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福州三中2014年自主招生试卷(数学)


2016 年 04 月 08 日 15980600304 的初中数学组卷
一.选择题(共 11 小题) 2 2 1. (2015?黄冈中学自主招生)如果关于 x 的方程 x ﹣ax+a ﹣3=0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是( ) A.﹣2<a<2 B. C. D. 2. (2016 春?宜兴市校级月考)下列命题中正确的个数有( ) ①实数不是有理数就是无理数; ②a<a+a; ③121 的平方根是±11; ④在实数范围内,非负数一定是正数; ⑤两个无理数之和一定是无理数. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3. (2008?福州校级自主招生)如图,有一半径是 1 米的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的 圆心角为 90°的扇形,用此扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径长为( )

A.



B.



C.



D.



4. (2009?福州校级自主招生)一组样本容量为 5 的数据中,其中 a1=2.5,a2=3.5,a3=4,a4 与 a5 的和为 5,当 a4、a5 依次取多少时,这组样本方差有最小值( ) A.1.5,3.5 B.1,4 C.2.5,2.5 D.2,3 5. (2011?长沙校级自主招生)已知实数 a 满足 的值是( ) A.2005 B.2006 C.2007 D.2008 6. (2012?泉州校级自主招生)若 ,则一次函数 y=tx+t 的图象必定经过
2

,那么 a﹣2006

2

的象限是( ) A.第一、二象限 B.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 D.第三、四象限 7. (2013?湖北自主招生)已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆 按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转, 直至回到原出发位置时, 则这个 圆共转了( )

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A.6 圈 B.6.5 圈

C.7 圈 D.8 圈 这三

8. (2010?龙岩校级自主招生)对于每个 x,函数 y 是 y1=2x,y2=x+2, 个函数中的最小值,则函数 y 的最大值是( A.4 B.6 C.8 D. )

9. (2010?温州校级自主招生)在三角形 ABC 中 AB<AC<BC,若在 BC 上存在一点 D, 使把这三角形沿 AD 剪开后的两个三角形相似,且较大的三角形面积是较小三角形面积的 2 倍,则 AB:AC:BC=( ) A.1: : B.1:2:3 C.1:4:9 D.以上答案均不对 10. (2011?诸城市校级模拟)若方程 x +2x﹣2a+3=0 和 x +2x+a+5=0 至少有一个方程有实 数解,则实数 a 的取值范围是( ) A.﹣4<a<1 B.a>﹣4 C.a<1 D.a≤﹣4 或 a≥1 二.填空题(共 4 小题) 2 11. (2010?长沙校级自主招生)实数 x,y 满足 x ﹣2x﹣4y=5,则 x﹣2y 的取值范围 是 . 12. (2014?长沙校级自主招生)如图,已知点(1,3)在函数 方形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上,点 E 是对角线 BD 的中点,函数 过 A、E 两点,则点 E 的横坐标为 . 的图象上.正 的图象又经
2 2

13. (2010?随州)将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当 圆柱的侧面的面积最大时,圆柱的底面半径是 cm.

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三.解答题(共 2 小题) 14. (2009?福州校级自主招生)设 α 是一元二次方程 x ﹣8x﹣5=0 的一个正根,求 α ﹣7α ﹣13α+6 的值. 15. (2007?福州校级自主招生)如图,在△ ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对 边. (1)已知 b=6,c=8,∠A=60°,求 a 的值; (2)一般地,在三角形中,已知两边及其夹角可以利用公式求出第三边的长,现请你探索 已知 b,c,A,求 a 的计算公式,并就△ ABC 为锐角三角形这一情况,证明你的结论.
2 3 2

