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新课标全国统考区2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编7:立体几何(1)


新课标全国统考区(吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南)2013 届最新高三名校 理科数学试题精选分类汇编 7:立体几何(1)
一、选择题 1 . (河南省中原名校 2013 届高三下学期第二次联考数学(理)试题)平行四 边形 ABCD 中, AB · BD =0,沿

??? ?

??? ?

BD 折成

直二面角 A 一 BD-C,且 4AB +2BD =1,则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为 A.

2

2





? 2

B.

? 4

C.

? 48

D.

2 ? 24

【答案】A 2 . (2013 年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积



( A. 1
【答案】C



B.

3 2

C.

1 2

D.

3 4

3 . (河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高三阶段性测试(四) 数学(理)试题(word 版))一个 几何体的三

视图如图所示,则这个几何体的体积为





A.

2 3 3

B. 16 3

C.

4 3 3

D.

8 3 3

【答案】D 4 . (河南省中原名校 2013 届高三下学期第二次联考数学(理)试题)从一个正方体中截去部分几何体,得到

的几何体三视图如下,则此几何体的体积是 A.64 B.





122 3

C.

188 3

D.

47 6

第 1 页,共 22 页

【答案】C 5 . (河南省三市(平顶山、许昌、新乡)2013 届高三第三次调研(三模)考试数学(理)试题)一个几何体

的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

( A. 28 ? 2?
【答案】D



B. 38 ? 2?

C. 38 ? ?

D. 38

6 . (山西省太原市第五中学 2013 届高三 4 月月考数学(理)试题)某几何体的三视图如右图所示,则该几何

体的体积不可能是 A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3





【答案】D 7 . (河北省衡水中学 2013 届高三第八次模拟考试数学(理)试题 )已知某几何体的三视图如图所示,其中

俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1 ,直径为 4 的球的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ? A. 1: 4 C. 1:1 B. 1: 2 D. 2 :1





第 2 页,共 22 页

【答案】B 8 . (云南省 2013 年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题(word 版) )如图是一个空间几何体的三视

图,其中正视图和侧视图都是半径为 2 的半径,俯视图是半径为 2 的圆,则该几何体的体积等于

正视图

侧视图

俯视图

( B.



A.

4? 3

8? 3

C.

16? 3

D.

32? 3

【答案】C 9 . (河南省开封市 2013 届高三第四次模拟数学(理)试题)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为

2 3 ,它的三视图中

的俯视图如图所示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是

( A.4
【答案】B



B. 2 3

C.2

D. 3 [来源:Z,xx,k.Com]

10. (内蒙古包头市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图

是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )





A. 2 3π

8 π B. 3

C. 4 3

16 π D. 3

【答案】D
第 3 页,共 22 页

11. (吉林省实验中学 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知一个几何体的三视图如图所示,则该

几何体的体积为 A.6

( B.5.5 C.5 D.4.5



3 2 正视图 1 侧视图

1

1 俯视图

(第 7 题)

【答案】C 12. (吉林省实验中学 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知球的直径 SC=4,





A.B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S—ABC 的体积为 ( ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 【答案】C 13 . 山 西 省 康 杰 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 点 A、B、C、D 在 同 一 个 球 的 球 ( 面, AB ? BC ? 2 , AC ? 2 ,若四面体 ABCD 体积的最大值为 A.

125? 6

B. 8?

C.

25? 4

2 ,则这个球的表面积为 ( 3 25? D. 16



【答案】

C.∵ AB ? BC ? 2, AC ? 2 ,∴ ?ABC 是直角三角形,

∴ ?ABC 的外接圆的圆心是边 AC 的中点 O1,如图所示,若使四面体 ABCD 体积的最大值只需使点 D 到 平面 ABC 的距离最大,又 OO1 ? 平面 ABC,所以点 D 是直线 OO1 与球的交点 设球的半径为 R,则由体积公式有: O1D ? 2 在 Rt ?AOO1 中, R ? 1 ? (2 ? R) ,解得: R ?
2 2

S球O的表面积 ?

