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数学必修5复习导学案


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必修五 第一章 §5-1 正 余弦定理
【课前预习】阅读教材 P-完成下面填空 1、 正弦定理: 在 ???C 中,a 、b 、c 分别为角 ? 、

C ? 90? .
【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1、在△ABC 中,a=7,c=5

,则 sinA:sinC 的值是 ( ) A、

? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外接圆的半径,则
有 = = = = 2R

5 7

B、

7 5

C、
0

7 12
0

D、

5 12


2、正弦定理的变形公式: 错误! 未找到引用源。 a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? ,

2、 在△ABC 中, 已知 a=8, B=60 , C=75 , 则 b= ( A、 4 2 B、 4 3 C、 4 6 D、

c ? 2R sin C ;
错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 sin ? ? ,

32 3

sin ? ?
错 误

, sin C ? ! 未 找 到



3、在△ABC 中,已知 b=1,c=3,A=60 ,则 S△ABC= 。 4 、 在 △ ABC 中 , 已 知 a=6 , b=8 , C=60 , 则 c= 。
0

0

引 ;







a:b:c ?
错 误 ! 未 找 到









a?b?c a b c . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
3、三角形面积公式:

S ???C ?

=

=
2

强调(笔记) : , , . , 【课中 35 分钟】边听边练边落实

4、 余弦定理: 在 ???C 中, 有a ?

b2 ? c2 ?
5、余弦定理的推论: cos ? ?

5.在△ABC 中,若
a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________。

cos ? ?

, cos C ?



6、设 a 、b 、c 是 ???C 的角 ? 、? 、C 的对边, 则:错误!未找到引用源。若 a ? b ? c ,则
2 2 2

C ? 90? ;

6. 边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是
2 2 2

错误!未找到引用源。若 a ? b ? c ,则




0

A. 90

B. 120

0

C. 135

0

D. 150

0

C ? 90? ;
错误!未找到引用源。若 a ? b ? c ,则
2 2 2



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? ? 2.在 △ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 ,C ? 75 ,

则 BC ? ( 7.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________。 A. 3 ? 3 C. 2

) B. 2 D. 3 ? 3
?

3.在 △ABC 中, AB ? 1 ,BC ? 2,B ? 60 ,则 8.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

AC ?



4.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正 值的是( ) A. sin A B. cos A C. tan A D.

1 tan A

5. 在△ ABC 中, 若 b ? 2a sin B , 则 A 等于 ( A. 30 或60
0 0 0



B. 45 或60
0 0

0

0

C. 120 或60

D. 30 或150

0

6.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与 底边的夹角为 60 0 ,则底边长为(
【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 7、 在△ABC 中, 已知 a =b +c -bc, 则角 A 为 ( 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1.在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2: 3 ,则 a : b : c 等 于( ) A. 1: 2 : 3 B. 3: 2 :1 C. 1: 3 : 2 D. 2 : 3 :1
第 131 页
2 2 2



A. 2

B.

3 2

C. 3

D. 2 3



A、

? 6

B、

? 3

C、

2? 3

D、

? 2? 或 3 3

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3.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 300 ,C ? 1350 ,
互助小组长签名:

则a ?



必修五 第一章 §5-2 正 余弦定理 【课前预习】阅读教材完成下面填空 解三角形的四种类型 1.已知 A,B 及 a(“角边角”型) 利用正弦定理 2.已知三边 a,b,c(“边边边”型) 用余弦定理 。 3.已知两边 a,b 及夹角 C(边角边型) 余弦定理求 c,再用余弦定理求两角。 4. 已知两边 a,b 及一边对角(“边边角“型) (1) 当 (2) 当 (3) 当 (4) 当 时,有 时,有 时,有 时,有 解 解 解 解

4、在△ ABC 中,若 则△ ABC 是

a b c , ? ? cos A cos B cos C

【课中 35 分钟】边听边练边落实 5、在△ABC 中,已知 a=10,B= 600 ,C= 450 , 解三角形。

6.在△ABC 中,已知 a=2,b=5,c=4,求最大角 的正弦值。

【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 1.在△ABC 中,若 C ? 90 0 , a ? 6, B ? 30 0 ,则

7.已知 a=3 3 ,c=2,B=150°,求边 b 的长及 S△.

c ? b 等于(
A. 1 B. ? 1

) C. 2 3 D. ? 2 3

2.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于 ( ) A. 30 0 或60 0 C. 120 0 或60 0 B. 45 0 或60 0 D. 30 0 或150 0 8、在△ABC 中,已知 a=5,b=7,A= 300 ,解 三角形。



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a:b:c ?(
(A) 1 : 3 : 2 (C) 2 : 3 : 4 9.在△ABC 中,a ? 2R sin A ,b ? 2R sin B , 其中 R 是△ABC 外接圆的半径。 c ? 2R sinC , 求证: a cos B ? b cos A ? 2R sinC 。

) (B) 1 : 2 : 4 (D) 1 : 2 : 2

5 . 在 △ ABC 中 , 角 A, B 均 为 锐 角 , 且
cos A ? s in B, 则△ABC 的形状是(



A.直角三角形 C.钝角三角形 【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1.已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°, ∠B=120°,则△ABC 的面积为 ( ) A.9 B.18 C.9 3 D.18 3

B.锐角三角形 D.等腰三角形

6. 在△ABC 中,A : B : C ? 1: 2: 3 , 则 a:b:c 等 于( ) A. 1: 2 : 3 B. 3: 2 :1 C. 1: 3 : 2 D. 2 : 3 :1

7. 在△ABC 中, 若角 B 为钝角, 则 sin B ? sin A 的值( ) A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定

8.在 Rt △ABC 中, C ? 900 ,则 sin A sin B 的 最大值是_______________。 2.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 cosC 的值为(
2 3 2 3

) 9.在△ABC 中,若
1 4 1 4

A.

B.-

C.

D.-

(a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? (

)

A. 90 0 3.在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC =
9 ,则 BC= 10

B. 60 0

C. 135 0

D. 150 0



4.在△ABC 中,

若 A=30°,B=60°, 则
第 133 页

互助小组长签名:

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6.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积

必修五

第一章

等于( A. 12

) B.

