当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

第七讲--函数迭代与函数方程


第七讲 函数迭代与函数方程
对于函数 f ( x) ,令

f (1) ( x) ? f ( x) , f (2) ( x) ? f ( f (1) ( x)) ,…, f ( n) ( x) ? f ( f ( n?1) ( x)) ,
其中 n ? 2 ,且 n ? N * . 我们将 f ( n) ( x) 称为函数 f ( x) 的

n 次迭代,将含有未知函数的等式称为函数 方程.函数迭代与函数方程是数学竞赛中的一类重要题型. 引例 分别就下面给出的 f ( x) 求 n 次迭代 f ( n) ( x) .

(1) f ( x) ? x ? c ,这里 c 为常数; (2) f ( x) ? ax ? b ,这里 a , b 为常数,且 a ? 1 ; (3) f ( x) ?
x ,这里 a 为常数; 1 ? ax

(4) f ( x) ? xm ,这里 m 为给定的正整数; (5) f ( x) ? ax2 ? b ,这里 a , b 为正实数,且 a ? 1 ; (6) f ( x) ? (7) f ( x) ?
x2 ; 2x ?1

x
k

1 ? ax k

,这里 k 为给定的正整数;

(8) f ( x) ? 2 x2 ?1 , ?1 ? x ? 1 ; (9) f ( x) ? 4 x(1 ? x) , 0 ? x ? 1 . 求函数迭代的两种常用方法: ①不动点法. 它在处理函数迭代问题时经常用到,请对比递推数列中的不动 点法; ②桥函数法.若存在一个函数 ? ( x) 以及它的反函数 ? ?1 ( x) ,使得

f ( x) ? ? ?1 ( g (? ( x))) ,
我们就称 f ( x) 通过 ? ( x) 和 g ( x) 相似,简称 f ( x) 和 g ( x) 相似,其中 ? ( x) 称为桥 函数. 用数学归纳法可以证明 f ( n) ( x) ? ? ?1 ( g ( n) (? ( x))) .
1

1.已知 f ( x) 为一次函数,且 f ( 2007 ) ( x) ? 22007 x ? 3(22007 ?1) ,求 f ( x) .

2.设函数 f : R ? R ,满足 f (0) ? 1 ,且 ?x, y ? R ,都有
f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,

求 f ( x) .

3.设集合 A ? B ? {1, 2,3} ,映射 f : A ? B ,且满足 f (3) ( x) ? f ( x) ,问满足题意 的映射 f 有几个?

?n ? 3(n ? 1000) 4.函数 f (n) 定义在整数集上,满足 f (n) ? ? ,求 f (84) . ? f ( f (n ? 5))(n ? 1000)
5.已知函数 f ( x) 是 N ? N 的映射,满足: ①对任意非负整数 n ,有 f (n ? 1) ? f (n) ; ② ?m, n ? N ,有 f (n ? f (m)) ? f (n) ? m ? 1 .
). 求 f (2001

6.已知 f ( x) 是 Q ? Q 的函数, f (1) ? 2 , f ( xy) ? f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? 1 ,求
f ( x)(x ? Q) .

7.求所有函数 f : N ? ? N ? ,使得 ?n ? N ? ,有
f ( f ( f (n))) ? f ( f (n)) ? f (n) ? 3n .

2

1. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) ( x? 1) 满 足 f ( x) ? 2 f (
f ( 2 0 0 4. )

x ? 2002 ) ? 4015 ? x , 求 x ?1

2.设函数 f : R ? R ,且对任意的实数 x 都有

f ( x2 ? x) ? 2 f ( x2 ? 3x ? 2) ? 9x2 ?15x ,
求 f (50) . 3. 设函数 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上严格单调递增,且对所有的 x ? 0 ,均有
1 1 f [ f ( x) ? ] ? ,试求 f (1) 的值. x f ( x)

4. 已知函数 f ( x) 的定义域为 {x x ? 0且x ? 1} ,且对定义域内的所有 x 都有
x ?1 2 f ( x )? f ( )? x ? 1 ,试求 f ( x) . x