25? ,故选 C 4

5 4

14. (黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题 word 版 )已知某几何体的三视图如图所

示,则该几何体的表面积等于

( A.



160 3

B.160

C. 64 ? 32 2
第 4 页,共 22 页

D. 88 ? 8 2

【答案】C 15.(河南省郑州市 2013 届高三第三次测验预测数学(理)试题)

已知直线l丄平面a,直线m ? 平面β 给出下列命题: ①a//β = >l丄m;②a丄 β 其中正确命题的序号是 A.① ② ③ B. ② ③ ④ 【答案】C 体的表面积为 ( C. ① ③ D. ② ④ ) β =>l//m ③ l / / m =>a丄 β ; ④ l 丄 m =>a//

16. (黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何

2

2

2
2 侧视图 俯视图 ( ) D. 2 ? 2 ? 5 ? 10

正视图 A. 4 ? 2 2
【答案】B

B. 4 ? 4 2

C. 8

17. (河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高三阶段性测试(四) 数学(理)试题(word 版))已知四面体 ABCD

中,AB=AD=6,AC=4,CD=2 13 ,AB⊥平面 ACD,则四面体 ABCD 外接球的表面积为 A.36 ?
【答案】B 二、填空题





B.88 ?

C.92 ?

D.128 ?

18.(河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题(word 版) )巳知一个空间几何体 的三视图

(如右图),则该几何体的表 面 为______ 积

【答案】

3? + 3 2
) 在 四 面 体 ABCD

19 . 河 北 省 衡 水 中 学 2013 届 高 三 第 八 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 (

中 , AB ? CD ? 6, AC ? BD ? 4, AD ? BC ? 5 , 则 四 面 体 A B C D 外 接 球 的 表 面 积 为 的 ________________.
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【答案】 解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为 4、 6,设长方体的三条边分别为 x, y, z , 5、

则x ? y ?z ?
2 2 2

77 77 2 ?. ,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以 S ? 4? R ? 2 2

20. (云南省玉溪市 2013 年高中毕业班复习检测数学(理)试题)右图所示的是一个正方体的展开图,在原来

的正方体中,有下列命题:

①AB 与 EF 所在的直线平行; ②AB 与 CD 所在的直线异面; o ③MN 与 BF 所在的直线成 60 角; ④MN 与 C D 所在的直线互相垂直 其中正确命题的题号是____. 【答案】②④
21. (黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的各顶

点都在同一球面上,若四面体 A ? B1CD1 的表面积为 8 3 ,则球的体积为____________.
【答案】 4 三、解答题 22. (河南省开封市 2013 届高三第四次模拟数学(理)试题)如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,侧面

3? ;

PAB 是正三角形,AB=2,BC= 2 ,PC= 6 . (I)求证:平面 PAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)已知棱 PA 上有一点 E,若二面角 E—BD—A 的大小为 45.,求 AE:EP 的值.

【答案】

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23. (山西省山大附中 2013 届高三 4 月月考数学(理)试题)(本小题满分 12 分如图,已知矩形 ABCD 的边

AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 、 F 分别是边 AB 、 CD 的中点,沿 AF 、 EC 分别把三角形 ADF 和三角
形 EBC 折起,使得点 D 和点 B 重合,记重合后的位置为点 P .(1)求证:平面 PCE 求二面角 A ? PE ? C 的大小.

? 平面 PCF ; (2)

P
D F C

F
O

C

A

E

B

A

E
? PE ? PF

【答案】(1)证明:

? PE ? PF ? 1 EF ? 2

又 ? PE ? PC 且 PC ? PF=P ? PE ? 平面PFC ? PE ? 平面PEC ? 平面PEC ? 平面PFC
(2)如图,建立坐标系,则
P
M O N

F

C

A

E

? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 1 2? 2? 2 ? 1 ? A? 1,? ? ? 2 , ?1, 0 ? 、E ? 2 , 0, 0 ? 、 ? 0, 2 , 0 ? 、P ? 0, 0, 2 ? 、 ? - 2 ,0 ? F ? ? 2 , 0, 0 ? 、 M ? 4 , - 2 , 4 ? ? ? ? N? ? ? C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