§5-3 三角形的综合应用--面积问题 【课前预习】阅读教材 P-完成下面填空
1、 三角形面积公式: (1)

21 2

C. 28

D. 6 3

S ???C ?

= 【课中 35 分钟】边听边练边落实 7 、 在 ?ABC 中 , A ? 60?,b ? 16 , 面 积 (海伦公式)

=

=

(2) S ???C ?

S ? 220 3 ,求 a。

【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1.若 x,x+1,x+2 是钝角三角形的三边,则实数 x 的取值范围是( (A) 0<x<3 (C) 3<x<4 ). 8.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对 (B) 1<x<3 (D) 4<x<6 边.如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为

3 ,求 b。 2

2.在 ?ABC 中,已知 a、b 和锐角 A,要使三角形 有两解,则应满足的条件是( ) A a=bsinA B bsinA>a C bsinA<b<a D bsina<a<b 3. 在△ABC 中, 若 sin A ? sin B, 则 A 一定大于 B , 对吗?填_________(对或错) 4.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的 取值范围是_________。 9.在 △ABC 中, cos B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ABC 的面积 S△ ABC ?

5 4 , cos C ? . 13 5 33 ,求 BC 的长 2

5、在△ABC 中,已知 b=1,c=3,A=60 , 则 S△ABC= 。

0



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10.在△ABC 中,a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两 根,且 2cos(A+B)=-1. (1)求角 C 的度数; (2)求 c; (3)求△ABC 的面积.

S? ABC ? 3 , 求 b, c 。

4. ?ABC 中, a ? 5, b ? 4, cos( A ? B) ?

?ABC 的面积.
【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1. 若在△ABC 中,?A ? 60 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则
0

31 ,求 32

( 提示:在 ?ABC 中,作 ?DAC ? A ? B, , 设 CD=x,则 BD=BC-CD=5-x,)

a?b?c =_______。 sin A ? sin B ? sin C

2、在△ABC 中,BC=2,AC=2,C=1500,则△ABC 的面积为

互助小组长签名:

3.,在△ABC 中, A ? 120 , c ? b, a ?
0

21, ,

必修五 第一章 §5-4 生活中的解三角形



135



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【课前预习】阅读教材 P-完成下面填空 1,仰角和俯角: 2,方位角: 3,方向角: 4、解题步骤 (1) (3)

2 ? ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰 角为 4 ? ,求 ? 的大小和建筑物 AE 的高。

(2) (4)

【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1、某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米, 结果他离出发点恰好 3 千米, 那么 x 的值 为 (A) 5, 某人在 M 汽车站的北偏西 20 ? 的方向上的 A 处,
o

3

(B) 2 3

(C)

3 或 2 3 (D) 3

观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶。 公路的走向是 M 站的北偏东 40 ? 。开始时,汽 车到 A 的距离为 31 千米, 汽车前进 20 千米后, 到 A 的距离缩短了 10 千米。 问汽车还需行驶多 远,才能到达 M 汽车站?

2、已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 点距离都 0 是α km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 ,灯塔 B 0 在观察站 C 的南偏东 40 ,求灯塔 A 与 B 的距离。

【课中 35 分钟】边听边练边落实 3、飞机在空中沿水平方向飞行,在 A 处测得正前 0 下方地面目标 C 的俯角为 30 ,向前飞行 10000 米 0 到 B 处,测得正前下方地面目标 C 的俯角为 60 , 求飞机的高度。

4、 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? , 沿 BE 方向前进 30m, 至点 C 处测得顶端 A 的仰角为
第 136 页

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.

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2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1、某人向正东方向走了 4 千米后向右转了一定的 角度,然后沿新方向直走了 3 千米,此时离出发地 恰好为 37 千米,则此人右转的角度是 。

端的仰角是 60°, 从电线杆正西偏南 30°的 B 处 测得电线杆顶端的仰角是 45°, A, B 间距离为 35m, 则此电线杆的高度是______.

2、 某人在 C 点测得塔顶 A 在南偏西 80 , 仰角为 45 , 0 此人沿着南偏东 40 方向前进 10 米到 0 点, 测得塔 0 顶的仰角为 30 ,试求塔的高度。

0

0

3.从某电线杆的正东方向的 A 点处测得电线杆顶

互助小组长签名:



137



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必修 5 第一章《解三角形》测试卷
一、选择题(每题 5 分,共 60 分)
1. 在 ? ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有 2 个解的是 A . b=10,A= 45 ,C= 70 C .a=7,b=5,A=80 ?
??





?

?

B .a=60,c=48,B= 60 D .a=14,b=16,A= 45

?

?

2. 在 ? ABC 中, A ? 60 , a ? 4 3 , b ? 4 2 ,则 B 等于 A. 45 或135
? ?

( C. 45
?



B. 135

?

D. 以上答案都不对 ( D.以上答案都不对 ( ) )

3. 在 ? ABC 中, sin A : sin B : sin C = 2 : 6 : ( 3 + 1) ,则三角形的最小内角是 A. 60
?

B. 45

?

C. 30

?

? 4. 在 ? ABC 中,A = 60 ,b=1,面积为 3 ,求

a?b?c 的值为 sin A ? sin B ? sin C
C. 2 13 D.

A.

2 39 3

B.

13

39 3
( )

5. 在△ABC 中,三边长 AB=7,BC=5,AC=6,则 AB ? BC 的值为 A. 19 B. -14 C. -18 D. -19

6. A、B 是△ABC 的内角,且 cos A ?

3 5 , sin B ? ,则 sin C 的值为 5 13
C.





A.

63 15 或? 65 65
?

B.

63 65

16 63 或? 65 65

D.

16 65
( )

7. ? ABC 中,a=2,A= 30 ,C= 45 ,则 ? ABC 的面积为
?

A.

2

B. 2 2
2 A

C.

3 +1

D.

1 ( 3 + 1) 2
( )

8. 在 ?ABC 中, sin B ? sin C ? cos A. 等边三角形

2

,则 ?ABC 是 C. 等腰三角形

B. 直角三角形

D. 等腰直角三角形 ( )

9. 已知 ? ABC 中, AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 A. 0 ? C ?

