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2.2.1等差数列定义及通项


等差数列
本节课目标: (1)通过实例理解等差数列的概念; (2)探索并掌握等差数列的等差中项、通项公式; (3)能在具体的问题中,发现数列等差关系,并能 用有关知识解决相应问题。

复习
次序 1 .数列: 按一定的次序排成的一列数叫
做数列。 2.写出下列数列的通项公式:

(1) 2,4,6,8…

/>
an ? 2n

(2)1,4,9,16,25,36 …

1 1 1 1 ? , ? (3)? , , 2 4 8 16

an ? n

2
n

( ?1) an ? n 2

观察与思考 :下面的几个数列相邻两项有什么共同点: (1) (2) (3) 5,5,5,5,5,5,… 4,5,6,7,8,9,10. 2,0,-2,-4,-6,…
公差 d=0 公差 d=1 公差 d= -2

=d ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an?1 an?1 an
定义:如果一个数列{an}从第 第2项起,每一项与它的前 项 一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。 同一个常数 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

即an ? an?1 ? d (n ? 2)或an?1 ? an ? d (n ? 1)
?
数列{an}是等差数列

判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差 数列,说出公差是多少?
(1)1,2,4,6,8 (2)2,4,6,8 (3)1,-1,1,-1 (4)0, 0, 0, 0,… (5)1,1/2,1/3,1/4 (不是) ( 是 ) (不是) ( 是 )d (不是) ( 是 )

练习1

d ?2 ?0

(6)-5,-4,-3
(7) 1,

d ?1

2,

3,

4,...

(不是) (不是)

(8) 1, 2,4,7,11

练习2
填上适当的数,组成等差数列
-1 (1) 1,0 , ——
(2)____ 0 , 2, 4 1 7 (3)_____,3 ,5 ,____ 1 (4) –1 ,_____, 3

新课讲授
问题1:如果在a与b中间插入一个数A,
使a ,A,b 成等差数列数列,那么A应满
a?b (或a ? b ? 2 A) a,A,b成等差数列 ? A ? 2 ? A是a与b的等差中项. 由三个数a,A,b组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列,这时,A叫做 a与b的等差中项.

足什么条件?

新课讲授
数列:1,3,5,7,9,11,13…

3和7的等差中项是: 5 7和11的等差中项是: 9 不难发现,在一个等差数列中,从第 2项起,每一项(有穷数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项.

5是3和7的等差中项,是1和9的等差中项吗? 9是7和11的等差中项,是5和13的等差中项吗?

等差数列的通项公式推导
如果一个数列

a1 , a2 , a3 , …:an , …

是等差数列,它的公差是d,请问

能否用首项 a1 与公差 d 表示出 an ?

等差数列的通项公式(推导一)
如果一个数列

a1 , a2 , a3 , …,an , …

是等差数列,它的公差是d,那么

a2 ? a1 ? d ? a2 ? a1 ? d a2 ?d 2? d a1 ? d ? d a3 ? a2 ? d ? a3 ? a 1? 3d a4 ? a3 ? d ? a4 ? a1 3 ?d

? ?? a ? ? a ? (n ? 1)d
归纳得:
n

1

通项公式:an ? a1 ? (n ?1)d .

等差数列的通项公式(推导二)
a3 ? a2 ? d


a2 ? a1 ? d

a4 ? a3 ? d

an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d
叠加得

an ? a1 ? (n ?1)d

通项公式:an ? a1 ? (n ?1)d .

an ? a1 ? (n ?1)d.
在等差数列通项公式中,有四个量,

a1 , d, n, an ,
知道其中的任意三个量,就可以求 出另一个量,即知三求一 .

例题1

(1)求等差数列8,5,2,…的第20项。
解: ? a1

? 8, d ? 5 ? 8 ? ?3, n ? 20,

? a20 ? 8 ? (20 ?1) ? (?3) ? ?49

练习1
(1)求等差数列1,5,9,…的第20项。
an ? a1 ? (n ?1)d

例题2
(2) –401是不是等差数列 -5,-9,-13,… 的项?如果是,是第几项?
解: 设1 -401是这个数列的第n项.依题意有 练习

? a141 ? 是不是等差数列 ?5, d ? ?9 ? (?5) ? 45 ,a ?, ?401 , n7 (2 ) 3? , , …的项? 因此, ? 401? ?5 ? (n40 ?1 ) ? (?4) 如果是,是第几项? 呢?
解得

n ? 100
an ? a1 ? (n ?1)d

答:这个数列的第100项是-401.

例后思考: 例后思考
等差数列的通项公式

an = a1+(n-1)d 中 ,
an , a1 , n ,d 这四个变 量 , 知道其中三个量

就可以求余下的一个
量.

例题3
在等差数列

?a ?
n

a5 ? 10, a12 ? 31 , 中,

求 首项 a1 与公差
解:

d .

?

a5 ? a1 ? 4d ? 10 a12 ? a1 ? 11d ? 31

解得

?d ? 3
a1 ? ?2

练习3
1. 求等差数列2,9,16,…的第10项;

a10 ? 2 ? (10 ? 1) ? 7 ? 65
2. 求等差数列0,-7/2,-7…的第n项;

7 7 ? 7? an ? 0 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? n ? 2 2 ? 2?

3、在等差数列 {an } 中,已知 a4

练习4

? 0,

a7 ? ?6 , 求: (1)a1 ? 6
(2)an



d ? -2




?

?2n ? 8

(3)10是不是这个数列中的项? 如果是,是第几项?如果不是说明 理由。

练习5
4、等差数列1,-1,-3,-5 ,…,-89,它的 项数是 46

5、在等差数列 {an } 中,

则 a1

? -8

a2 ? ?5, a6 ? a4 ? 6,

练习6
a4 6、等差数列{an }中,


? 3a1 , ak ? 9a1

k ? 13

小结:
1、等差数列的概念:

an ? an ?1 ? d (n ? 2, n ? N )


?

an ? 1 ? an ? d (n ? N )

?

2、等差数列的通项公式:

an ? a1 ? (n ? 1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量 , 知道其中三

个量就可以求余下的一个 量.

课后思考: 如何证明一个数列是等差数列

即an ? an?1 ? d (n ? 2)或an?1 ? an ? d (n ? 1)
数列{an}是等差数列 ?

课后作业: 课本第40页 A组 1


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