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2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件:第一部分 专题3 导数(Ⅰ)


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第 一 部 分

专 题 3

小题基础练清
增分考点讲透 配套专题检测

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导数作为研究函数的重要工具,同时也是学习高等数学的 基础,一直受到命题者的青睐.2008年考了2小题,并在17题中 进行了考查(运用导数求

三角函数的最值);2009年考了2小题, 都是考查三次函数的导数,显然重复;2010年第8题和压轴题 都考查了导数;2011年12题和19题;2012年14题和18题.可以看 出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几何意义或者导数的

四则运算以及利用导数研究极值、单调性等.
预测在2013年的高考题中: (1)导数的几何意义; (2)利用导数研究函数的单调性或者极值、最值.
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1.(2009· 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y

=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切
线的斜率为2,则点P的坐标为________.

解析:y′=3x2-10=2?x=±2,又点P在第二象限内,故x
=-2.点P的坐标为(-2,15).

答案:(-2,15)

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2.(2010· 江苏高考)函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2)处的切线 k 与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+ a5=________.
2 解析:在点(ak,a 2 )处的切线方程为y-a k =2ak(x-ak),当y= k

ak ak 0时,解得x= 2 ,所以ak+1= 2 .则a1+a3+a5=16+4+1=21.
答案:21

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3.若函数f(x)=ex-2x-a在R上有两个零点,则实数a的取值 范围是________. 解析:当直线y=2x+a和y=ex相切时,仅有一个公共点, 这时切点是(ln 2,2),直线方程是y=2x+2-2ln 2,将直线y

=2x+2-2ln 2向上平移,这时两曲线必有两个不同的交
点. 答案:(2-2ln 2,+∞)

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4.(2010· 江苏高考)将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行 于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S= ?梯形的周长?2 ,则S的最小值是________. 梯形的面积

解析:设剪成的小正三角形的边长为x,则
2 ?3-x?2 4 ?3-x? S= = · (0<x<1). 1 3 3 1-x2 2?x+1?·2 ?1-x?

法一:利用导数求函数最小值. 4 ?3-x? S(x)= · , 3 1-x2
2

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?1-x2?-?3-x?2· ?-2x? 4 ?2x-6?· S′(x)= · ?1-x2?2 3 4 -2?3x-1??x-3? = · . ?1-x2?2 3 1 令S′(x)=0,又0<x<1,所以x=3.
? ?1 ? 1? 当x∈?0,3?时,S′(x)<0,函数单调递减;当x∈?3,1?时, ? ? ? ?

S′(x)>0,函数单调递增; 1 32 3 故当x=3时,S取最小值为 3 .

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法二:利用函数的方法求最小值. 1 ?1 1? 令3-x=t,t∈(2,3), t ∈?3,2?,则 ? ? S= 4 t2 4 1 · = · . 3 -t2+6t-8 3 8 6 -t2+ t -1

1 3 1 32 3 故当 t =8,x=3时,S取最小值为 3 .

答案:

32 3

3

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5.(2011· 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数 f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在P处的切线l交y轴于 点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵 坐标为t,则t的最大值是________. 解析:设P(x0,e x0),则l:y-e x0=e x0(x-x0), 所以M(0,(1-x0)e x0).过点P作l的垂线其方程为 y-e x0 =-e -x0 (x-x0),N(0,e x0 +x0e -x0),

1 所以t= [(1-x0)e x0+ex0 +x0e -x0 ] 2
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=e

x0

1 +2x0(e -x0 -e x0 ).

1 x0 t′=2(e +e -x0 )(1-x0), 所以 t 在(0,1)上单调增, 在(1, +∞) 1? 1? 上单调减,所以当 x0=1 时,t 取最大值 tmax=2?e+ e?. ? ?

1? 1? 答案:2?e+e? ? ?

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[典例1]

(2012· 扬州调研)已知函数f(x)=ex+ax,g(x)=ex ln x(e是自

然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线也是抛物线y2=4(x-1)的 切线,求a的值; (2)若对于任意x∈R,f(x)>0恒成立,试确定实数a的取值 范围; (3)当a=-1时,是否存在x0∈(0,+∞),使曲线C:y=g(x) -f(x)在点x=x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等?若存

在,求符合条件的x0的个数;若不存在,请说明理由.
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[解]

(1)f′(x)=ex+a,f′(1)=e+a,所以在x=1处的切线

为y-(e+a)=(e+a)(x-1),
即y=(e+a)x. 与y2=4(x-1)联立,消去y得 (e+a)2x2-4x+4=0, 由Δ=0知,a=1-e或a=-1-e.