?
6

B. 0 ? C ?
2

?
2
2 2

C.
2

?
6

?C?

?
2

D.

?
6

?C?


?
3


10. 在 ? ABC 中,若 2bc cos B cosC ? b sin C ? c sin B ,那么 ? ABC 是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形 ( D. )

11. 若以 2,3, x 为三边组成一个锐角三角形,则 x 的取值范围是 A. 1<x<5
第 138 页

B.

5< x<5

C. 1 < x < 13

5 < x < 13

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12. 在 ? ABC 中,三边 a,b,c 与面积 s 的关系式为 s ? A. 30
?

1 2 (a ? b 2 ? c 2 ), 则角 C 为 4
C. 60
?





B. 45

?

D.

90 ?

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 三角形两条边长分别为 3cm,5cm,其夹角的余弦是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则三角形面积为
2

14.在 ?ABC 中,若 A=60°,b=1,三角形的面积 S= 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径为_________ 15. ? ABC 中, (a+b+c) (b+c-a)=3bc,则角 A= 16. ? ABC 中, a(sin B ? sin C) ?c(sin A ? sin B) + b(sin C ? sin A) = 三.解答题(每题 10 分,共 20 分) 17.在 ?ABC 中,已知 2 sin B ? cosC ? sin A , A ? 120 , a ? 1 ,求 B 和 ?ABC 的面积.
?

18.不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且最大边 a 满足 a ? b ? c ,求角 A 的
2 2 2

取值范围。

一列数称为数列 . 数列中的每一个数都叫做数列 的 . 它的

必修五

第二章
(2)从函数角度看:数列可以看成以 为定义域的函数 an=f(n)当自变量从小到大依次取 值时所对应的一列 的 2.数列的表示 .

§5-5 数列的概念及前 N 项和 Sn 与 an 的关系
【课前预习】阅读教材 P-完成下面填空 1.数列的概念 (1)从定义角度看:按一定
第 139 页

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(1)列表法; (2)图象法:注意图象是,而不是曲线; (3) 通项公式: 若数列 {an} 的第 n 项与 之

(1)1,-1/2,1/3,-1/4; (2)2,0,2,0. 4. 在数列 1,1,2,3,5,8, x,21,34,55 中,x 等于 ( A.11 B.12 C.13 D.14

间的关系可以用一个式子表达,那么这个公式叫做 数列的通项公式. (4)递推公式:如果已知数列{an}的第一项 (或前几项)及相邻两项(或几项)间的关系可以 用一个 来表示,那么这个公式就叫做这个



【课中 35 分钟】边听边练边落实 5.观察下列等式:1 +2 =(1+2) ,1 +2 +3
2 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3

数列的递推公式. 3.数列的分类 (1)按数列项数的多少可以分为 和

= (1+2+3), 1 +2 +3 +4 =1+2+3+4), ?, 根据上述规律,第四个等式 为 .....

(2)按数列中相邻两项的大小可分为 , , , 。

6 . 以下四个数中,是数列 {n(n ? 1)} 中的一项的是 ( A.380 ) B.39 C.32 D.18

4.数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系 对任一数列有 an=

5.根据数列的通项公式判定数列的单调性 (1) 已知 an=f(n),若 f(x)的单调性可以确定, 则{an}的单调性可以确定; (2) 比较法: ①作差比较法 n∈N ,an+1-an>0 ?
*

7. 设数列为 2 , 5 ,2 2 , 11, ? 则 4 2 是该 数列的 A.第 9 项 C. 第 11 项 ( . ) B. 第 10 项 D. 第 12 项

{an}为递增数列;an+1-an=0 ? {an}为常数列; an+1-an<0 ? {an} 为递减数列.②对各项同号的数列, 可用作商比较法. 【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟回 答下列问题 8 .数列 1, ? 2, 为.

3, ? 4, 5 的一个通项公式


1.? 精确到1,10 ?1 ,10 ?2 ,10 ?3 ,10 ?4 ,10 ?5 ,10 ?6的不足近似值 和过剩近似值构成的数列。 2.写出下列数列的前五项: (1) a n ? 1 ; n2

9 .已知 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 4 ,求 a n .

1 (2) a1 ? , an? 4an?1 ? 1( n ? 1) 2
3、写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数:
第 140 页

10

。已知 a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,求 a n .

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(2) 0, ? 2, ? 4, ? 6, ? 8,?

(3) 3, 9, 27, 81,?

2. 运用递推公式确定一个数列的通项:

(1) 2, 5, 8, 11,?
【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1、观察以下数列,并写出其通项公式: 3. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 为: (1) Sn ? 2n ? n; ( 2) Sn ? n ? n ? 1, 求数列
2 2

.

(2) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,?

(1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ?

{a n } 的通项公式.

个数列就叫做



叫做等差数列

的公差,公差通常用字母 d 表示。

2.等差中项:由三个数 a,A,b 组成的等差数列 可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做 a 与 b 互助小组长签名: 的 。在等差数列{ an }中,从第二项起,

必修五 第二章 §5-6 等差数列
【课前预习】阅读教材 P-完成下面填空 1.等差数列的定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与前一项的差都等于
第 141 页

每一项是它的前一项与后一项的等差中项. 3.等差数列的通项式: 为首项, d 为公差. 当 d >0 时,数列{ an }为 数列; , 其中 an

,那么这

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当 d ? 0 时,数列{ an }为

数列; 【课中 35 分钟】边听边练边落实 1. 成等差数列的四个数的和为 26,第二数与第三 数之积为 40,求这四个数。

当 d ? 0 时,数列{ an }为常数列. 4.等差数列的性质: (1)等差数列{ an }中, an ? a1 ? = (2)等差数列{ an }中,若 m ? n ? p ? q (其中

m, n, p, q ? N * ),则


;若 m+n ? 2 p , . 2.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4 千米)计费 10 元。 如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地, 且一路畅通,等候时间为 0,需要支付多少车费?

,也称 a p 为 am , an 的

【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟回 答下列问题 1、等差数列{an}中, a5 =3, a8 =33,则{ an }的公 差为 。

2、求等差数列 8,5,2,?的第 20 项.

