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高一数学必修二各章知识点总结1


数学必修 2 知识点
1. 多面体的面积和体积公式
名称 棱 柱 棱 锥 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 ch′ 棱台 棱 台 各侧面面积之和 S 侧+S 上底+S 下 底 + h(S 上底+S 下底 ) 侧面积(S 侧) 直截面周长×l Ch 各侧面面积之和 S 侧+S 底 S 底·h 全面积(S 全) S 侧+2S 底 体 积(V) S 底·h=S 直截面·h S 底·h

正棱台

(c+c′)h′

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表示高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。

2. 旋转体的面积和体积公式
名称 S侧 S全 圆柱 2π rl 2π r(l+r) 圆锥 π rl Π r(l+r) 圆台 π (r1+r2)l π ( r1+r2 ) l+ π (r21+r22) 4π R2 球

V

π r2h (即π r2l)

π r2h

π h(r21+r1r2+r22)

π R3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台上、下底面半径,R 表示半径。

3、平面的特征:平的,无厚度,可以无限延展.

4、平面的基本性质:
公理 1、若一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

?? l , ?? l , ??? , ??? ? l ? ?

?, ?, C三点不共线 ? 有且只有一个平面? , 使??? , ??? , C ??
公理 3、若两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

??? ? ? ? ? ? ? ? l且?? l
推论 1、经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 推论 2、经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3、经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.
1

a // b, b // c ? a // c

5、等角定理:空间中若两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 6、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 数学符号表示: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示: a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b

7、平面与平面平行的判定定理: (1)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 数学符号表示: a ? ? , b ? ? , a ? b ? ?, a // ? , b // ? ? ? // ? (2)垂直于同一条直线的两个平面平行. (3)平行于同一个平面的两个平面平行. 面面平行的性质定理: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. (2)若两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 符号表示: a ? ? , a ? ? ? ? // ? 符号表示: ? // ? , ? // ? ? ? // ?

? // ? , a ? ? ? a // ?

? // ? ,? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b

8、直线与平面垂直的判定定理: (1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 数学符号表示: m ? ? , n ? ? , m ? n ? ?, l ? m, l ? n ? l ? ? (2)若两条平行直线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. (3)若一条直线垂直于两个平行平面中一个,那么该直线也垂直于另一个平面. 直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.

a // b, a ? ? ? b ? ?

? // ? ,a ? ? ? a ? ?
a ? ? , b ? ? ? a // b

9、两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. a ? ? , a ? ? ? ? ? ? 平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示: ? ? ? , ? ? ? ? b, a ? ? , a ? b ? a ? ?

10、直线的倾斜角和斜率: (1)设直线的倾斜角为 ? 0 ? ? ? 180 ,斜率为 k ,则 k ? tan ? ? ? ?
? ?

?

?

? ?

?? ? ? .当 ? ? 时,斜率不存在. 2? 2

(2)当 0 ? ? ? 90 时, k ? 0 ;当 90 ? ? ? 180 时, k ? 0 .
? ? ? ?

(3)过 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) 的直线斜率 k ? 1

y2 ? y1 ( x2 ? x1 ) . x2 ? x1
2

11、两直线的位置关系: 两条直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 斜率都存在,则: (1) l1 ∥ l 2 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 (2) l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1(当 l1 的斜率存在 l 2 的斜率不存在时 l1 ? l2 ) (3) l1 与 l 2 重合 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2

12、直线方程的形式: (1)点斜式: y ? y0 ? k ? x ? x0 ? (定点,斜率存在) (2)斜截式: y ? kx ? b (斜率存在,在 y 轴上的截距) (3)两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( y2 ? y1 , x2 ? x1 ) (两点) (4)一般式: ?x ? ?y ? C ? 0??? A2 ? B 2 ? 0 ? y2 ? y1 x2 ? x1

(5)截距式:

x y ? ? 1 (在 x 轴上的截距,在 y 轴上的截距) a b

13、直线的交点坐标: 设 l1 : A1 x ? B1 y ? c1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? c2 ? 0 ,则: (1) l1 与 l 2 相交 ?