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2016 年 04 月 08 日 15980600304 的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 11 小题) 1. (2015?黄冈中学自主招生)如果关于 x 的方程 x ﹣ax+a ﹣3=0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是( ) A.﹣2<a<2 B. C. D. 2 2 2 【解答】解:∵△=a ﹣4(a ﹣3)=12﹣3a (1)当方程有两个相等的正根时,△ =0,此时 a=±2, 若 a=2,此时方程 x ﹣2x+1=0 的根 x=1 符合条件, 2 若 a=﹣2,此时方程 x +2x+1=0 的根 x=﹣1 不符舍去, (2)当方程有两个根时,△ >0 可得﹣2<a<2, 2 ①若方程的两个根中只有一个正根,一个负根或零根,则有 a ﹣3≤0,解可得﹣ 而 a=﹣ 时不合题意,舍去. 所以﹣ <a≤ 符合条件, ②若方程有两个正根,则 解可得 a> , 综上可得,﹣ <a≤2. 故选 C. 2. (2016 春?宜兴市校级月考)下列命题中正确的个数有( ) ①实数不是有理数就是无理数; ②a<a+a; ③121 的平方根是±11; ④在实数范围内,非负数一定是正数; ⑤两个无理数之和一定是无理数. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解答】解:实数不是有理数就是无理数,所以①正确; 当 a=0 时,a=a+a,所以②错误; 121 的平方根是±11,所以③正确; 在实数范围内,非负数是正数或 0,所以④错误; 两个无理数之和不一定是无理数,如 π 与﹣π 的和,所以⑤错误. 故选 B. 3. (2008?福州校级自主招生)如图,有一半径是 1 米的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的 圆心角为 90°的扇形,用此扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径长为( ) ,
2 2 2

≤a≤



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A.



B.



C.



D.



【解答】解:设底面圆的半径为 r,则 ∴r= m 米.

=2πr,

圆锥的底面圆的半径长为 故选 C.

4. (2009?福州校级自主招生)一组样本容量为 5 的数据中,其中 a1=2.5,a2=3.5,a3=4,a4 与 a5 的和为 5,当 a4、a5 依次取多少时,这组样本方差有最小值( ) A.1.5,3.5 B.1,4 C.2.5,2.5 D.2,3 【解答】解: =(2.5+3.5+4+5)÷5=3, 设 a4=x,则 a5=5﹣x,S = [(2.5﹣3) +(3.5﹣3) +(4﹣3) +(x﹣3) +(5﹣x﹣3) ]= (x﹣2.5) + , 当 x=2.5 时,方差有最小值,∴a4=2.5,则 a5=2.5. 故选 C. 5. (2011?长沙校级自主招生)已知实数 a 满足 的值是( ) A.2005 B.2006 C.2007 D.2008 【解答】解:由题意可知:a﹣2007≥0, 解得:a≥2007, 则|2006﹣a|+ 化为:a﹣2006+ 即 =2006,
2 2 2 2 2 2 2 2

,那么 a﹣2006

2

=a, =a,

两边平方得:a﹣2007=2006 , 2 解得:a﹣2006 =2007. 故选 C

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6. (2012?泉州校级自主招生)若

,则一次函数 y=tx+t 的图象必定经过

2

的象限是( ) A.第一、二象限 B.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 D.第三、四象限 【解答】解:由已知得(b+c)t=a; (c+a)t=b; (a+b)t=c,三式相加得:2(a+b+c)t=a+b+c, ①当 a+b+c≠0 时,t= ; ②当 a+b+c=0 时,a+b=﹣c,t=﹣1. ∴一次函数 y=tx+t 为 y=﹣x+1 或 y= x+ , ∵y=﹣x+1 过第一、二、四象限; y= x+ 过第一、二、三象限; ∴一次函数 y=tx+t 的图象必定经过的象限是第一、二象限. 故选 A. 7. (2013?湖北自主招生)已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆 按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转, 直至回到原出发位置时, 则这个 圆共转了( )
2 2

A.6 圈 B.6.5 圈 C.7 圈 D.8 圈 【解答】解:圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转, ∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍, ∴圆转了 6 圈, 而圆从一边转到另一边时,圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数, 圆心要绕其三角形的顶点旋转 120°, ∴圆绕三个顶点共旋转了 360°,即它转了一圈, ∴圆回到原出发位置时,共转了 6+1=7 圈. 故选 C. 8. (2010?龙岩校级自主招生)对于每个 x,函数 y 是 y1=2x,y2=x+2, 个函数中的最小值,则函数 y 的最大值是( A.4 B.6 C.8 D. ) 这三

【解答】解:分别联立 y1、y2,y1、y3,y2、y3, 可知 y1、y2 的交点 A(2,4) ;y1、y3 的交点 B( ∴当 x≤2 时,y 最小=4;
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) ;y2、y3 的交点 C(4,6) ,

当 2<x≤ 当

时,y 最小=



<x≤4 时,y 最小=6;

