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大连市2016年高三第二次模拟考试-文数


大连市 2016 年第二次模拟考试参考答案及评分标准

数学(文科)
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超

过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1. C 2.A 3. C 4.B 5.A 6.D 7.C 8.D 9.B 二.填空题 13. 0.6 14. 2 15. 6 三.解答题 17.解:(Ⅰ) b ? a cos C ?

10.B

11.C 12.A 16.(-1,2)

3 a sin C 3

? sin B ? sin A cosC ?
2分

3 sin A sin C ......................................................................................... 3

sin A cosC ? cos A sin C ? sin A cosC ?
4分

3 sin A sin C ........................................................... 3

3 sin A sin C 3 3 sin A 又 sin C ? 0 ? cos A ? 3
即 cos A sin C ? 即

tan A ? 3

?A?

?
3

....................................................................................................................6 分
2 2 2

(Ⅱ)解法一: ? a ? b ? c ? 2bc cos A

?22 ? b2 ? c2 ? bc ? (b ? c)2 ? 3bc ..............................................................................................
8分

? b ? c ? 2 bc
2 ? b ? c? ? 4 ??b ? c ? ? 4 ? 2

3 ?(b ? c) ? 16,即b ? c ? 4
2

又由三角形边的性质知, ? b ? c ? 2 , ....................................................................................................................................

10 分

?b ? c ? ?2,4?
2分 解法二:

.................................................................................................................................1

a b c ? ? sin A sin B sin C 4 3 4 3 ?b ? sin B, c ? sin C 3 3 ?

?b ? c ?
8分

4 3 ?sin B ? sin C ? ........................................................................................................ 3
4 3 ?sin B ? sin( A ? B ?) 3

?b ? c ?

?? ? ? b ? c ? 4 sin ? B ? ? ................................................................................................................1 6? ?
0分

? 2 ? ? B ? ? 0, ? ? ? 3 ?

?b ? c ? ?2,4?
2分

.................................................................................................................................1

18.解:( Ⅰ) 由 x ? 分

110 ? 124 ? 130 ? x4 ? 110 ? 111 ? 117 得 x4 ? 117................................2 6

(110? 117) 2 ? (124? 117) 2 ? (130? 117) 2 ? (117? 117) 2 ? (110? 117) 2 ? (111? 117) 2 6 176 ? ? 58.67 3 S2 ?
............................................................................................................................................................ .6 分 ,135) 之间的有两人, ,135) a2 , (Ⅱ)由数据知, 6 名同学中成绩在 (120 记为 a1 , 成绩不在 (120 之间的有 4 人,记为 b1 , b2 , b3 , b4 ,从 6 位同学中随机抽取 2 名同学所有可能结果组成 的基本事件空间可以为 ? ? {( a1 , a2 )( a1 , b1 )( a1 , b2 )( a1 , b3 )( a1 , b4 )( a2 , b1 )( a2 , b2 )( a2 , b3 )( a2 , b4 )( b1 ,

b2 )( b1 , b3 )( b1 , b4 )( b2 , b3 )( b2 , b4 )( b3 , b4 )}
基本事件空间中共有基本事件 15 个, ...........................................................................................8 分 ,135) 中为事件 A , 设恰有 1 位同学成绩在区间 (120

A ={( a1 , b1 )( a1 , b2 )( a1 , b3 )( a1 , b4 )( a2 , b1 )( a2 , b2 )( a2 , b3 )( a2 , b4 )} 中 含 基 本 事 件 A
个,....................................................................................................................10 分

8

? P ( A) ?

8 ..................................................................................................................................1 15

2分 19.证明:(Ⅰ)取 MC中点,记为点 D ,连结 PD, QD .

? P为MA中点,D为MC中点, ? PD // AC 1 1 又? CD ? DC1 , BQ ? QC1 , 3 3 ?QD // BC . 又? PD ? QD ? D , ? 平面PQD //平面 ABC ..................................................4 分 又 PQ ? 平面PQD , ? PQ //平面 ABC ..............................................................6 分 (Ⅱ)方法一:由于 P 为 AM 中点,故 A, M 两点到平面 PBQ 的距离相等 ?VA?PBQ ? VM ?PBQ ? VP?MBQ


? S ?BQM ?


