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5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 【杨高】


第五章 三角比

5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形

5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形

扩充的正弦定理 一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长
a sin A ? b sin B ? c sin C
? 2R
C

证: A ? ? D ? (

同弧所对圆周角相等)
? D BC ? 90
?

a
O
A B

D (半圆弧所对圆周角为直角) a a DC ? ? ? ? 2 R 证毕 ? sin A sin D sin 9 0

a 例1.在 ? A B C 中, cos A ? b cos B ,判断 ? A B C

的形状. 解:根据正弦定理得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B

代入条件并化简得 sin A cos A ? sin B cos B
即 sin 2 A ? sin 2 B
? 2 A , 2 B ? (0, ? ) ? 2 A ? 2 B 或者 2 A ? ? ? 2 B

得 A ? B或A? B ?

?
2

所以 ? A B C 为等腰三角形或直角三角形. 解毕

a 例1.在 ? A B C 中, cos A ? b cos B ,判断 ? A B C 的形状.

解法二:根据余弦定理得
co s A ? b ?c ?a
2 2 2

, co s B ?

a ?c ?b
2 2

2

2bc

2ac
2 2 2 2

代入条件并化简得
c ( a ? b ) ? ( a ? b )( a ? b )
2 2 2

解得 a ? b 或 c ? a ? b
2 2

2

所以 ? A B C 为等腰三角形或直角三角形. 解毕

例2.若锐角? A B C 的三边长分别是 a , a ? 1, a ? 2 , 试确定 a 的取值范围.
?a ? 0 解:由两边之和大于第三边,? ? a ? ( a ? 1) ? a ? 2

解得 a ? 1

由最大角为锐角,得
解得 a ? 3

a ? ( a ? 1) ? ( a ? 2 )
2 2

2

2 a ( a ? 1)

?0

综上,当 a ? 3 时,边长满足条件. 解毕

课堂练习 1.已知三角形边长为5,12,13 ,求外接圆半径R. 2.三角形满足a cos B ? b cos A ,判定其形状.

3.边长为连续正整数的钝角三角形,求钝角的度 数.(精确到 1 ) 4.在 ? A B C 中,求证:
a ? c co s B b ? c co s A ? sin B sin A
?

课堂练习答案 1.已知三角形边长为5,12,13 ,求外接圆半径R.

解:2 R ?

13 sin 9 0
?

得R ?

13 2

解毕

2.三角形满足a cos B ? b cos A ,判定其形状.
解: R sin A cos B ? 2 R sin B cos A 2

得 sin( A ? B ) ? 0
? A ? B ? ( ?? , ? )

? A?B ? 0

该三角形为等腰三角形. 解毕

课堂练习答案 3.边长为连续正整数的钝角三角形,求钝角的度

数.(精确到 1 ) 解:设边长为 a , a ? 1, a ? 2, a ? Z
a ? ( a ? 1) ? ( a ? 2 ) ?a ? 1 且 ?0 ? 2 a ( a ? 1) ? a ? ( a ? 1) ? a ? 2
2 2 2

?

?a ? 1 化简得 ? 且 ? 1 ? a ? 3 因此 a ? 2 ?a ? 1 1 最大角余弦值为 ? ,角度约为 1 0 4 ? 解毕 4

课堂练习答案 4.在 ? A B C 中,求证:
a ? c cos B b ? c cos A sin A 2 R sin A ? 2 R sin C co s B 2 R sin B ? 2 R sin C co s A
? sin ( B ? C ) ? sin C co s B sin ( A ? C ) ? sin C co s A

?

sin B

证:左边=
?

sin A ? sin C co s B sin B ? sin C co s A
co s C sin B co s C sin A

?

=右边

证毕


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