??? ? ? ? 2 2 ? ???? ? 2 2 ? PF ? ? ? ,0 ? , ? , MN ? ? ? ? 2 ? ? 4 ,1, ? 4 , ? ? 2 ? ? ? ?
??? 易知 PF 是平面 PAE 的法向量, 设 MN 与平面 PAE 所成的角为 ? ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? MN ?PF 5 sin? = cos< MN , PF ? ? ???? ??? ? ? ? 5 MN ?PF
第 7 页,共 22 页

??? ? (3) 易知 PF 是平面 PAE 的法向量,设平面 PEC 的法向量 n ? ( x, y, z)

? 2x ? y ? 0 且 x ? z ? 0
小为 135o zxxk

所以

? n ? (1, 2,1)

? ??? ? ? ??? ? n?EC ? 0 n?PE ? 0 则

? ??? ? 2 所以二面角 A-PE-C 的大 cos ? n, PF ?? ? 2

24 . 2013 年 红 河 州 高 中 毕 业 生 复 习 统 一 检 测 理 科 数 学 ) 如 图 , 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PB ? 平 面 (

ABC . PB ? BC ? CA ? 4 , ?BCA ? 900 , E 为 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: BE ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 E ? AB ? C 的余弦值.

P

E

C

B

A
【答案】

证明 (1):

? PB ? 面ABC ? PB ? AC ? ? ? AC ? 面PBC ? AC ? BE ? BC ? AC ? ? ? BE ? 面PAC ? PB ? BC , E为中点 ? BE ? PC ?
Z P P

E

E

C

F M A

B

X

C A

B

Y (2)方法一:过 E 作 EF⊥BC,F 为垂足.由已知得 EF⊥面 ABC,过 F 作 FM⊥AB,M 为垂足,连接 EM,则 EM⊥AB(三垂线定理).所以∠EMF 为二面角 E-AB-C 的平面角 在 Rt ?EFM 中,EF=2,FM= 2 ,cos∠EMF=

3 3

方法二:以 B 为原点建立空间直角坐标系 B-xyz B(0,0,0),C(4,0,0),A(4,4,0),P(0,0,4),E(2,0,2),则 BA ? 4,4, , BE ? 2,0,2) ( 0) ( 平面 ABC 法向量为 n1 ? (0,0,1) ;设平面 ABE 法向量为 n2 ? ( x, y, z) .
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则 BA? n2 ? 0 BE ? n2 ? 0

?4 x ? 4 y ? 0 .令 z=1,得 x=-1,y=1,.即 n2 ? (-1,1,1) ? ?2x ? 2 z ? 0
设二面角 E-AB-C 为 ? ,则 cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

=

3 3

25. (河南省三市(平顶山、许昌、新乡)2013 届高三第三次调研(三模)考试数学(理)试题)如图,在底面

是菱形的四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? 60? , PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2a ,点 E 在 PD 上,且

PE:ED ? 2 :1
(Ⅰ)求二面角 E ? AC ? D 的大小 (Ⅱ)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使 BF ? 平面 AEC ?证明你的结论.

[来源:Zxxk.Com]
【答案】

(Ⅱ) 解 法 一 以 A 为坐标原点,直线 AD 、 AP 分别为

y 轴、z 轴,过 A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴,建立空

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间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为

A(0,0,0), B(

3 1 3 1 2 1 a,? a,0), C ( a, a,0). D(0, a,0), P(0,0, a), E (0, a, a). 2 2 2 2 3 3

??? ? ??? ? ??? ? 2 1 ???? 3 1 AE ? (0, a, a), AC ? ( a, a,0). AP ? (0,0, a), PC ? ( 3 3 2 2 所以
??? ? 3 1 BP ? (? a, a, a). 2 2
设点 F 是棱 PC 上的点,

