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2016届上海市杨浦区高三一模数学试卷(word版)


FunshineMaths 峰行数学

上海市杨浦区 2016 届高三一模数学试卷
2016.01 一. 填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分) 1. 已知矩阵 A ? ?

? 1 0? ?2 4 ? ? ,则 A ? B ? ?,B ?? ? 1 ?3 ? ? ?1 2 ?

; ; ;



2.(文)已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} ,则集合 CU A ? (理)已知全集 U ? R ,集合 A ? {x |

x ?1 ? 0} ,则集合 CU A ? x?2

3. 已知函数 f ( x) ? log 3 ( ? 2) ,则方程 f ?1 ( x) ? 4 的解 x ?

4 x

4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为 4 米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需 要白布 平方米;

5. (文)无穷等比数列 {an } (n ? N * ) 的首项 a1 ? 1 ,公比 q ?

1 ,则前 n 项和 Sn 的极限 3 1 ,则首项 a1 的取值范 2

lim S n ?
n ??



(理)无穷等比数列 {an } (n ? N * ) 的前 n 项的和是 Sn ,且 lim S n ?
n ??

围是

; ; ; ;

6. 已知虚数 z 满足 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则 | z | ? 7. 执行如图所示的流程图,则输出 S 的值为 8.(文) (1 ? 3 x )8 展开式中 x 的系数为

(理)学校有两个食堂,现有 3 名学生前往就餐,则 三人不在同一食堂就餐的概率为 ;

9.(文)学校有两个食堂,现有 3 名学生前往就餐, 则三人在同一食堂就餐的概率为 ;

(理) (1 ? 3 x )n 展开式的二项式系数之和为 256,则 展开式中 x 的系数为 ;

10. (文) 若数 a1 、a2 、a3 、a4 、a5 的标准差为 2, 则数 3a1 ? 2 、3a2 ? 2 、3a3 ? 2 、3a4 ? 2 、

3a5 ? 2 的标准差为



(理)若数 a1 、a2 、a3 、a4 、a5 的标准差为 2,则数 3a1 ? 2 、3a2 ? 2 、3a3 ? 2 、3a4 ? 2 、

3a5 ? 2 的方差为



11. 如图,在矩形 OABC 中,点 E 、 F 分别在线段

AB 、 BC 上,且满足 AB ? 3 AE , BC ? 3CF ,若

??? ? ??? ? ??? ? OB ? ?OE ? ?OF (? , ? ? R) ,则 ? ? ? ?
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12.(文)已知 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? ,当 x ? [?2,2] 时不等式 f ( x ? a) ? f (2a ? x) 2 ? x ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ?


恒成立,则实数 a 的最小值是

2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0 (理) 已知 f ( x) ? ? 2 , 当 x ?[ aa , 1 ? ] 时不等式 f ( x ? a) ? f (2a ? x) 恒 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 成立,则实数 a 的最大值是 ; ? 13.(文)抛物线 C 的顶点为原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为 的直线 l 4 交抛物线于点 A 、 B ,若 AB ? 8 ,则抛物线 C 的方程为 ; ? (理)抛物线 C 的顶点为原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为 的直线 l 交 4 抛物线于点 A 、 B ,若 AB 中点的横坐标为 3,则抛物线 C 的方程为 ;

14.(文)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 ,当 x ? 0 时,

f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) ,若直线 y ? kx 与函数 y ? f ( x) 的图像恰有 7 个不同的公共点,则
实数 k 的取值范围是 ;

2 (理)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,当 x ? 0 时,

f ( x ? 1) ? f ( x )? f (1) ,若直线 y ? kx 与函数 y ? f ( x) 的图像恰有 11 个不同的公共点,
则实数 k 的取值范围是 ;

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 15. 下列四个命题中,为真命题的是(
2 2 A. 若 a ? b ,则 ac ? bc

) B. 若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d D. 若 a ? b ,则

C. 若 a ? | b | ,则 a ? b
2

2

16. 设 a 、 b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ A. 充分不必要条件 C. 充要条件

?

?

?
6

1 1 ? a b

?? ?

?

3

”是“ | a ? b | ?1 ”的(

? ?



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) B. 若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n

17.(文)对于平面 ? 和两条直线 m 、 n ,下列命题中真命题是( A. 若 m ? ? , m ? n ,则 n ∥ ? C. 若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m ∥ n D. 若 m ? ? , m ∥ n ,且 n ? ? ? ,则 n ∥ ?

