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必修一第二章基本初等函数


第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根, * 其中 n >1,且 n ∈ N .
n

?

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
n n

当 n 是奇数时,

n a n ? a ,当 n 是偶数时, a ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)



a

m ? n

?

1 a
r

m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r ?s

(a ? 0, r, s ? R) ;
(2) (a ) ? a
r s r rs

(a ? 0, r, s ? R) ;
(3) (ab) ? a a
r s

(a ? 0, r, s ? R) .
(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
x
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

注意: 利用函数的单调性, 结合图象还可以看出: (1) 在[a, b]上,

f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)]或 [f (b), f (a )]; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ;f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ;
(3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫
x

做以 .a 为底 ..N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真 数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ 3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数: 1 ○ 2 ○ ? 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . 指数式与对数式的互化 幂值 真数

loga N

ab = N ? log a N = b
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○

M ? loga M - loga N ; N 3 loga M n ? n loga M ( n ? R ) . ○
2 log a ○ 注意:换底公式

loga b ?

logc b (a ? 0, 且 a ? 1 ;c ? 0 , 且 c ? 1 ;b ? 0 ) . logc a
1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函 数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意 辨别。如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称
5

其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) .

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

1、幂函数定义:一般地, 形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数, 其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是 增函数. 特别地, 当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸; 当 0 ? ? ? 1时, 幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一 象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴 正半轴, 当 x 趋于 ? ? 时, 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

?


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