3 1 a, a, ?a). 2 2

??? ? ??? ? 3 1 PF ? ? PC ? ( a? , a? , ?a? ), 其中 ? ? ? 1, 0 2 2


??? ??? ??? ? ? ? 3 1 3 1 BF ? BP ? PF ? (? a, a, a) ? ( a? , a? , ?a? ) 2 2 2 2
?( 3 1 a(? ? 1), a(1 ? ? ), a(1 ? ? )). 2 2

??? ? ??? ? ??? ? BF ? ?1 AC ? ?2 AE 得 令

? 3 3 a?1 , ? a(? ? 1) ? 2 2 ? 1 2 ?1 ? a(1 ? ? ) ? a?1 ? a? 2 , 2 3 ?2 1 ? ?a(1 ? ? ) ? 3 a? 2 . ?

? ?? ? 1 ? ?1 , ? 4 ? 即?1 ? ? ? ?1 ? ? 2 , 3 ? 1 ? ?1 ? ? ? 3 ? 2 . ?

解得

? ? , ?1 ? ? , ?2 ? .

1 2

1 2

3 2

??


??? ? ? 1 1 ???? 3 ??? BF ? ? AC ? AE. 2 时, 2 2

即, F 是 PC 的中点时, BF 、 AC 、 AE 共面. 又

BF ? 平面 AEC ,所以当 F 是棱 PC 的中点时, BF / / 平面 AEC ?????? ?????? 12 分

26. (山西省太原市第五中学 2013 届高三 4 月月考数学(理)试题)如图:四棱锥 P ? ABCD

中, PA ? AD , AD ? .

1 BC ? 3 , PC ? 5 . AD ∥ BC , AB ? AC . ?BAD ? 150? ?PDA ? 30? 2

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(Ⅰ)证明: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)在线段 PD 上是否存在一点 F ,使直线 CF 与平面 PBC 成角正弦值等于 置,若不存在,请说明理由.
P

1 ,若存在,指出 F 点位 4

A B
【答案】

D C

? x1 ? 0 ? 因为点 F 在线段 PD 上,所以假设 PF ? ? PD ,所以 ? y1 ? 3? (0 ? ? ? 1) ?z ? 1? ? ? 1 ??? ? 即 F (0, 3?,1 ? ? ) ,所以 FC ? (1, 3 ? 3?, ? ?1)
又因为平面 PBC 的法向量 u ? ( x, y, z) . 所以 u ? PB ? 0, u ? BC ? 0 ,所以 ? 所以 u ? (1,0,1)
第 11 页,共 22 页

?

? ??? ?

? ??? ?

?x ? 3y ? z ? 0 ? ?2 3 y ? 0 ?

?

??? ? ? 1 | FC ? u | 1 ? ? ? . 因为直线 CF 与平面 PBC 成角正弦值等于 ,所以 ??? 4 | FC | ? | u | 4
所以

|?| 2 ? 1 ? 4(? ?1)
2

?

1 1 即 ? ? .所以点 F 是线段 PD 的中点 2 4

27. (河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高三阶段性测试(四) 数学(理)试题(word 版))(本小题满分 12 分)

如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=BD=6.0 为 AC,BD 的交点,将四边形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 得到三棱锥 B—ACD,且 BD= 3 2 . (1)若 M 点是 BC 的中点,求证:OM//平面 ABD; (2)求二面角 A— BD—O 的余弦值.

[来源:Z|xx|k.Com]
【答案】

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28. (山西省康杰中学 2013 届高三第二次模拟数学(理)试题)如图,三棱柱 ABC ? A B1C1 的侧棱 AA 1 1

?底

面 ABC , ?ACB ? 90? , E 是棱 CC1 上动点, F 是 AB 的中点, AC ? 1, BC ? 2, AA ? 4 1 (Ⅰ)当 E 是 CC1 中点时,求证: CF ∥平面 AEB1 ; (Ⅱ)在棱 CC1 上是否存在点 E ,使得二面角 A ? EB1 ? B 的余弦值是 存在,请说明理由.