3.-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如 3.等差数列 {an } 的首项为 a ,公差为 d ;等差数 果是,是第几项? 4、 已知 {a n } 是等差数列. 2a5 ? a3 ? a7 是否成立? 列 {bn } 的首项为 b ,公差为 e ; 若 cn ? an ? bn

(n ? 1) ,且 c1 ? 4, c2 ? 8 ,求 {cn } 的通项公式。

2a5 ? a1 ? a9 呢?为什么?

5 、 已 知 等 差 数 列 {a n } 的 公 差 为 d. 求 证 :

am ? an ?d m?n

4.在等差数列 {an } 中,若 a2 ? a5 ? a8 ? 9,

a3 ? a5 ? a7 ? ?21 ,求数列的通项公式。

6 、 等 差 数 列 {an} 中 , 已 知 a1 ? a4 ? a7 =39, 则

a4 =(
A、13

) B、14 C、15 D、16



142



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5. 设等差数列 {an } 中, 公差 d ? -2, 且 a1 ?a4 ? a7 + ...... ? a97 ? 50 ,那么 a3 ? a6 ? a9 ? ..... ? a99 等于 【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1.等差数列 ?a n ?中, a 2 ? 9, a5 ? 33, 则 ?a n ?的 公差为______________。 互助小组长签名: 多少。

2 . 已知 d ? ? , a7 ? 8, 求 a1

1 3

必修五 第二章 §5-9 等比数列及性质
。 【课前预习】阅读教材 P-完成下面填空 1.等比数列的定义:一般地,如果一个数列

3.已知 {an } 为等差数列, a15 ? 8 , a60 ? 23 , 求通项 an 和公差 d 。

起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等 比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q≠0). 若数 列{an}为等比数列,则有
*,

an ? q (n≥2, n a n ?1

∈N q≠0). 2.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的等比 4.在等差数列 {an } 中,若 a3 ? a4 + a5 ? a6 ? a7 =450,求 a2 ? a8 的值。 .

3.等比数列的通项公式:若等比数列的首项为 a1, 公比为 q,则其通项公式为 an= 4.等比数列的性质:若等比数列的首项为 a1,公比 为 q,则有: (1)an=am ;
*

(2)m+n=s+t(其中 m,n,s,t∈N ), 则 aman=
第 143 页

;若 m+n=2k,则 ak =

2

.

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(3) 若 {an }、 {bn } 成等比数列,则 {anbn } 、 { 等比数列; (4)若 a1 ? 0, q ? 1,则 {an } 为 若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为 若 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 ,则 {an } 为 若 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 , 则 {an } 为 若 q ? 0 ,则 {an } 为 若 q ? 1 ,则 {an } 为 数列; 数列.

an }成 bn
【课中 35 分钟】边听边练边落实 5.若 an ? 3 ?( ) n ,bn ? ?5 ? 2 的通项及公比。

数列; 数列; 数列; 数列;

2 3

n?1

,求数列 {anbn }

6. 在正项等比数列{a n }中 a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 3 a 7 =25, 则 a 3 +a 5 =_______。 7.在等比数列 {an } 中 a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 公比 q 是整数,则 a10 =___

【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟回 答下列问题 1 . 等 比 数 列 ?a n ? 中 , a 2 ? 9, a5 ? 243, 则 q 为 ( ) A. 3 B.4 C.5 D.6

2. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是( A.1 B.-1 C. ? 1 D.

) 8.一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积 为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____

1 2

3.等比数列 ?a n ?中 a4 ? 27, q ? ?3 求 a7

4.在等比数列 ?a n ?中, 若 a3 ? 3, a9 ? 75, 则

a10 =___________.

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.
第 144 页

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2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1.在 9 和 243 中间插入两个数,使他们同这两个 数成等比数列. 互助小组长签名:

2 . 在 等 比 数 列 ?a n ? 中 , 若 a1 , a10 是 方 程

3x 2 ? 2 x ? 6 ? 0 的两根,则 a 4 ? a7 =_______.

3.若 an >0, a2 a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 求 a3 ? a5

4. 各项均为正数的等比数列 {an } 中, 若 a5 ? a6 ? 9 , 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ?



145



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必修五 第二章 §5-10 等比数列的求和
【课前预习】阅读教材 P-完成下面填空 4 .在等比数列 {an } ( n ? N* )中,若 a1 ? 1 ,

1. 等比数列的前
sn ?

n 项和公式:若等比数列的首

项为 a1,公比为 q,则其前 n 项和

2.若 {an } 是等比数列,且公比 q ? ?1 ,则数列

1 ,则该数列的前 10 项和为( 8 1 1 A. 2 ? 4 B. 2 ? 9 2 2 1 1 C. 2 ? 10 D. 2 ? 11 2 2 a4 ?



Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也是

数列。当

且 n 为偶数时, 数列 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n q ? ?1 , 是常数数列 0,它不是等比数列. 3.当 q ? 1 时, S n ? 【课中 35 分钟】边听边练边落实 1 .若等比数列 ?an ? 的前 3 项和 S3 ? 9 且 a1 ? 1 , 则 a2 等于( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

? a1 n a q ? 1 ? aq n ? b , 1? q 1? q

这里 a ? b ? 0 , 但a ? 0 这是等比数列前 n , b? 0 , 项和公式的一个特征, 据此很容易根据 S n ,判断数 列 {an } 是否为等比数列。 4. Sm? n ? Sm ? q Sn ? Sn ? q Sm
m n

、 2 .若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 10n
2

5 . 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时,

S偶 ? qS奇 ; S奇 ? a1 ? qS偶 . 项数为奇数 2n ? 1 时,
(7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列, 那么 数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列 {an } 仅是此 数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条 件。 【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1.在等比数列 {an } ,已知 a1 ? 2, q ? 3, 求 s7 . 2.在等比数列 {an } ,已知 q ? 2, S4 ? 31, 求 n 。

(n ? 1, 2, 3, ?) ,则此数列的通项公式为

3 . 在等比数列 {a n } 中, S n 为其前 n 项和,若

S 30 ? 13S10 , S10 ? S 30 ? 140 ,则 S 20 的值为______

4.若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = 3.在等比数列 {an } , S3 ? 3, S6 ? 6, 求 S 9
第 146 页



