

(1)数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用
函数的知识,函数的思想方法来解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数 列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列 的单调性来解决,判断单调性时常用:①作差;②
——————————————————————————

作商;③结合函数图象等方法.

? ?2?n? 4. 若 数 列 ?n?n+4??3? ? 中 的 最 大 项 是 第 ? ? ? ?

k 项, 则 k=

________.
解析:法一:由题意知,
?2? ?2? - ? k k?k+4??3? ≥?k-1??k+3??3?k 1, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k?k+4??2?k≥?k+1??k+5??2?k+1, ? ?3? ?3?

解得 10≤k≤1+ 10. ∵k∈N*,∴k=4.

法二:设

?2? an=n(n+4)?3?n,则 ? ?

?2? + ?2? n 1 an+1-an=(n+1)(n+5)?3? -n(n+4)?3?n ? ? ? ? ?2? ?2 ? ?2? 10-n2 =?3?n?3?n+1??n+5?-n?n+4??=?3?n . 3 ? ? ? ? ? ?

当 n≤3 时,an+1-an>0,即 an+1>an, 当 n≥4 时,an+1-an<0,即 an+1<an. 故 a1<a2<a3<a4,且 a4>a5>a6>?, 所以数列中最大项是第 4 项.

答案:4

? 1 个关系——数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数 集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的 一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意函 数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. ? 3 类问题——数列通项公式的求法及最大(小)项问题
(1)由递推关系求数列的通项公式常用的方法有: ①求出数列的前几项,再归纳出数列的一个通项公式; ②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列, 或用叠加法、累乘法、迭代法.

(2)由 Sn 与 an 的递推关系求 an 的常用思路有: ①利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为 an 的递推关系, 再求其通项 公式; ②转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 的关系,再求 an. (3) 数 列 {an} 的 最 大 ( 小 ) 项 的 求 法 : 可 以 利 用 不 等 式 组
?an-1≤an, ? ? ?an≥an+1, ? ?an-1≥an, ? 找到数列的最大项;利用不等式组? ?an≤an+1, ?

找到

数列的最小项.

创新交汇——数列与函数的交汇问题

1.数列的概念常与函数、方程、解析几何、不等
式等相结合命题.

2.正确理解、掌握函数的性质(如单调性、周期性
等)是解决此类问题的关键.

[典例]

(2012· 上海高考)已知 f(x)=

1 .各项均为正数的 1+x a20+a11

数列{an}满足 a1=1,an+2=f(an).若 a2 的值是________.

010=a2 012,则

[解析]

1 1 ∵an+2= ,又 a2 010=a2 012= , 1+an 1+a2 010

2 ∴a2 010+a2 010=1.

5-1 又 an>0,∴a2 010= . 2 5-1 1 又 a2 010= = , 2 1+a2 008

5-1 5-1 ∴a2 008= ,同理可得 a2006=?=a20= . 2 2 1 1 2 1 3 又 a1=1,∴a3= ,a5= = ,a = = , 2 1+a3 3 7 1+a5 5 1 5 1 8 a9= = ,a11= = . 1+a7 8 1+a9 13 5-1 8 13 5+3 ∴a20+a11= + = . 2 13 26

[答案]

13 5+3 26

[名师点评]

1.本题具有以下创新点 1 (1)数列{an}的递推关系式, 以函数 f(x)= 为载体间接给出; 1+x (2)给出的递推关系式不是相邻两项, an 与 an-1(n≥2)之间的 即 关系,而是给出 an 与 an+2 之间的关系式,即奇数项与奇数项、偶 数项与偶数项之间的递推关系. 2.解决本题的关键有以下两点
(1)正确求出数列{an}的递推关系式; 1 (2)正确利用递推公式 an+2= ,分别从首项 a1 推出 a11 和从 1+an a2 010 推出 a20.

[变式训练]

an 1.已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 n 的最小 值为________.