(2)f′(x)=ex+a,
①当a>0时,f′(x)>0,f(x)在R上单调递增,且当x→-∞时, ex→0,ax→-∞,

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所以f(x)→-∞,故f(x)>0不恒成立, 所以a>0不合题意; ②当a=0时,f(x)=ex>0对x∈R恒成立, 所以a=0符合题意;

③当a<0时,令f′(x)=ex+a=0,得x=ln(-a),当x∈(-∞,
ln(-a))时,f′(x)<0;当x∈(ln(-a),+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在 (-∞,ln(-a))上单调递减,在(ln(-a),+∞)上单调递增,所 以f(x)min=f(ln(-a))=-a+a ln(-a)>0,所以a>-e.又a<0,所 以a∈(-e,0).

综上a的取值范围为(-e,0].
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(3)当a=-1时,由(2)知f(x)min=f(ln(-a))= -a+a ln(-a)=1. 设h(x)=g(x)-f(x)=ex ln x-ex+x, 1 x 则h′(x)=e ln x+e ·-e +1 x
x x

=e

x

? ?ln ?

? 1 x+x-1?+1, ?

假设存在实数x0∈(0,+∞),使曲线C∶y=g(x)-f(x)在点x =x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等,x0即为方程的解,

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令h′(x)=1得,e
x

x

? ?ln ?

1 ? x+x-1?=0, ?

1 因为e >0,所以ln x+x-1=0. 1 1 1 x-1 令φ(x)=ln x+x-1,则φ′(x)=x-x2= x2 , 当0<x<1时,φ′(x)<0;当x>1时,φ′(x)>0.所以φ(x)=ln x + 1 x -1在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.所以
x

φ(x)>φ(1)=0,故方程e

? ?ln ?

? 1 x+x-1?=0有惟一解为1. ?

所以存在符合条件的x0,且仅有一个x0=1.
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第一问考查导数的几何意义;第二问还可采用分离参数构造
函数求最值的方法,不过也要进行讨论;第三问先求f(x)的最小 值,然后再研究函数h(x)=g(x)-f(x)=exln x-ex+x在x=x0处 的切线斜率,最后利用函数与方程思想,把方程实根的问题转化 为函数的零点问题.

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[演练1] 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a.如果直线l同时是 C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间 的线段,称为公切线段. (1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线 的方程; (2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平 分.

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解:(1)函数y=x2+2x的导数y′=2x+2曲线C1在点P(x1,x 2 + 1 2x1)的切线方程是 y-(x2+2x1)=(2x1+2)(x-x1), 1 即y=(2x1+2)x-x2.① 1 2 函数y=-x +a的导数y′=-2x,
曲线C2在点Q(x2,-x2+a)的切线方程是 2 y-(-x2+a)=-2x2(x-x2), 2 即y=-2x2x+x2+a.② 2 如果直线l是过P和Q的公切线, 则①式和②式都是l的方程.
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?x1+1=-x2, ? 所以? ?-x2=x2+a. ? 1 2

消去x2得方程2x2+2x1+1+a=0. 1 1 当判别式Δ=4-4×2(1+a)=0,即a=-2时, 1 1 解得x1=-2,x2=-2,此时点P与Q重合. 1 即当a=-2时C1和C2有且仅有一条公切线, 1 由①得公切线方程为y=x-4.
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1 (2)证明:由(1)可知,当a<-2时C1和C2有两条公切线. 设一条公切线上切点为P(x1,y1),Q(x2,y2), 其中P在C1上,Q在C2上,则有x1+x2=-1, y1+y2=x2+2x1+(-x2+a)=x2+2x1-(x1+1)2+a=-1+a, 1 2 1
? 1 -1+a? ? 线段PQ的中点为?- , . ? 2 2 ? ? ? ? 1 -1+a? ? 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是?- , ? 2 ?. 2 ? ?

所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.