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5.已知各项均为正数的等比数列{ an },
a1a2 a3 =5, a7 a8 a9 =10,则 a4 a5 a6 =
3.设等比数列 {a n } 的公比为 q ,前 n 项和为 S n , 若 Sn ?1 , Sn , Sn ? 2 成等差数列,则 q 的值为_____

(A) 5 2

(B) 7

(C) 6 (D) 4 2

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1.在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等 于 21,则该数列的通项公式 an ? . 4 . 设 S n 为 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 ,

8a2 ? a5 ? 0 ,则
(A)11

S5 ? S2
(C) ?8 (D) ?11

(B)5

互助

小组长签名:

2.设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) , 关于 数列 ? an ? 有下列三个命题:①若

a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等

b?R ?, 比数列; ②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 则 ? an ? 是
等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数
n

列。这些命题中,真命题的序号是



147



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必修五 第二章 §5-11 简单的递推数列
【课前预习】阅读教材 P-完成下面填空 1.已知 sn 求 an 分三步: (1) (2) (3) 2.若 an ?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法 。 3.已知 3.已知 a1 ? 1, an ? 3an ?1 ? 2 ,求 an .

an ?1 ? f (n) 求 an ,用累乘法 。 an

4.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等 比数列) 。.

an ? kan ?1 ? b ( k , b 为 (1) 形如 an ? kan ?1 ? b 、
n

常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比 为 k 的等比数列后,再求 an 。

【课中 35 分钟】边听边练边落实 4. 根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其 通项公式. ⑴ a1=1,an=2an-1+1 (n≥2) n ?1 ⑵ a1=1,an= a n?1 ?3 (n≥2) ⑶ a1=1,an=
n ?1 a n?1 n

an ?1 (2) 形如 an ? 的递推数列都可以用倒 kan ?1 ? b
数法求通项。 注意: (1)用 a n ? S n ? S n ?1 求数列的通项公式时,你注 意到此等式成立的条件了吗? (n ? 2, 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ) ; (2) 一般地当已知条件中含有 an 与 S n 的混合关系 时,常需运用关系式 a n ? S n ? S n ?1 ,先将已知条 件转化为只含 an 或 S n 的关系式,然后再求解。 【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟回 答下列问题 1.已知 sn ? n ? 2n, 求 an 。
2

(n≥2)

2.已知 a1 ? 1 , an?1 ? an ? n ,求 an 。
第 148 页

5.已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足关系式 lg(Sn * -1)=n,(n∈N ),.求数列{an}的通项公式。

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2.已知 a1 ? 1, an ? 6 . 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , a2 ?

an ?1 , 求 an 。 3an ?1 ? 1

3 , 5

an?2 ?

3 2 an?1 ? an ,令 bn ? an?1 ? an 。 5 3
3.已知 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 2 , 求 an .
n

(1) 求证:数列 {bn } 是等比数列,并求 bn 。 (2)求数列 {an } 的通项公式 。

4.已知 {an } 的前 n 项和满足 log 2 ( Sn ? 1) ? n ? 1 , 求 an

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项. n ⑴ Sn=3 -2 2 ⑵ Sn=n +3n+1
第 149 页

互助

小组长签名:

必修五 第二章 §5-12 特殊数列求和
【课前预习】阅读教材 P-完成下面填空 (1)公式法:

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①等差数列求和公式; ②等比数列求和公式,但当公比为 1 时,需分类讨 论.; ③常用公式:

1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) 2 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6 n(n ? 1) 2 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ ]. 2

, , 3.求和: sn ?

1 1 1 . ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1)

(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难 时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再 运用公式法求和. (3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两 项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则考 虑倒序相加法. (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差 数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,用错 位相减法. (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两 项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选 用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

【课中 35 分钟】边听边练边落实 1.等比数列 {an } 的前 n 项和. sn = 2 -1, 求 an 。
n

1 ?1? 1 ; n(n ? 1) n n ? 1 1 ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? k ) k n n ? k
① (6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内 在特征,再运用分组求和法求和。

【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1.已知: S10 ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (?1) ?19 .
10

2.已知 f ( x) ?

求 s10



x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) 1 ? x2 1 1 1 ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______ 2 3 4

2.设 an ? 2n?1 , Tn ? a1 ? 2a2 ? ? ? (n ? 1)an?1 ? nan , 求 Tn 。

3. 在数列 {an } 中,a n ? 则 n=_____。

1 n ? n ?1

, 且 Sn=9,



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1?

1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

4.求数列 1×4,2×5,3×6,?, n ? (n ? 3) ,? 前 n 项和 S n = .

3.求和: sn ?

1 1 1 ? ??? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3.

【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问

1.数列 1 ,2 ,3 ,4 ( A. )

1 2

1 4

1 8

1 ,? 前 n 项的和为 16
1 n2 ? n ? ?1 2 2n

1 n2 ? n ? 2 2n

B. ?

C. ?

1 n2 ? n ? 2 2n

D. ?

1 2 n ?1

?

n2 ? n 2
互助 小组长签名:

2.求和:

数列章节测试题
一、选择题: 1.数列 2, 5, 2 2, 11,…, 则 2 5 是该数列的 A.第 6 项
第 151

( C.第 10 项 D.第 11 项



B.第 7 项


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2.方程 x2 ? 6x ? 4 ? 0 的两根的等比中项是 A. 3 B. ?2 C. ? 6 D. 2





3.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? A.138 B.135 C.95 D.23





4、已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1, a ? 1 , a ? 4 ,则 an ?





?3? A. 4 ? ? ? ?2?

n

?2? B. 4 ? ? ? ?3?

n

?3? C. 4 ? ? ? ?2?

n ?1

?2? D. 4 ? ? ? ?3?

n ?1

5.一个有限项的等差数列,前 4 项之和为 40,最后 4 项之和是 80,所有项之和是 210,则此数列的项数 为 ( ) A.12 B. 14 C.16 D.18 6、若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? A.12 B.13 C.14 D.15 (
48 25





7.两等差数列{an}、{bn}的前 n 项和的比
28 17 23 15

a sn 5n ? 3 ? ,则 5 的值是 b5 Tn 2n ? 7
C.
53 27



A.