2 17 ,若存在,求 CE 的长,若不 17

【答案】解:(1)证明,取 AB1 的中点 G,连结 EG,FG

∵F、G 分别是 AB、AB1 的中点, ∴ FG ∥ BB1 , FG ? 又∵ FG ∥ EC , EC ?

1 BB1 2

1 CC1 , FG ? EC 2

∴四边形 FGEC 是平行四边形,∴CF∥EG ∵ CF ? 平面 AEB1,EG ? 平面 AEB1 ∴ CF ∥平面 AEB (2)以 C 点为坐标原点,射线 CA,CB,CC1 为 x, y, z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz , 则 C(0,0,0), A(1,0,0), B1 (0, 2, 4) 设 E (0,0, m)(0 ? m ? 4) ,平面 AEB1 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) . 则 AB1 ? (?1,2,4), AE ? (?1,0, m) 由 AB1 ? n1 , AE ? n1 , 得 ?

????

??? ?

????

??? ?

?? x ? 2 y ? 4 z ? 0 ?? x ? mz ? 0

n1 ? (2m, m ? 4, 2)
∵ CA ? 平面 C1CBB1 ∴ CA 是平面 EBB1 的法向量,则平面 EBB1 的法向量

??? ?

??? ? n2 ? CA ? (1,0,0)
∵二面角 A-EB1-B 的平面角余弦值为

2 17 , 17
第 13 页,共 22 页



n ?n 2 17 2m ? cos(n1 , n2 ) ? 1 2 ? 2 17 | n1 || n2 | 4m ? (m ? 4) 2 ? 4

解得 m ? 1(0 ? m ? 4) ∴在棱 CC1 上存在点 E,符合题意,此时 CE ? 1
29 . 黑 龙江 省大 庆市 2013 届 高三 第二 次模 拟 考试数 学 (理 )试 题) 已知侧棱垂直于底面的三棱柱 (

ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等 , E 为 BC 中点, D 在棱 AA1 上,且 DE / / 平面 BAC1 . 1
(I)证明:平面 BDC1 ? 平面 BCC1B1 ; (II)求二面角 D ? BC1 ? A1 的余弦值.
A1 D B1 C1

A E B

C

【答案】解法 1:

(I)证明:取

BC1 中点为 F ,连结 EF , A1F .

A1 D B1 F A E B

C1

C

A DEF . ∵ EF ∥ CC1 , A1 D ∥ CC1 ,∴ EF ∥ A1 D ,且确定平面 1
∵ DE / / 平面

BAC1 , DE ? 平面 A1 DEF , 1

BAC 平面 A1 DEF ? 平面 1 1 ? A1 F ,
∴ DE / / A1 F , ∴四边形 A1 DEF 为平行四边形.

第 14 页,共 22 页

EF ?


1 AA1 2 ,∴ D 为 AA1 的中点

连结 DF , AE ,可知 DF / / AE .? E 为 BC 中点,∴ AE ? BC ,∵ BB1 ? 平面 ABC , ∴ BB1 ? AE ∵ BC ? BB1 ? B ,∴ AE ? 平面 BCC1 B1

∴ DF ? 平面 BCC1 B1 ,∵ DF ? 平面 DBC1 , ∴平面 DBC1 ? 平面 BCC1 B1 (II)如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设棱长为 2a .
z A1 D A x E B B1 C1

C

y

3a, a, 0 , C1 ? 0, 2a, 2a ? , D ? 0, 0, a ? A (0,0,2a) , 1 . ???? ? ???? ? ???? ? BC1 ? ? 3a, a, 2a , DC1 ? ? 0, 2a, a ? , A1C1 ? ? 0, 2a, 0 ? B

?

?

?

?