1 1 1 1 2 ..........................................................8 S ?BC1M ? S ?BC1C ? ? ? 2 ? 2 ? 4 8 8 2 8

1 P 点到平面 BMQ 的距离 h 为 A 点到平面 BMQ 的距离的 2 ,


h?

1 3 6 ,.........................................................................................................10 分 ?2 2? ? 2 2 2 1 2 6 3 ..................................................................................................1 ?V A? PBQ ? ? ? ? 3 8 2 24
2分 方法二:

? S ?BQM ?
8分

1 1 1 1 2 S ?BC1M ? S ?BC1C ? ? ? 2 ? 2 ? ............................................................. 4 8 8 2 8

?VA?PBQ ? VA?MBQ ? VM ?PBQ ..........................................................................................................
10 分

1 2 1 2 6 3 ? ? ? 6? ? ? ? 3 8 3 8 2 24 ...........................................................................................
12 分

20.解:(Ⅰ)? e ?

c 2 ? ,? a ? 2c a 2

MF1 ? MF2 ? F1F2 ? 2a ? 2c ? 2 2c ? 2c ? 4 ? 2 2
? c ? 2,a ? 2 ...........................................................................................................................3


x2 y2 ? 1 ...........................................................................................................4 ? 椭圆方程为 ? 4 2
分 (Ⅱ)设 B( x0 , y0 ),D( x1 , y1 ) ,则 A(? x0 , y0 ) ,

y0 ? y1 ( x ? x1 ) , x0 ? x1 x y ? y0 x1 令 x ? 0 ,则 y ? 0 1 x0 ? x1 x y ?y x ? Q(0,0 1 0 1 ) x0 ? x1
直线 BD 方程为 y ? y1 ? 同 理

x y ?y x P(0,0 1 0 1 ) ....................................................................................................................6 分 x0 ? x1 ? ?PF 1 F2 均为锐角, 1 F2 和 ?QF x0 y1 ? y0 x1 x0 ? x1 x y ? y0 x1 ? tan?PF1 F2 ? ? 0 1 c c( x0 ? x1 )

tan?QF1 F2 ?
8分

x0 y1 ? y0 x1 ........................................................................................................... c( x0 ? x1 )

2 2 2 2 x0 y1 ? y0 x1 x0 y1 ? y0 x1 x0 y1 ? y0 x1 ? tan?PF1F2 ? tan?QF1 F2 ? ? ? 2 2 c( x0 ? x1 ) c( x0 ? x1 ) c ( x0 ? x12 )
2 x0 (2 ?

?

1 2

x2 x12 ) ? x12 (2 ? 0 ) 2 2 2 2 ? 1 2( x0 ? x1 ) ? 1 ....................................................................1 2 2 x0 ? x12 2 x0 ? x12

0分

? ?PF 1 F2 互余 1 F2 与 ?QF ??PF 1 F2 ? ?QF 1 F2 ? 90? .........................................................................................................1
2分 21.解:(Ⅰ)? f ?( x) ?

(?2 x ? a)e x ? (? x 2 ? ax ? a)e x ( x ? 2)(x ? a) ? , ( x ? 0) e2 x ex

? ? ? 上为 ?若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 ;由 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? 2 ,即函数 f ( x ) 在 ?2, 2? 上为减函数,所以函数 f ( x) 在 增函数; 由 f ?( x) ? 0 , 可得 0 ? x ? 2 , 即函数 f ( x ) 在 ?0,

?0, ? ? ? 上有唯一的极小值点 x ? 2 ,无极大值点.
?.若 0 ? a ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2,x ? a ;由 f ?( x) ? 0 ,可得 0 ? x ? a 或 x ? 2 ,即 函数 f ( x ) 在 (0, a ) , ?2, ? ? ? 上为增函数;由 f ?( x) ? 0 ,可得 a ? x ? 2 ,即函数 f ( x) 在

?a, 2? 上为减函数,所以函数 f ( x) 在 ?0, ? ? ? 上有极大值点 x ? a ,极小值点 x ? 2 .
?若 a ? 2 , 则 f ?( x) ?

