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决战2016届高考数学附加题冲刺卷九


江苏省 2016 届高考数学附加题冲刺卷九
附加题部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 1.矩阵变换(本题满分 10 分)已知矩阵 M ? ?

?2 ?2

3? ,求矩阵 M 的特征值与特征向量 1? ?

2. C.圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? r 2 与椭圆 ?

>? x ? 2 cos? 有公共点,求圆的半径 r 的取值范围 ? y ? sin ?

1

3.如图所示在直角梯形 OABC 中 ?COA ? ?OAB ?

?
2

, OA ? OS ? AB ? 1, OC ? 2

点 M 是棱 SB 的中点,N 是 OC 上的点,且 ON:NC=1:3,以 OC,OA,OS 所在直线建立空间 直角坐标系 O ? xyz (1) 求异面直线 MM 与 BC 所成角的余弦值; (2) 求 MN 与面 SAB 所成的角的正弦值.

S

M

O
N

A

C

B

4.盒子中装着有标数字 1,2,3,4,5 的上卡片各2张,从盒子中任取3张卡片,按3张卡片上最大数 字的 8 倍计分,每张卡片被取出的可能性都相等,用 ? 表示取出的 3 张卡片上的最大数字,求: (1)取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ? 的概率分布和数学期望; (3)计分不小于20 分的概率.

2

解:矩阵 M 的特征多项式为

f (? ) ?

? ?2 ?3 ? (? ? 2)(? ? 1) ? 6 …………………分 ? 2 ? ?1

令 f (? ) ? 0 得矩阵 M 特征值为: ?1 ? 4, ?2 ? ?1…………………分 将 ? =4 代入方程: ?

?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ?? 2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?3k ? ? (k ? R, k ? 0) …………………分 ?2k ?

可得矩阵 M 属于特征值 4 的特征向量为 ?

同理属于特征值-1 的特征向量为 ?

?k ? ? (k ? R, k ? 0) …………………分 ?? k ?

解:将 ?

? x ? 2 cos? 代入圆方程得 ? y ? sin ?

2 2 r 2 ? (2 cos? ? 1) 2 ? sin 2 ? = 3(cos ? ? ) 2 ? 3 3
于是

2 6 ? r 2 ? 9,? r ? 0, ? 半径r的取值范围是[ ,3] 3 3 1 1 1 , , ) 2 2 2

解(1)根据题意可得: 解:如图建系,则 S(0,0,1) C(2,0,0) A(0,1,0) B(1,1,0) 所以 N (1,0,0) M(

(1) MN ? ( ,0, )

1 2

1 2

CB ? (1,?1,0)

cos ? MN , CB ??

MN ? CB | MN ? CB |

?

1 2 ?1 2 1 2 2

1 ? 直线 MN 与BC 所 成 角 的 余 弦 值 为 2
(2)设平面 SAB 的一个法向量为 n ? (a, b, c) 则 n ? SB ? (a, b, c) ? (1,1,?1) ? a ? b ? c ? 0 令 b ? 1可 得 法 向 n 量 ? (0,1,1)

n ? SA ? (a, b, c) ? (0,1,?1) ? b ? c ? 0
MN ? n | MN ? n |

cos ? MN , n ??

?

1 2 ?1 2 1 2 2

1 ? 直线 MN 与面 SAB 所 成 角 的 正 弦 值 为 2

解: (1)记"一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件"为A,

3

则 P( A) ?

3 1 1 1 C5 C2 C2 C2 2 ? . 3 3 C10

(2)由题意 ? 有可能的取值为:2,3,4,5
2 1 1 2 2 1 1 2 C2 C2 ? C2 C2 C4 C2 ? C4 C2 1 2 P(? ? 2) ? ? . P(? ? 3) ? ? . 3 3 30 15 C10 C10 2 1 1 2 1 1 2 C6 C 2 ? C6 C2 C82 C2 ? C8 C2 3 8 P ( ? ? 5 ) ? ? . ? . 3 3 10 15 C10 C10

P(? ? 4) ?

所以随机变量 ? 的概率分布为:

?










2 3 8 15 10 15 1 2 3 8 13 所以 ? 的数学期望为E ? = 2 ? +3? +4? +5? = 15 10 15 3 30
(3)"一次取出的3张卡片所得分不低于20分"为事件C

1 30

P(C ) ? 1 ? P(? ? 2) ? 1 ?

1 29 ? 30 30

4


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