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[典例2] (2012· 苏锡常镇一调)若斜率为k的两条平行直线l,m经过曲 线C的端点或与曲线C相切,且曲线C上的所有点都在l,m之间 (也可在直线l,m上),则把l,m间的距离称为曲线C在“k方向上 的宽度”,记为d(k). (1)若曲线C:y=2x2-1(-1≤x≤2),求d(-1); (2)已知k>2,若曲线C:y=x3-x(-1≤x≤2),求关于k的函 数关系式d(k).

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解:(1)y=2x2-1(-1≤x≤2)的端点 为A(-1,1),B(2,7),
? 1 7? ∵y′=4x,由y′=-1得到切点为?-4,-8?, ? ?

∴当k=-1时,与曲线C相切的直线只有一条.
结合题意可得,两条平行直线中一条与曲线C:y=2x2- 1(-1≤x≤2)相切,另一条直线过曲线的端点B(2,7). 9 ∴平行的两条直线分别为:x+y-9=0和x+y+8=0. 81 2 由两条平行线间的距离公式可得,d(-1)= 16 .
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(2)曲线 C:y=x3-x(-1≤x≤2)的端点 A(-1,0), B(2,6), ∴y′=3x2-1∈[-1,11]. 下面分两种情况: ①当 k≥11 时,两条直线都不是曲线的切线, 且分别经过点 A(-1,0),B(2,6),此时两条直线方程分别为 l:y 3k-6 =k(x+1),m:y-6=k(x-2),所以 d(k)= 2; 1+k ②当 2<k<11 时,设切点 N(a,a3-a)得到 k=3a2-1>2 且 1+k -1≤a≤2 得到 1<a≤2,且 a= 3 从而推出 l,m 当中有一 条与曲线 C 相切,有一条经过一点,且是经过 A(-1,0)的直
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线,和以 B(2,6)为切点的直线,方程分别为 l:y=k(x+1), m:y=(3a2-1)(x-a)+a3-a=kx- 9 (1+k) ,所以 d(k)= 9k+2 3?1+k? . 9 1+k2 ? 3k-6 ? ,k≥11, 1+k2 ? 3 综上得 d(k)=? ?9k+2 3?1+k? 2 ,2<k<11. ? 2 9 1+k ?
3 2

2

3

3 2

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本题是一个即时定义问题,背景新颖,在解决第二问时要 注意将k看成一个常数,对k进行讨论,探究出两条直线与曲线 C的关系是都相切还是都是经过点还是一个相切一个经过点,

并且了解经过哪个点.这些都可以利用导数这个工具解决.
[演练2] 1 设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2)) x+b 处的切线方程为 y=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
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? ?2a+ 1 =3, 2+b ? 1 解:(1)f′(x)=a- ,于是? ?x+b?2 ?a- 1 =0. 2 ? ? ?2+b? 9 ? ?a=1, ?a=4, ? 解得? 或? ?b=-1, ? ?b=-8. 3 ? 1 因为a,b∈Z,故f(x)=x+ . x-1

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? 1 ? ? (2)证明:在曲线上任取一点?x0,x0+x -1?, ? 0 ? ?

1 由 f′(x0)=1- 2知,过此点的切线方程为 ?x0-1?
2 1 ? x0-x0+1 ? ? y- =?1-?x -1?2?(x-x0). ? x0-1 0 ? ?

? x0+1? x0+1 ? ? 令 x=1,得 y= ,切线与直线 x=1 的交点为?1, ?; x0-1? x0-1 ?

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令 y=x,得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1). 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1).
? 1 ?x0+1 1 ? ? -1? |2x0 - 1 - 1| = 从而所围三角形的面积为2? 2 x0-1 ? ? ? ? ? ?

2 ? ? x0-1?|2x0-2 |=2. ?

所以所围三角形的面积为定值 2.

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[典例3] (2012· 泰州中学期中)已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R) 在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1, 2 都有|f(x1) x -f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M(2, m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线, 求实 数 m 的取值范围.

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解:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3.
?f?1?=-2, ? 根据题意,得? ?f′?1?=0, ? ?a+b-3=-2, ? 即? ?3a+2b-3=0, ? ?a=1, ? 解得? ?b=0. ?

所以f(x)=x3-3x.

