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奥狐杯竞赛三角函数第三讲


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奥狐杯竞赛三角函数第三讲:三角恒等变换之三倍角公式等
一、温故知新 1.积化和差、和差化积公式检测 2.具体运用 例 1:在 ?ABC 中,求 sin A ? sin B ? sin C 的最大值。 方法一:和差化积公式 方法二:琴生不等式(又称 jesen 不等式)

二、新知识 1.三倍角公式

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin ? 60? ? ? ? sin ? 60? ? ? ? cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos ? 60? ? ? ? cos ? 60 ? ? ?

tan 3? ?

3tan ? ? tan 3 ? ? tan ? tan ? 60? ? ? ? tan ? 60? ? ? ? 1 ? 3tan 2 ?

2.万能公式

tan ? ?

2 tan 1 ? tan

?
2?

2

, sin ? ?

2 tan

?
2?

2

, cos ? ?

1 ? tan 2 1 ? tan

?
2 2
? ), 2

1 ? tan 2 2 注意:1?上述三个公式统称为万能公式。

2?

2?这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切即: f (tan 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明,可以使解题过程简洁; 3?上述公式左右两边定义域发生了变化,由左向右定义域缩小;
3.点鞭炮公式

sin 2n?1? cos ? cos 2? cos 4? ??? cos 2 ? ? n 2 sin ?
n

思考:该如何证明?如何解题?
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4.等差角正余弦求和

n ? n ?1 ? cos ? ? ? ? ? sin ? 2 ? 2 ? cos ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? 2? ? ? ??? ? cos ?? ? n? ? ? ? sin 2 n ? n ?1 ? sin ? ? ? ? ? sin ? 2 ? 2 ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? 2? ? ? ??? ? ?? ? n? ? ? ? sin 2
提示:分子分母同时乘以“差角一半”的正弦值,在利用积化和差公式便可抵消。 经典例题: 例 1:用三倍角公式求 sin 18 的值。 (还记得几何法怎么求的吗?)
?

例 2.对于任意的 ? ,求 32 cos ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ? 15cos 2? 的值
6

例 3.已知

2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3cos 2? + 4sin 2? 的值 sin ? ? 3 cos ?

4 x x 例 4.已知 sinx = ,且 x 是锐角,求 sin ? cos 的值 5 2 2

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例 5.求值 sin 6? sin 42 ? sin 66 ? sin 78 ?

例 6.求 cos 20 ? cos 60 ? cos100 ? cos140 的值

?

?

?

?

例 7.求 cos

2 4 6 ? ? cos ? ? cos ? 7 7 7

例 8.求证:在 ?ABC 中, sin

A B C 1 sin sin ? 2 2 2 8

例 9.求值: sin 130 ? sin 70 cos80
2

?

?

?

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作业:
3 3 1.若 sin ? ? cos ? ? 0 ,那么 sin ? ? cos ? 的取值范围为

2.设 ? , ? ? ?? 围是

? ? ?? ,且满足 sin ? cos? ? sin ? cos? ? 1 ,则 sin ? ? sin ? 的去组织范 , ? 2 2? ?

3. A, B, C 为 ?ABC 的内角,且 ?ABC 不为直角三角形。 (1)求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C (2)当 3 tan C ? 1 ?

cos

C?A 的值; 2

tan B ? tan C ,且 sin 2 A, sin 2B, sin 2C 的倒数成等差数列时,求 tan A

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