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高中数学人教版必修四一课一练:《3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式》2


3.1 两角和与差的正弦余弦正切公式
一、选择题: 1.Sin165? 等于 A. ( ) C.

1 2

B.

3 2

6? 2 4

D.

6? 2 4

2.Sin14? cos16? +sin76? cos74? 的

值是( A.



3 2

B.

1 2

C.

3 2

D.-

1 2

[来源:学优 GKSTK]

3.sin

?
12

- 3 cos

?
12

的值是. C.





A.0

B. — 2

2

D. 2 sin

5? 12
) D.等边三角形

4.△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 ) D.1

5.函数 y=sinx+cosx+2 的最小值是 ( A.2- 2 B.2+ 2 C.0

二、填空题.

1 ? tan 15 ? 6. =__________________________. 1 ? tan 15 ?
12 13

[来源:GKSTK.Com]

7.如果 cos ? = -

3 ? ? ? (? , ? ) ,那么 cos (? ? ) =________. 2 4

8.已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? =

1 7

cos (? ? ? ) = -

11 , 则 cos ? =_________. 14

9.tan20? +tan40? + 3 tan20? tan40? 的值是____________.

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10.函数 y=cosx+cos(x+

?
3

)的最大值是__________.

三、解答题. 11.若 ? , ? 是同一三角形的两个内角,cos ? = -

1 4 ,cos( ? ? ? ) =2 .求 cot ? 的值. 3 9

12.在△ABC 中,若 cosA=

3 5

,cosB=

12 , 试判断三角形的形状. 13

13.A、B、C 是一条直路上的三点,AB 与 BC 各等于 1 km.从三点分别遥望塔 M,在 A 处 见塔在东北方向,在 B 处见塔在正东方向,在 C 处见塔在南偏东 60° ,求塔与路的最短距离.

[来源:学优 gkstk]

14. 求 tan15° 、tan75° 的值.

15.求

sin 15? ? cos15? 的值. sin 15? ? cos15?

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参考答案
一、选择题: 1.D 2.B 3.B 4.C
[来源:GKSTK.Com]

5.A

二、填空题: 6:

3 3

7: ?

7 2 26

8:

1 2

9: 3

10: 3

三、解答题: 11、 解:∵ ? , ? 是同一三角形的两个内角 ∵cos( ? ? ? ) =∴ 0< ? ? ? < ?

4 2 9

∴sin( ? ? ? ) = 1 ? cos 2 (? ? ? ) =

7 9

∵cos ? = -

1 3

∴sin ? = 1 ? cos 2 ? =

2 2 3
1 3

∴sin ? = sin( ? ? ? ? ? ) =sin( ? ? ? ) cos ? - cos( ? ? ? ) sin ? = ∴cos ? = 1 ? sin

2

?=

2 2 3

∴tan ? =

2 sin ? = cos ? 4

∴cot ? = 2 2 12、解:∵在△ABC 中,若 cosA= sinA= 1 ? cos A =
2

4 5

3 12 >0 ,cosB= >0 5 13 5 2 sinB= 1 ? cos B = 13

∴A,B 为锐角

∵ cosC=cos[ ? -(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)= ? ∴

16 <0 65

?
2

< C <?

即 C 为钝角

∴△ABC 为钝角三角形. 13.解:如下图,设塔到路的距离 MD 为 x km,∠BMD=θ,

第3页 共4页

则∠CMD=θ+30° ,∠AMD=45° -θ ,AB=BD+DA=xtan (45° -θ )+xtanθ ,BC=CD -BD=xtan (30° +θ)-xtanθ.
[来源:学优 gkstk]

因为 AB=BC=1, 所以 xtan(45° -θ)+xtanθ=xtan(30° +θ)-xtanθ=1. 解得 x= 所以
1 1 . ? tan ? ? tan(45? ? ? ) tan(30? ? ? ) ? tan ?

1 1 ? , 1 ? tan ? tan 30? ? tan ? tan ? ? ? tan ? ? ? tan ? 1 ? tan 30? tan ?



1 ? tan ? 3 ? tan ? . ? 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 3 ?1 . 2

解得 tanθ= 所以 x=

1 ? tan ? 7?5 3 . ? 13 ? ? tan 2 ? 7?5 3 km. 13

因此塔到路的最短距离为

3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 . 14.解:tan15° =tan(45° -30° )= 6 3 3? 3 1? 3 1? 3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 . tan75° =tan(45° +30° )= 6 3 3? 3 1? 3 1?

15.解:此题是着重考查学生是否灵活掌握弦与切之间的相互转换原则,即化弦(切)为 切(弦) ,并且要注意到正切三角函数值里的一个特殊数字“1”,即 tan45° =1. 把原式分子、分母同除以 cos15° ,有
sin 15? ? cos15? tan 15? ? 1 = sin 15? ? cos15? tan 15? ? 1

=

tan 15? ? tan 45? tan 15? tan 45? ? 1

=tan(15° -45° ) =tan(-30° ) =-
3 . 3

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