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(2)令f′(x)=0,即3x2-3=0,得x=±1.
x f′(x) -2 (-2,-1) + -1 0 (-1,1) - 1 0 (1,2) + 2

f(x)

-2



极大值



极小值



2

因为f(-1)=2,f(1)=-2, 所以当x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2. 则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1) -f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,所以c≥4, 即c的最小值为4.
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(3)因为点M(2,m)(m≠2)不在曲线y=f(x)上,所以可设切
2 点为(x0,y0).因为f′(x0)=3x2-3,所以切线的斜率为3x0-3. 0

x3-3x0-m 0 则3x2-3= , 0 x0-2 即2x3-6x2+6+m=0. 0 0 因为过点M(2,m)(m≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线,所以 方程2x3-6x2+6+m=0有三个不同的实数解. 0 0 所以函数g(x)=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点.

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则g′(x)=6x2-12x.令g′(x)=0,则x=0或x=2.

x g′(x) g(x)

(-∞,0) + ?

0 0 极大值

(0,2) - ?

2 0 极小值

(2,+∞) + ?

?g?0?>0, ? 则? ?g?2?<0, ?

?6+m>0, ? 即? ?-2+m<0, ?

解得-6<m<2.

所以m的取值范围为(-6,2).

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本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、极值、最值等

问题,一、二两问中规中矩,掌握好计算方法即可,第三问主
要能够将“若过点M(2,m)(m≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线”转 化成“关于切点横坐标x0的方程2x-6x+6+m=0有三个不同的 实数解”,问题就迎刃而解了.
[演练3] (2012· 南京一模)已知函数 f(x)=x-1-ln x. (1)求函数 f(x)的最小值; (2)求证:当 n∈N*时,e
1 1 1 1+ ? + ??+ 2 3 n

>n+1;
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(3)对于函数 h(x)和 g(x)定义域上的任意实数 x, 若存在常数 k, b, 使得不等式 h(x)≥kx+b 和 g(x)≤kx+b 都成立,则称直线 y=kx 1 2 +b 是函数 h(x)与 g(x)的“分界线”.设函数 h(x)=2x ,g(x)=e[x -1-f(x)], 试问函数 h(x)与 g(x)是否存在“分界线”?若存在, 求 出常数 k,b 的值;若不存在,说明理由.

解:(1)∵f(x)=x-1-ln x(x>0), 1 x-1 ∴f′(x)=1-x= x . 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增. ∴f(x)的最小值为 f(1)=0.
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(2)证明:由(1)知当 x>0 时,恒有 f(x)≥0, 即 x-1≥ln x. 故 ex-1≥x,从而有 ex≥x+1,当且仅当 x=0 时取等号.分别
1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 2 令 x=1, , ,?,n可得 e >1+1=2,e > +1= ,e > +1 2 3 2 2 3 1 n+1 4 1 n = ,?,e >n+1= n , 3 1 1 1 1+ ? + ??+ 2 3 n

相乘可得 e e
1 1 1 1+ ? + ??+ 2 3 n

n+1 3 4 >2× × ×?× n = n + 1 , 即 2 3

>n+1.

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1 2 (3)令F(x)=h(x)-g(x)=2x -eln x(x>0), e ?x+ e??x- e? 则F′(x)=x-x= , x 当x∈(0, e)时,F′(x)<0,F(x)递减; 当x∈( e,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增. 所以当x= e时,F(x)取得最小值0. 则h(x)与g(x)的图象在x=
? e处有公共点? ?

e? e,2?. ?

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e 设函数 h(x)与 g(x)存在“分界线”,方程为 y-2=k(x- e), e 应有 h(x)≥kx+2-k e在 x∈R 时恒成立, x2-2kx-e+2k e 即 ≥0 在 x∈R 时恒成立, 必须 Δ=4k2-4(2k e-e)=4(k- e)2≤0,得 k= e. e 下证 g(x)≤ ex-2在 x>0 时恒成立, e 记 G(x)=eln x- ex+2,

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e- ex e 则 G′(x)=x- e= x ,当 x∈(0, e)时,G′(x)>0,G(x) 递增;当 x∈( e,+∞)时 G′(x)<0,G(x)递减. 所以当 x= e时,G(x)取得最大值 0, e 即 g(x)≤ ex-2在 x>0 时恒成立. 综上可知,函数 h(x)与 g(x)存在“分界线”,其中 k= e,b= e -2.
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[专题技法归纳] (1)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围和符号. (2)可以利用导数求曲线的切线方程,由于函数y=f(x)在x= x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率,因此,曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程可如下求得: ①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y =y0+f′(x0)(x-x0).

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