A1 B1 ; (2) l1 ∥ l 2 ? A2 B2

?

A1 B1 C1 A B C ; (3) l1 与 l 2 重合 ? 1 ? 1 ? 1 . ? ? A2 B2 C2 A2 B2 C2
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

14、两点 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 P P2 ? 1 1 原点 ? ? 0, 0 ? 与任一点 ? ? x, y ? 的距离 OP ?

x2 ? y 2

15、点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : ?x ? ?y ? C ? 0 的距离 d ? 0

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(1)点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : ?x ? C ? 0 的距离 d ? 0

Ax0 ? C A By0 ? C B

(2)点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : ?y ? C ? 0 的距离 d ? 0

(3)点 ? ? 0,0 ? 到直线 l : ?x ? ?y ? C ? 0 的距离 d ?

C A2 ? B 2 C1 ? C2 A2 ? B 2

16、两条平行直线 ?x ? ?y ? C1 ? 0 与 ?x ? ?y ? C2 ? 0 间的距离 d ?

17、过直线 l1 : A1 x ? B1 y ? c1 ? 0 与 l2 : A2 x ? B2 y ? c2 ? 0 交点的直线方程为
3

( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? c2 ) ? 0 ? ? ? R ?
18、与直线 l : ?x ? ?y ? C ? 0 平行的直线方程为 ?x ? ?y ? D ? 0 ? C ? D ? 与直线 l : ?x ? ?y ? C ? 0 垂直的直线方程为 ?x ? ?y ? D ? 0 19、中心对称与轴对称:

x1 ? x2 ? ? x0 ? 2 ? (1)中心对称:设点 P( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) 关于点 M ( x0 , y0 ) 对称,则 ? ? y ? y1 ? y2 ? 0 ? 2
(2)轴对称:设 P( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) 关于直线 l : ?x ? ?y ? C ? 0 对称,则: a、 B ? 0 时,有

x1 ? x2 C ? ? 且 y1 ? y2 ; 2 A

b、 A ? 0 时,有

y1 ? y2 C ? ? 且 x1 ? x2 2 B

? y1 ? y2 B ?x ?x ? A ? 1 2 c、 A ? B ? 0 时,有 ? ? A ? x1 ? x2 ? B ? y1 ? y2 ? C ? 0 ? ? 2 2
20、圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (圆心 A ? a, b ? ,半径长为 r )
2 2 2

圆心 O ? 0, 0 ? ,半径长为 r 的圆的方程 x ? y ? r 。
2 2 2

21、点与圆的位置关系: 设圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,点 M ( x0 , y0 ) ,将 M 带入圆的标准方程,结果>r2 在外,<r2 在内
2 2 2

22、圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 D ? E ? 4 F ? 0
2 2 2 2

?

?

(1)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,表示以 ? ?
2 2

1 ? D E? , ? ? 为圆心, D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2 ? 2 2?

(2)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,表示一个点 ? ?
2 2

? D E? 2 2 ,? ?; (3)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,不表示任何图形. 2 2? ?

23、直线与圆的位置关系: 几何角度:圆心到直线的距离与半径大小比较;或代数角度:带入方程组算△>0、=0、<0 . 24、圆与圆的位置关系:几何角度判断(圆心距与半径和差的关系) (1)相离 ? C1C2 ? r1 ? r2 ; (2)外切 ? C1C2 ? r1 ? r2 ; (3)相交 ? r1 ? r2 ? C1C2 ? r1 ? r2 ;

(4)内切 ? C1C2 ? r1 ? r2 ; (5)内含 ? C1C2 ? r1 ? r2 . 25 、 过 两 圆

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交 点 的 圆 的 方 程
4

( x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F )1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 (? ? ?1) .
当 ? ? ?1 时,即两圆公共弦所在的直线方程. 26、点 P ( x1 , y1 , z1 ) , P2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离 P P2 ? 1 1

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 ,

5


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