5. 设对满足 x ? 1 的所有实数 x ,函数 f ( x) 满足 f (
f ( x) .

x ?3 3? x )? f ( ) ? x ,求 x ?1 1? x

6.设函数 f 是定义在正整数集 N * 到 N * 上的增函数,且有 f ( f (n)) ? n . (1) 求 f (1) 和 f (2015) ; (2)猜想 f (n) 的表达式,并试着给予证明. 7.设函数 f 是定义在正整数集 N * 到 N * 上的增函数,且有 f ( f (n)) ? n ? 4 ,
f (1) ? 3 ,求 f (2015) .

8.设函数 f : N? ? N? ,且严格递增, f [ f (n)] ? 3n ,求 f (1) ? f (9) ? f (36) .

9.试求出所有函数 f : R ? R ,使得 ?x, y ? R ,都有

f ( x 2 ? y 2 ) ? xf ( x) ? yf ( y) .

3


相关文章:
第七讲--函数迭代与函数方程
第七讲--函数迭代与函数方程_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛讲义第七讲 函数迭代与函数方程对于函数 f ( x) ,令 f (1) ( x) ? f ( x) ,...
[第4讲] 函数迭代和函数方程(上)
[第4讲] 函数迭代和函数方程(上)_理学_高等教育_教育专区。2 函数迭代与函数方程 1.函数迭代 ⑴ 函数迭代的定义 设 f : D ? D? (其中 D ? ? D )是...
函数迭代与方程
函数迭代与方程Ⅰ迭代法先看一个有趣的问题:李政道...第 二只猴子起来后,像第一只猴子一样,先吃掉一个...本讲从五个角度来讨论了求解函数方程的方法, 在...
高二竞赛讲义 函数迭代与函数方程 4
高二竞赛讲义 函数迭代与函数方程 4_学科竞赛_高中教育_教育专区。高二数学竞赛班一试讲义 第4讲 一、知识要点: 1.函数迭代:对于函数 f ( x ) , 函数迭代与...
函数方程和函数迭代问题
第四讲 函数方程和函数迭代问题在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变, 结构变化无穷, 大 致可分为如下三类:⑴探求函数的解析...
第三讲 函数的方程与迭代
第三讲 函数的方程迭代 1、函数迭代 定义和符号 设 f(x)是定义在集合 M 上并在 M 上取值的函数,归纳地定义函数迭代如下: f(1)(x)=f(x) (x∈M) f...
实验班讲座第四讲 函数迭代和函数方程
第四讲 函数迭代和函数方程 n+2,n≤2007 ,则当 n≤2007 时,n-f(n)= f(f(n-4),n>2007 ) 1.已知定义在整数集上的函数 f(n)= ,当 2007<n≤2009...
第8讲_函数方程与函数迭代_福州一中__龚梅勇
第8讲_函数方程与函数迭代_福州一中__龚梅勇_数学_自然科学_专业资料。2011 年协作体夏令营系列讲座(八) 例 2.设 ab ? 0, a2 ? b2 ,求 af ( x) ? ...
函数迭代和函数方程
第8讲 函数方程与函数迭代... 7页 5财富值 函数方程和函数迭代问题(奥......函数迭代和函数方程函数迭代和函数方程隐藏>> 2.5 函数迭代和函数方程一,基本知识...
函数迭代和函数方程(数学竞赛讲稿)
函数迭代和函数方程(数学竞赛讲稿)_学科竞赛_高中教育_教育专区。精品资料第一讲 一、基本知识简述 1. 函数迭代 设 f 是 D ? D 的函数,对任意 x ? D ,记...
更多相关标签:
函数迭代与函数方程 | 解线性方程组的迭代法 | 牛顿迭代法求方程的根 | 迭代法解方程 | matlab迭代法解方程 | 迭代法求方程的根 | 牛顿迭代法解方程 | 迭代法求解线性方程组 |