,

设平面

DBC1 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

?n1 ? BC1 ? 0, ?? 3ax ? ay ? 2az ? 0, ? 1 1 1 ? ? ?n ? DC1 ? 0, ?2ay1 ? az1 ? 0, 由? 1 即

DBC1 的一个法向量 n1 ? ( 3,?1,2) 取 x1 ? 3 ,得平面
同理设平面

A1BC1 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,

?n2 ? BC1 ? 0, ? ? ?n ? A C ? 0, A BC 由? 2 1 1 得平面 1 1 的一个法向量为 n2 ? (2,0, 3) ,

cos? ?
设所求二面角为 ? ,则 解法 2:

n1 ? n2 n1 n2

?

42 7

(I)设线段 AC 的中点为 O ,连接 OB . 以 OB 所在的直线为 x 轴, AC 所在的直线为
第 15 页,共 22 页

y 轴,

过点 O 平行于

AA1 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz

设棱柱的棱长为 2a , 则由已知可得: O(0,0,0) , A(0, ?a, 0) , B( 3a,0,0) , C (0, a,0) ,

A1 (0, ?a, 2a) , C1 (0, a, 2a) , D(0, ?a, a) ,

E(

3 1 a, a, 0) 2 2 ,

z
A1 B1
D

C1

???? ? DC1 ? (0,2a, a) , BC1 ? (? 3a, a,2a) ∴
设平面

BDC1 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则有
A

?m ? DC1 ? 0, ?2ay1 ? az1 ? 0, ? ? ? ? 3ax1 ? ay1 ? 2az1 ? 0, ?m ? BC1 ? 0, ? 即?
取 y1 ? 1 ,则 z1 ? ?2, x1 ? ? 3 ,∴ m ? (? 3,1,?2)

O
E

C

y

B

x

AE ? 平面BCC1B1 . ∴ 平 面 BCC1B1 的 法 向 量 为 连 接 AE , 则 由 已 知 条 件 可 知
??? ? ?? ??? ? 3 3 3a 3 3 3 EA ? (? a, ? a, 0) ? m ? EA ? (? 3,1, ?2) ? (? , ? a, 0) ? a ? a ? 0 2 2 2 2 2 2 . ,
∴ m ? EA , ∴平面

BDC1 ? 平面 BCC1B1

???? ? ???? ? BC1 A1 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) . ∵ BC1 ? (? 3a, a,2a) , AC1 ? (0, 2a,0) , 1 (II) 设平面
?n ? A1C1 ? 0, ?2ay2 ? 0, ? ? ? ? 3ax2 ? ay2 ? 2az2 ? 0, ?n ? BC1 ? 0, ∴? 即?
取 x2 ? 2 ,则 y2 ? 0, z 2 ? 3 ,∴ n ? (2,0, 3) 设二面角

D ? BC1 ? A1 的大小为 ? ,则由图形可知 ? 为锐角,且

?? ? m ? n ?2 3 ? 0 ? 2 3 42 cos ? ? ?? ? ? ? 7 8? 7 m n
42 D ? BC1 ? A1 的余弦值为 7 ∴二面角

.

30. (2013 年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学)如图,平面四边形 ABCD 的 4 个顶点都在球 O 的

表面上, AB 为球 O 的直径, P 为球面上一点,且 PO ? 平面 M 为 PA 的中点. (1) 证明:平面 PBC // 平面 ODM ; (2) 求平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值.
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ABCD , BC ? CD ? DA ? 2 ,点

P

M

C

B

O D A

【答案】 【命题意图】本小题通过立体几何的相关知识,具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平

行关系的判断以及二面角的求法等有关知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力,对学生的数形 结合思想的考查也有涉及,本题是一道立体几何部分的综合题,属于中档难度试题. 【试题解析】(1) 证明:

AB为圆O直径 ? ? ? BC ? CD ? DA ? 2 且 AB ? CD , BC ? CD ? DA?

则 CD 平行且等于 BO ,即四边形 OBCD 为平行四边形,所以 BC // OD .