B.

D.

8.设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c 成 A.等差 B.等比 二、填空题

( C.非等差也非等比 D.既等差也等比

)

9、由正数构成的等比数列{an},若 a1a3 ? 2a2a7 ? a6a8 ? 49 ,则 a2 ? a7 ?
2

. .

10.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n , 某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 ,则该三角形最大角为 11.已知数列 {a n } 中, a1 ? 2, a n ?1 ?

2a n 则数列的通项公式 a n =______________ an ? 1

12 .在 3 和 9 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的和 是 。

三、解答题 13. 在等差数列{ an },已知 a1=

5 1 ,d= ? ,sn=-5,求 n 及 an。 6 6



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14.已知实数 a, b, c 成等差数列, a ? 1, b ? 1 , c ? 4 成等比数列,且 a ? b ? c ? 15 ,求 a, b, c .

15.已知等差数列 5,4

2 4 ,3 , ? 的前 n 项和为 sn,求使得 sn 最大的序号 n 的值。 7 7

16、求和 1+3a+5a +?+(2n-1)a

2

n-1

17.已知 {a n } 是等差数列, a1 ? 2, a1 ? a 2 ? a3 ? 12 (1)求数列 {a n } 的通项公式 (2)令 bn ? a n 3 ,求 {bn } 的前项的和
n

必修 5 第三章 §5-13 不等式的性质
【课前预习】阅读教材 P73-74 1. 实数运算性质与实数大小顺序的关系:

(1)a ? b ? a ? b ? 0; (2) a ? b ? a ? b ? 0; (3)a ? b ? a ? b ? 0
2. 不等式的性质 (1) (对称性) a ? b, ? b ? a (2) (传递性) a ? b, b ? c ? a ? c (3) (可加性) a ? b, ? a ? c ? b ? c



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(4) (可乘性) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc
(5) (同向不等式的可乘性)

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(6) (可乘方性、可开方性) 强调(笔记) :

a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n , n a ? n b
【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1.比较大小: (1) ( 3 ? 2)
2

【课中 35 分钟】边听边练边落实 5. 若?、 ?满足 ?

?
2

?? ? ? ?

?
2

,则 ? ? ? 的

; 6? 2 6
( 6 ? 1) 2 ;

取值范围是( ) A. ? ? ? ? ? ? ? ? C. ?

B. ? ? ? ? ? ? ? 0 D. ?

?
2

(2) ( 3 ? 2)2 (3)
1 5?2

?? ?? ?

?
2

?
2

?? ?? ? 0

1 6? 5

; 6.比较 (a ? 3)( a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) 的大小

(4)当 a ? b ? 0 时, log 1 a _______ log 1 b .
2 2

2. 若 f ( x) ? 3x2 ? x ? 1 ,g ( x) ? 2 x 2 ? x ? 1 , 则 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系为( A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x ) ? g ( x ) ). B. f ( x) ? g ( x) D.随 x 值变化而变化 7.已知 ?

?
2

?? ? ? ?

?
2

,求

? ??
2

,

? ??
2



取值范围

8.已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证: 3. 已知 x ? a ? 0 ,则一定成立的不等式是( A. x 2 ? a 2 ? 0 C. x2 ? ax ? 0 4. 已知 ? B. x2 ? ax ? a 2 D. x2 ? a 2 ? ax ).

c c ? a b

?
2

?? ? ? ?

?
2

, 则

? ??
2

的范围是 (

) .

9.比较 大小

a?m a 与 (其中 b ? a ? 0 , m ? 0 )的 b?m b

A. (? ,0) 2 C. (? ,0] 2

?

B. [? ,0] 2 D. [? ,0) 2
第 154 页

?

?

?

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2. 设 a ? 0 , ?1 ? b ? 0 ,则 a, ab, ab2 三者的大小关 系为 .

3.已知 x>0,求证 1 ? x ? 1 ?

x . 2

a 4.已知 12 ? a ? 60,15 ? b ? 36, 求a ? b及 的取值范 b 围.

强调(笔记) :

5.已知 ?4 ? a ? b ? ?1, ?1 ? 4a ? b ? 5 ,求 9a ? b 的 取值范围.

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 互助小组长签名:

【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1. 如果 a ? b , 有下列不等式: ① a 2 ? b2 , ② ③3 ?3 , ④g 其中成立的是 l a? g l b,
a b

必修 5 第三章 §5-14 一元二次不等式的解法
1 1 ? , a b .

【课前预习】阅读教材 P76-80 完成下面填空



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??0

??0

??0

强调(笔记) :

二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图 象 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0

【课中 35 分钟】边听边练边落实
1 1 5. 不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 {x | ? ? x ? } , 2 3 则 a ? b 等于( ). A. ? 14 B.14 C. ? 10 D.10

? a ? 0 ?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

6. 关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 ? , 则实数 a 的取值范围是( ). 3 3 A. (? ,1] B. (?1,1) C. (?1,1] D. (? ,1) 5 5 7. 不等式 x2 ? 5x ? 24 的解集是

.

【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1.若方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两根为 2,3, 那么 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为( ). A. {x | x ? 3 或 x ? ?2} B. {x | x ? 2 或 x ? ?3} C. {x | ?2 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 2}

8.求不等式 13 ? 4 x2 ? 0 的解集.

2.求不等式 ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集.

3.求不等式 4 x2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集

9. 若关于 x 的一元二次方程 x2 ? (m ? 1) x ? m ? 0 有 两个不相等的实数根,求 m 的取值范围.

4 .若方程 x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 ,且
x1 ? 3 , x2 ? 1 ,求 a 的范围.



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A. 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 C. 4 ? 4 x ? x 2 ? 0

B. x2 ? 4x ? 4 ? 0 D. ?2 ? 3x ? 2 x2 ? 0

4. 不等式 x2 ? 3x ? 0 的解集是

.

强调(笔记) :

5. y ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 的定义域为

.

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4.