(理)对于两个平面 ? 、 ? 和两条直线 m 、 n ,下列命题中真命题是( A. 若 m ? ? , m ? n ,则 n ∥ ? C. 若 m ∥ ? , n ∥ ? , ? ? ? ,则 m ? n D. 若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? n 资料整理 sh-maths



B. 若 m ∥ ? , ? ? ? ,则 m ? ?

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18. 下列函数中,既是偶函数,又在 (0, ? ) 上递增的函数的个数是( ① y ? tan | x | A. 1 个 ② y ? cos(? x) B. 2 个 ③ y ? sin( x ? C. 3 个 )

?
2

)

④ y ? | cot D. 4 个

x | 2

三. 解答题(本大题共 5 题,共 12+14+14+16+18=74 分) 19. 如图,某人打算做一个金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充;已知金字塔 的每一条棱和边都相等; (1)求证:直线 AC 垂直于直线 SD ; (2)若搭边框共使用木料 24 米,则需要多少立方米的填充材料才能将金字塔内部填满?

20. 某农场规划将果树种在正方形的场地内,为了保护果树不被风吹,决定在果树的周围种 松树;在下图里,你可以看到规划种植果树的列数 ( n ) ,果树数量及松树数量的规律:

(1) 按此规律,n ? 5 时果树数量及松树数量分别为多少; 并写出果树数量 an 及松树数量 bn 关于 n 的表达式; (2)定义: f (n ? 1) ? f (n) (n ? N * ) 为 f ( n) 增加的速度;现农场想扩大种植面积,问: 哪种树增加的速度会更快?并说明理由;

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21. 如图,在一条景观道的一端有一个半径为 50 米的摩天轮 O ,逆时针 15 分钟转一圈,从

A 处进入摩天轮的座舱,OA 垂直于地面 AM , 在距离 A 处 150 米处设置了一个望远镜 B ;
(1)同学甲打算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱 5 分钟 后, 在座舱内向其母亲挥手致意, 而其母亲则在望远镜 B 中仔细观看; 问望远镜 B 的仰角 ? 应调整为多少度?(精确到 1 度) (2)在同学甲向其母亲挥手致意的同时,同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿 化带 BD ,发现取景的视角 ? 恰为 45 ,求绿化带 BD 的长度; (精确到 1 米)
?

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 T : ? ? 1(b ? c ? 0) 组 ( a ? b ? 0) 和 2 a 2 b2 b2 c 2 成,当 a, b, c 成等比数列时,称曲线 ? 为“猫眼曲线” ;
22. 如图,曲线 ? 由两个椭圆 T1 : (1)若猫眼曲线 ? 过点 M (0, ? 2) ,且 a, b, c 的公比为

2 ,求猫眼曲线 ? 的方程; 2 kOM 为与 k 无关的定值; kON

(2)对于(1)中的猫眼曲线 ? ,任作斜率为 k (k ? 0) 且不过原点的直线与该曲线相交, 交 T1 所得弦的中点为 M ,交 T2 所得弦的中点为 N ,求证:

(3)若斜率为 2 的直线 l 为 T2 的切线,且交 T1 于点 A 、 B , N 为 T1 上的任意一点(不与 点 A 、 B 重合) ,求△ ABN 面积的最大值;

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23. 已知函数 f ( x ) ( x ? D) ,若存在常数 T (T ? 0) ,对任意 x ? D 有 f ( x ? T ) ? T ? f ( x) , 则称函数 f ( x ) 为 T 倍周期函数; (1)判断 h( x) ? x 是否是 T 倍周期函数,并说明理由; (2)证明 g ( x) ? ( ) 是 T 倍周期函数,且 T 的值是唯一的;
x

1 4

(3) (文)若 f ( n) (n ? N * ) 是 2 倍周期函数, f (1) ? 1 , f (2) ? ?4 ,Sn 表示 f ( n) 的前 n 项和, Cn ?

S2 n ,求 lim Cn ; n ?? S2 n ?1

(理)若 f ( n) (n ? N * ) 是 2 倍周期函数, f (1) ? 1 , f (2) ? ?4 , Sn 表示 f ( n) 的前 n 项 和, Cn ?

S2 n ,若 Cn ? loga (a ? 1) ? 10 恒成立,求 a 的取值范围; S2 n ?1

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