解析:由已知条件可知:当n≥2时,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =33+2+4+…+2(n-1)

=n2-n+33,又n=1时,a1=33适合,
故an=n2-n+33.

an 33 又 n =n+ n -1, 33 令 f(n)=n+ n -1,f(n)在[1,5]上为减函数, 53 21 f(n)在[6,+∞)上为增函数,又 f(5)= ,f(6)= , 5 2 an 21 所以 f(5)>f(6).故 f(n)= n 的最小值为 . 2

2. 已知函数

?2x-1?x≤0?, ? f(x)=? ?f?x-1?+1?x>0?, ?

把函数 g(x)=f(x)-x

的零点按从小到大的顺序排成一个数列,则该数列的通 项公式为下列中的______(填序号). n?n-1? ①an= (n∈N*); ②an=n(n-1)(n∈N*); 2 ③an=n-1(n∈N*); ④an=2n-2(n∈N*).

?2x-1?x≤0?, ? - ?2x 1?0<x≤1?, 解析:据已知函数关系式可得 f(x)=? x-2 ?2 +1?1<x≤2?, ??, ? 此时易知函数 g(x)=f(x)-x 的前几个零点依次为 0,1,2, ?, 代入验证只有③符合.

答案:③

1.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,?; (1)0.8,0.88,0.888,?; 3 7 9 (3)2,1,10,17,?; (4)0,1,0,1,?.

解:(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n

+1

表示,其各项

的绝对值的排列规律为: 后面的数的绝对值总比前面数 的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). 8 8 8 (2)将数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001), ? 9 9 9 1 ? 8? 故 an= ?1-10n?. 9? ?

3 5 7 9 (3)将数列统一为 , , , ,?,对于分子 3,5,7,9,?, 2 5 10 17 是序号的 2 倍加 1,可得分子的通项公式为 bn=2n+1,对于 分母 2,5,10,17,?,联想到数列 1,4,9,16,?,即数列{n2}, 可得分母的通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 故可得它的一个通项公式为 an= 2 . n +1
?0 ? (4)an=? ?1 ?

?n为奇数?, 或 ?n为偶数?

1+?-1?n 1+cos nπ an= 或 an= . 2 2

2.已知数列{an}的通项公式

?10?n an=(n+1)?11? (n∈N*),试问数 ? ?

列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最小项的项数;
?10? + ?10? ?10? n 1 n n 9-n 解: n+1-an=(n+2)?11 ? -(n+1)?11 ? =?11 ? · ∵a 11 ? ? ? ? ? ?

若没有,说明理由.



当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an; 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>? 1010 ∴数列中有最大项, 最大项为第 9、 项, a9=a10= 9 . 10 即 11

3.设数列{an}的前 n 项和为 =3x-2 的图象上.

? Sn? Sn,点?n, n ?(n∈N*)均在函数 ? ?

y

(1)求数列{an}的通项公式; 3 m (2)设 bn= , 是数列{bn}的前 n 项和, T 求使得 Tn<20 anan+1 n 对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m. Sn 解:(1)依题意得, n =3n-2,即 Sn=3n2-2n.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5. 所以 an=6n-5(n∈N*).

(2) 由 (1) 得

3 3 1 bn = = = 2 anan+1 ?6n-5?[6?n+1?-5] Tn= ?bi
i=1 n

? 1 1 ? ? ? - ?6n-5 6n+1?,故 ? ?

? 1 1 ?? 1?? 1? ?1 1 ? ?? ? = ? 1-7?+?7-13?+?+?6n-5-6n+1?? ?? 2?? ? ? ? ? ?? 1 ? 1? ? = ?1-6n+1?. ? 2? ? 1 ? m 1? 1 ? ? * 1- 因此,使得 ? 6n+1?< (n∈N )成立的 m 必须且仅需满足 2? 2 ? 20 m ≤ ,即 m≥10,故满足要求的最小正整数 m 为 10. 20

4.(2012· 浙江高考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn= 2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*. (1)求an,bn; (2)求数列{an·n}的前n项和Tn. b 解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,易知当n=1时也满足通式an =4n-1, 所以an=4n-1,n∈N*. 由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*. (2)由(1)知an·n=(4n-1)·n-1,n∈N*, b 2 所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·n-1, 2 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·n-1+(4n-1)·n, 2 2 2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5. 故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.


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