【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1. 已 知 方 程 a x2 ? b x? c?0 的 两 根 为 x1 , x2 , 且
x1 ? x2 ,若 a ? 0 ,则不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解为



). A.R C. x ? x1 或 x ? x2

B. x1 ? x ? x2 D.无解

2. 关于 x 的不等式 x2 ? x ? c ? 0 的解集是全体实数 的条件是( ). 1 1 1 1 A. c ? B. c ? C. c ? D. c ? 4 4 4 4

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3. 在下列不等式中,解集是 ? 的是(
第 157 页

).

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必修 5 第三章 §5-15 二元一次不等式组表示的平面区域
【课前预习】阅读教材 P82-86 1 .一般地 , 在直角坐标系中 , 二元一次不等式



Ax ? By ? C ? 0 表示 Ax ? By ? C ? 0 某侧所有
点组成的平面区域 . 我们把直线画成虚线 , 表示区 域不包括边界 . 而不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示区 域时则包括边界,把边界画成实线. 2. 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示的平面 区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法,即 画线---取点---判断。当 C ? 0 时,常把原点(0, 0)作为测试点。 【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1.画出 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域 【课中 35 分钟】边听边练边落实 4. 不等式 x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域在直线 __ x ? 2y ? 6 ? 0 的 强调(笔记) :

?x ? 3 ? 5. 用平面区域表示不等式组 ? 2 y ? x 的解集. ?3 x ? 2 y ? 6 ?

2.画出 ?

?x ? 3 y ? 6 ? 0 表示的平面区域 ?x ? y ? 2 ? 0

6 . 由 直 线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2y ?1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界)用不 等式可表示为 .

3 .画出 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 4) ? 0 表示的平面区 7.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1
第 158 页

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车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4t 、硝酸盐 18 t;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t 、硝酸盐 15 t。现库存磷酸盐 10t 、硝酸盐 66 t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生 产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。 【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1. 不等式 x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域在直线 ). x ? 2 y ? 6 ? 0 的( A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 2. 不在 3x ? 2 y ? 6 表示的平面区域内的点是 ( A. (0,0) B. (1,1) C. (0,2) D. (2,0) ) .

?x ? y ? 5 ? 0 3. 不等式组 ? 表示的平面区域是一个 ?0 ? x ? 3 ( ). A.三角形 B.直角梯形 C.梯形 D.矩形

4. 已知点 (?3, ? 1) 和 (4, ?6) 在直线 ?3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是 . 5. 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规 格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数 如下表所示: 规格类型 A 规格 B 规格 C 规格 钢板类型 2 1 1 第一种钢板 1 2 3 第二种钢板 今需要三种规格的成品分别为 12 块、 15 块、 27 块, 用数学关系式和图形表示上述要求. 强调(笔记) :



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(1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行 域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 【课初 5 分钟】课前完成下列练习,课前 5 分钟 回答下列问题 1. 目标函数 z ? 3x ? 2 y ,将其看成直线方程时, z 的意义是( ). A.该直线的横截距 B.该直线的纵截距 C.该直线的纵截距的一半的相反数 D.该直线的纵截距的两倍的相反数 ?x ? y ? 5 ? 0 ? 2. 已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 ?x ? 3 ? ). z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( A. 6 B. ? 6 C.10 D. ? 10

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必修 5 第三章 §5-16 简单的线性规划问题
【课前预习】阅读教材 P87-91 1. 线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组 变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、 y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数:关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲 达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式, 叫线性目标函数. ③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性 约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性 规划问题. ④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的 解 ( x, y ) 叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做 可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解. 2 . 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步 骤:
第 160 页

3. 在如图所示的可行域内,目标函数 z ? x ? ay 取 得最小值的最优解有无数个,则 a 的一个可能值是 ( ).

y

C(4,2)

A(1,1) O A. ? 3 B.3 C. ? 1

B(5,1)

x
D.1

4.求 z ? 2 x ? y 的最大值,其中 x 、 y 满足约束条
?y ? x ? 件 ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

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强调(笔记) :

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3.

【课中 35 分钟】边听边练边落实
?1 ? x ? y ? 3 5. 若实数 x , y 满足 ? , 求 4 x +2 y 的 ??1 ? x ? y ? 1

4. 【课后 15 分钟】 自主落实,未懂则问 1. 若 x ? 0 , y ? 0 且 x ? y ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大 值为( ). A. ? 1 B.1 C.2 D. ? 2 ?x ? y ? 5 ? 0 ? 2.若不等式组 ? y ? a 表示的平面区域是一个 ?0 ? x ? 2 ? 三角形,则的取值范围是( ). A. a ? 5 B. a ? 7 C. 5 ? a ? 7 D. a ? 5 或 a ? 7 ?x ? 0 ? 3.设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ,则 z ? 3x ? 2 y ?2 x ? y ? 1 ? 的最大值是 . 4. 完成一项装修工程,请木工需付工资每人 50 元,请瓦工需付工资每人 40 元,现有工人工资预 算 2000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,请工人的约束 条件是( ). A. 50x ? 40 y ? 2000 B. 50x ? 40 y ? 2000 C. 50x ? 40 y ? 2000 D. 40x ? 50 y ? 2000 5.甲、乙两个粮库要向 A、B 两镇运送大米,已知 甲库可调出 100t 大米,乙库可调出 80t 大米,A 镇 需 70t 大米,B 镇需 110t 大米.两库到两镇的路程和 运费如下表: 路程/km 运费/(元 ? t ?1 ?km?1 ) 甲库 乙库 甲库 乙库 20 15 12 12 A镇 25 20 10 8 B镇 (1) 这两个粮库各运往 A、B 两镇多少 t 大米,才能 使总运费最省?此时总运费是多少? 最不合理的调运方案是什么?它使国家造成的损失 是多少?

取值范围.

6.求 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值,其中 x 、 y 满
?5 x ? 3 y ? 15 ? 足约束条件 ? y ? x ? 1 . ?x ? 5 y ? 3 ?

7. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收 入分别为 3000 元、 2000 元. 甲、 乙产品都需要在 A、 B 两种设备上加工,在每台 A、B 设备上加工 1 件 甲设备所需工时分别为 1h、2h,加工 1 件乙和设备 所需工时分别为 2h、1h,A、B 两种设备每月有效 使用台时数分别为 400h 和 500h. 如何安排生产可 使收入最大?