AO ? BO ? ? ? ? OM // PB ? OD // 平面PBC ? AM ? PM ? ?? ? ? 平面ODM // 平面PBC OM // 平面PBC ? ?????????????????????????BC // OD ? ?
(2) 以 O 为 原 点 , BA 方 向 为 x 轴 , 以 平 面

A B C D内 过
z
P

O 点且垂直于 AB 方向为 y 轴 以 OP 方向为 z 轴,
坐标系. 则 P(0, 0, 2) , B(?2, 0, 0) , A(2, 0, 0) ,

建立如图所示

M

y
C B O

C(?1, ? 3,0) , D(1, ? 3,0) , ??? ? ??? ? 由 PB ? (?2,0, ?2) , BC ? (1, ? 3,0) ,
可知 n1 ? ( 3,1, ? 3) 由 PA ? (2,0, ?2) , AD ? (?1, ? 3,0) , 可知 n2 ? ( 3, ?1, 3) 则 cos ? ?

D

A

x

?? ?

??? ?

??? ?

?? ?

| 3 ? 3 ? 1? (?1) ? (? 3) ? 3 | 1 ? , 7 3 ?1? 3 ? 3 ?1? 3
1 . 7

因此平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为

31 .(河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题(word 版) )在四边形 ABC D 中,BC//AD,CD

//AD,AD=4,BC=CD=2,E、P 分别为 AD,CD 的中点(如图 1 ),将 Δ ABE 沿 BE 折 起,使二面角为 A-BE-C 直 二面角(如图 2).
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(I )如图 2,在线段 AE 上,是否存在一点M,使得PM//平面 ABC?若存在,请指出点M 的位置,并证明你的结论,若不存在, 请说明理由. (II)如图2,若H 为 线 段 A B 上 的 动 点 , 当 PH 与平面ABE 所成的角最大 时,求二 面角 H-PC-E 的余弦值.

【答案】解法一:(Ⅰ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,

PM∥平面 BCA , 取 EB 的中点 N,连接 PN,MN,则 MN∥BA,PN//CB, 所以平面 PMN//平面 ABC, 因为 PM 在平面 PMN 内, 所以 PM∥平面 ABC

(Ⅱ)连接 PH,NH ,可知 PN ? 平面ABE , 所以 PH 与平面 ABE 所成角为 ?PHN ,

PN , PN ? 2 , NH 所以当 NH ? AB 时, PH 与平面 ABE 所成角最大,
又 tan ?PHN ? 可得 BH ?

2 , 2

过 H 做 HR ? EB 交 EB 于 R , 则 HR ? 平面BCDE ,且 BR ? HR ?

1 , 2
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过 R 做 RG ? CD 垂足为 G ,连接 HG ,

则 HG ? CD , 所以 ?HGR 为二面角 H ? PC ? E 的平面角, 所以在直角 ?HRG 中 tan ?HGR ? 所以 cos ?HGR ?

HR 1 ? , RG 4

4 17 4 17 ,所以二面角 H ? PC ? E 的余弦值为 . 17 17

解法二:(Ⅰ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCA , 建立如图所示空间直角坐标系,则 A?0,0,2? , M ?0,0,1? , P?2,1,0? , B?0,2,0?

C ?2,2,0? , AB 中点 F ?0,1,1? ,
所以 PM ? ? ?2, ?1,1? , BC ? ?2,0,0? , AB ? ?0,2,?2? , EF ? ?0,1,1? 可知 EF ? BC ? 0 , EF ? AB ? 0 ,? EF ? 平面 ABC , 又 EF ? PM ? 0 ,

???? ?

? PM // 平面 ABC
(Ⅱ) 可知 P ( 2, 1,0 ),A(0,0,2),E(0,0,0),B(0,2,0), 设 H ( x,y,z ) ,则 BA ? ?0,?2,2? , BH ? ( x,y ? 2,z) , 设 BH ? ? BA ,则得 H (0,? 2?, ) , 2 2? 所以 PH ? (?2, 2?, ) ,因为点 P 到平面 ABE 的距离为定值 2, 1? 2? 所以当 PH 最小时 PH 与平面 ABE 所成角最大, 此时 PH ? BA ,即 PH ? BA ? 0 ,得 ? ?