当 x>4 时,y 最小>6. 故选 B. 9. (2010?温州校级自主招生)在三角形 ABC 中 AB<AC<BC,若在 BC 上存在一点 D, 使把这三角形沿 AD 剪开后的两个三角形相似,且较大的三角形面积是较小三角形面积的 2 倍,则 AB:AC:BC=( ) A.1: : B.1:2:3 C.1:4:9 D.以上答案均不对 【解答】解:∵△ABD 与△ ACD 相似, ∴∠B=∠CAD,∠C=∠BAD, ∴AD⊥BC, 设 BD 为 x,则 CD 为 2x, 根据射影定理,得 AB =BD?BC=x?3x,AC =CD?BC, ∴AB= x,AC= x, ∴AB:AC:BC= x: x:3x=1: : . 故选 A.
2 2

10. (2011?诸城市校级模拟)若方程 x +2x﹣2a+3=0 和 x +2x+a+5=0 至少有一个方程有实 数解,则实数 a 的取值范围是( ) A.﹣4<a<1 B.a>﹣4 C.a<1 D.a≤﹣4 或 a≥1 2 2 【解答】解:∵方程 x +2x﹣2a+3=0 和 x +2x+a+5=0 至少有一个方程有实数解, ∴△1=4﹣4×(﹣2a+3)≥0, 解得,a≥1, △ 2=4﹣4×(a+5)≥0, 解得 a≤﹣4. 故选 D. 二.填空题(共 4 小题) 2 11. (2010?长沙校级自主招生)实数 x,y 满足 x ﹣2x﹣4y=5,则 x﹣2y 的取值范围是 x ﹣2y .
2 2

2

2

【解答】解:设 m=x﹣2y,代入原方程整理得:4y +4(m﹣2)y+m ﹣2m﹣5=0, 2 2 由于实数 y 满足方程,故 16(m﹣2) ﹣16(m ﹣2m﹣5)≥0, 解之得 m

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12. (2014?长沙校级自主招生)如图,已知点(1,3)在函数 方形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上,点 E 是对角线 BD 的中点,函数 过 A、E 两点,则点 E 的横坐标为 .

的图象上.正 的图象又经

【解答】解:把(1,3)代入到 y= 得:k=3, 故函数解析式为 y= , 设 A(a, ) (a>0) ,根据图象和题意可知,点 E(a+ 因为 y= 的图象经过 E, 所以将 E 代入到函数解析式中得: 即a = , 求得:a= ∴a= ∴a+ , = , . 或 a=﹣ (不合题意,舍去) ,
2



) ,

(a+

)=3,

则点 E 的横坐标为 故答案为: .

13. (2010?随州)将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当 圆柱的侧面的面积最大时,圆柱的底面半径是 1 cm.

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【解答】解:扇形的弧长=4πcm, ∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm, ∴圆锥的高为 =2 cm,

设圆柱的底面半径为 rcm,高为 Rcm. = ,

解得:R=2 ﹣ r, ∴圆柱的侧面积=2π×r×(2 ∴当 r=



r)=﹣2

πr +4

2

πr(cm ) ,

2

=1cm 时,圆柱的侧面积有最大值.

三.解答题(共 2 小题) 2 3 2 14. (2009?福州校级自主招生)设 α 是一元二次方程 x ﹣8x﹣5=0 的一个正根,求 α ﹣7α ﹣13α+6 的值. 2 【解答】解:∵α 是一元二次方程 x ﹣8x﹣5=0 的一个正根, 2 ∴α ﹣8α﹣5=0, 2 即 α ﹣8α=5, 3 2 ∴α ﹣7α ﹣13α+6 2 2 =α(α ﹣8α)+α ﹣13α+6 2 =5α+α ﹣13α+6 2 =α ﹣8α+6 =5+6 =11. 15. (2007?福州校级自主招生)如图,在△ ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对 边. (1)已知 b=6,c=8,∠A=60°,求 a 的值; (2)一般地,在三角形中,已知两边及其夹角可以利用公式求出第三边的长,现请你探索 已知 b,c,A,求 a 的计算公式,并就△ ABC 为锐角三角形这一情况,证明你的结论.

【解答】解: (1)如图,作 CD⊥AB 于 D, ∵AC=6,∠A=60°, ∴ ∴ ∴ (2) . ,
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, ,

如图,作 CD⊥AB 于 D,则 BC =CD +DB 2 2 =CD +(AB﹣AD) 2 2 2 2 =AC ﹣AD +AB ﹣2AB×AD+AD 2 2 =AC +AB ﹣2AB×AD 2 2 =b +c ﹣2c×bcosA 2 2 2 ∴a =b +c ﹣2bccosA, .

2

2

2

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