强调(笔记) :



161



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不等式的单元过关试题
一、选择题 1.下列各对不等式中同解的是 A. 2x ? 7 与 2 x ? ( B. ( x ? 1) ? 0 与 x ? 1 ? 0
2



x ?7? x

C. x ? 3 ? 1 与 x ? 3 ? 1 2.若 2
x 2 ?1

D. ( x ? 1) ? x 与
3 3

1 1 ? x ?1 x
( D. [2, ??) ( D. a ? 2b
2

1 ? ( ) x ?2 ,则函数 y ? 2 x 的值域是 4 1 1 1 A. [ , 2) B. [ , 2] C. ( ??, ] 8 8 8 4.设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 1 1 1 1 2 A. ? B. ? C. a ? b a b a b
5.如果实数 x, y 满足 x ? y ? 1,则 (1 ? xy)(1 ? xy) 有
2 2



)

(

)

1 和最大值 1 2 3 C.最小值 而无最大值 4
A.最小值
2 2

B.最大值 1 和最小值

3 4

D.最大值 1 而无最小值 ( )

6.二次方程 x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 ,有一个根比 1 大,另一个根比 ?1 小,则 a 的取值范围是 A. ?3 ? a ? 1 B. ?2 ? a ? 0 C. ?1 ? a ? 0 ) D. 0 ? a ? 2

7.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( A. y ? x ? 二、填空题

1 x

B. y ? sin x ?

1 ? , x ? (0, ) sin x 2

C. y ?

x2 ? 3 x ?2
2

D. y ? x ?

2 ?1 x

8.若方程 x ? 2(m ? 1) x ? 3m ? 4mn ? 4n ? 2 ? 0 有实根,则实数 m ? _______;且实数 n ? _______。
2 2 2

9.一个两位数的个位数字比十位数字大 2 ,若这个两位数小于 30 ,则这个两位数为________________。 10.设函数 f ( x) ? lg( ? x ? x ) ,则 f ( x) 的单调递减区间是
2

3 4



11.当 x ? ______时,函数 y ? x (2 ? x ) 有最_______值,且最值是_________。
2 2

12. 若 fn ( ) ?n 三、解答题

2

? 1? ngn , ( ) n? ? n

? 1 , (2n )

1 ? ? ( n N ? ) 2n

*

,用不等号从小到大连结起来为_______。

13.解不等式 (1) log (2 x ?3) ( x ? 3) ? 0 (2) ? 4 ? ?
2

1 2 3 x ? x ? ? ?2 2 2



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14.不等式

x 2 ? 8 x ? 20 ? 0 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围。 mx 2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4

? y ? x, ? 15. (1)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

x2 y 2 ? ?1 (2)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 25 16



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必修五过关练习题
一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分;每小题给出四个选项中只有一项是正确的。 ) 1.已知等差数列 ?an ?的首项为 1,公差为 2,则 a8 的值等于 A.13 B.14 C.15 D.16 ( C. x x ? 1 ? ?0? C.ab>a>ab2 ) ( )

2.函数 y= x( x ? 1) + x 的定义域为 A. x x ? 0

?

?

B. x x ? 1

?

?

?

?

D. x 0 ? x ? 1 D.ab>ab2>a

?

?
( )

3.若 a<0,0<b<1,那么 A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a 4.一元二次不等式 ax2+bx+2>0 的解集是(- A.10
a b c

1 1 , ),则 a+b 的值是 2 3
D.-14

(

)

B.-10

C.14

5.设 3 ? 4,3 ? 12,3 ? 36 ,那么数列 a、b、c 是 A.是等比数列但不是等差数列 B.是等差数列但不是等比数列

(

)

C.既是等比数列又是等差数列 D.既不是等比数列又不是等差数列 6.不等式 2x+y+1<0 表示的平面区域在直线 2x+y+1=0 A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 7.下列结论正确的是 A.当 x>0 且 x≠1 时,lgx +





(

)

1 ≥2 lg x

B.当 x>0 时, x ?

1 ?2 x

C.当 x≥2 时,x+

1 的最小值为 2 x
?

D.当 0<x≤2 时,x -

1 无最大值 x
( )

8.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45 ,则此三角形解的情况是 A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解

9.已知等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且 S 5 ? 2, S10 ? 6 ,则 a16 ? a17 ? a18 ? a19 ? a 20 ? A.54 B.48
x y

C.32

D.16 ( D. 7 )

10.已知 x ? 3 y ? 2 ? 0, 则3 ? 27 ? 1 的最小值是 A. 33 9 B. 1 ? 2 2 C. 6

二.选择题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分;满分 20 分) 。 11.若 ? 1 ? a ? 2 , ? 2 ? b ? 1,则 a-b 的取值范围是 12.在△ ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,则该三角形的最大内角度数是 13.等比数列 ?an ?中,a4=

. 。

1 ,a8=8,则 a5a6a7= 2

。 。

14.已知点(2,1)和(-3,2)在直线 2x-y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是
第 164 页

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15.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1对任意实数x 成立,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(共 6 小题满分 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

?x ? y ? 3 ? 0 ? 16. (本小题满分 6 分)已知x、y满足不等式 ? x ? y ? 3 ? 0 ,求 z ? 3x ? y 的最大值与最小值。 ? y ? ?1 ?

17.(本小题满分 8 分)已知 f ( x) ? x ? (a ?
2

1 ) x ? 1, a

(Ⅰ)当 a ?

1 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; 2

(Ⅱ)若 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 。

18.(本小题满分 8 分)已知等比数列 ?an ?, a 2 ? 8, a5 ? 512 . (Ⅰ)求 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? log 2 a n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n

19.(本小题满分 8 分)在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且
2



165



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(Ⅰ)角 C 的度数; (Ⅱ)AB 的长度。 2 cos? A ? B ? ? 1 。求:

20.(本小题满分 12 分)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块建造一栋至少 10 层,每层 2000 平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x (单位:元) 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

21.(本小题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ? 的首项为 a,公差为 b,且不等式 log 2 (ax 2 ? 3x ? 6) ? 2

的解集为 ? x | x ? 1 或 x ? b? .
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式及前 n 项和 S n 公式 ; (Ⅱ)求数列 ?

1 an ? an ?1

? 的前 n 项和 Tn



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