1 3 1 ,所以 H (0, , ) , 2 2 4

? 所以 BH ? (0,

1 1 ,) , 2 2

设平面 PCH 的一个法向量为 n ? ( x0,y0,z0 ) ,
第 19 页,共 22 页

???? ??? ? 1 1 PC ? (0,1,0) , PH ? (?2, , ) 2 2

? y0 ? 0; ??? ? ???? 1 ? 则由 n ? PC ? 0 , n ? PH ? 0 ,可得 ? ,则 n ? ( ,0, , 2) 1 1 2 ?2 x ? y ? z ? 0. ? ? 2 2
平面 PBE 的一个法向量为 EA ? ?0,0,2? , 设二面角 H ? PC ? E 的大小为 ? ,

??? ? n ? EA 4 17 则 cos ? ? . ??? ? ? 17 n ? EA

32. 吉林省吉林市 2013 届高三三模 ( (期末) 试题 数学理 ) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,

四边形 ABCD 是直角梯形, AB ⊥ BC , AB ∥ CD , AB ? 2 BC ? 2CD ? 2 . (Ⅰ)求证:平面 PBC ⊥平面 PAB; (Ⅱ)若二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ?

2 ,求 PA . 3

P

B C D

A

【答案】解:(Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD, BC?平面 ABCD,∴PA⊥BC,

又 AB⊥BC,PA∩AB=A, ∵BC?平面 PBC,

∴BC⊥平面 PAB,

∴平面 PBC⊥平面 PAB (Ⅱ)以 A 为原点,AB 为 x 轴、AP 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz. 则 B (2,0,0),C (2,1,0),D (1,1,0). z 设 P (0,0,a)(a>0), 则→=(0,1,0),→=(2,1,-a), BC PC →=(1,0,0) DC 设 n1=(x1,y1,z1)为面 BPC 的一个法向量, 则 n1·→=n1·→=0, BC PC
?y1=0, 即? ?2x1+y1-az1=0, B x C D y A P

取 x1=a,y1=0,z1=2,得 n1=(a,0,2). 同理,n2=(0,a,1)为面 DPC 的一个法向量 |n1·n2| 2 2 依题意, |cos ?n1,n2?|= = = , |n1||n2| (a2+4)(a2+1) 3
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解得 a =2,或 a =-7(舍去),所以 PA = 2
33. (吉林省实验中学 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱

2

2

柱) ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 5, AC ? 4, BC ? 3 , AA1 ? 4 ,点 D 在 AB 上. (Ⅰ)若 D 是 AB 中点,求证: AC1 ∥平面 B1CD ; (Ⅱ)当

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 5
C1 A1

B1

C B D

A

【答案】证明:(1)证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,DE.

∵ 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, ∴侧面 B B1C1C 为矩形,DE 为△ABC1 的中位线, ∴ DE// AC1. 因为 ∵DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD, ∴AC1∥平面 B1CD. (2)∵ AC⊥BC, 所以如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz.

则 B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 0, c),B1 (3, 0, 4). 设 D (a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ), ∵点 D 在线段 AB 上,且 ∴a ?

??? 1 ??? ? ? BD 1 ? , 即 BD ? BA . AB 5 5

12 4 ,b ? . 5 5 ??? ? 12 4 ???? ??? ? 所以 B1C ? (?3,0, ?4) , BA ? (?3, 4,0) , CD ? ( , , 0) . 5 5
平面 BCD 的法向量为. n ? ?0,0,1?
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设平面 B1 CD 的法向量为 n 2 ? ( x, y,1) ,

?? ?

? ?3x ? 4 z ? 0 ???? ?? ? ??? ?? ? ? ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ?12 , [来源:Zxxk.Com] 4 x? y ?0 ?5 5 ? ?? ? 4 4 所以 x ? ? , y ? 4 , n2 ? ( ? , 4,1) . 3 3
? ? a ?b 3 设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? , cos ? ? ? ? ? . a b 13
所以二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为

3 . 13

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