( x ? 2) 2 , 在 ?0, ? ? ? 上大于等于零恒成立,故函数 f ( x) 在 ?0, ? ?? ex

上单调递增,无极值点. ④若 a ? 2 , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2,x ? a ;由 f ?( x) ? 0 可得 x ? 2 或 x ? a , 所以函数 f ( x )

? ?? 上为增函数,由 f ?( x) ? 0 可得 2 ? x ? a ,所以函数 f ( x) 在 ?2,a ? 上为 在 (0,2) ,?a,
? ?? 上 有 极 大 值 点 x ? 2 , 极 小 值 点 减 函 数 , 所 以 函 数 f ( x ) 在 ?0,

x ? a .......................................6 分
f ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? a 2 x 2 - (2 ? a) x ? 2 ? ? ,则 g ( x ) ? x ?1 ( x ? 1)e x ( x ? 1) 2 e x
2 2

(Ⅱ) g ( x) ?

? ?? 记 h( x) ? 2 x - (2 ? a) x ? 2 ,由题意可知方程 h( x) ? 0 即 2 x - (2 ? a) x ? 2 ? 0 在 ?0,

?? ? ?a ? 2 ?2 ? 16 ? 0 ? a?2 ? ?0 上有两个不等实数根 x1 , x2 .所以 ? x1 ? x2 ? 2 ? ? x1 x2 ? 1 ? 0 ?
解 得 a ? 2 ......................................................................................................................8 分 :

g ?x1 ?g ?x2 ? ?

?? 2 x1 ? a ??? 2 x2 ? a ? ( x1 ? 1)e x ?x2 ? 1?e x
1 2

4 x1 x2 ? 2a?x1 ? x2 ? ? a 2 ? ?x1 x2 ? ?x1 ? x2 ? ? 1?e x1 ? x2
? 2?2 ? a ? 4 ? a ? 2 ............................................................................................................1 a?2 a?2? 2 ? e 2 ?2 ? ?e 2 ? ?

0分

?a ? 2

?e

a?2 2

? e2
4 e
a?2 2

? g ? x1 ?g ? x2 ? ?

?

4 ...........................................................................................................1 e2

2分 22.(Ⅰ)证明:? CA 为圆 O 的切线,??CAE ? ?ABC , 又? BE 为直径, ?ADF ? 45? ,??AFD ? 45? . 又? ?ADF ? ?ABC ? ?DCB, ?AFD ? ?CAE ? ?ACD ,

??ACD ? ?BCD,
? CD
?ACB 为 的 平 线................................................................................................................4 分
(Ⅱ)解: Q AB ? AC,??B ? ?ACB ? ?CAE, 又 Q ?B+?ACB+?CAE +?BAE ? 180 ,
o



??B ? ?ACB ? ?CAE =30o ,
所 以
? ?

AC s ? BC s

?

.............................................................................................................10 分

i i

23.解: (Ⅰ)设 C1 上任意一点的极坐标为 ??,? ? 则点 ?2 ?,? ? 在圆 C 上,故 2 ? ? 4 sin ? , 所 以

C1















? ? 2 sin ? ( ? ? 0) .................................................................................4 分
(Ⅱ) A, B 两点的极坐标分别为 A(4 sin ? , ? ), B(2 sin ? , ? ) , 又因为 0 ? ? ? ? 所以 AB ? 4 sin ? ? 2 sin ? ? 2 sin ? ? 2 sin ? = 3



sin ? ?

3 2







??

?
3



2? ..............................................................................................10 分 3

1 1 1 2 2 2 ? 2 ? 2)? ? ? 2 a b c ab bc ac 1 1 1 1 1 1 ? 2? 2? 2 ? ? ? a b c ab bc ac 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 ? ? 又? ( ? ? ) ? 2 ? 2 ? 2 ? a b c a b c ab bc ac 1 1 1 ?( 3 2 ? 2 ? 2) a b c 1 1 1 由题中条件知 2 ? 2 ? 2 ? 1, a b c 1 1 1 2 ?( ? ? ) ? 3 a b c
24.证明:(Ⅰ)? 2( 即

1 1 1 ? ? ? 3 ............................................................................................................................5 a b c


(Ⅱ)?

a2 1 a2 1 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 4 2 4 b a b a b

同理:

b2 1 2 c2 1 2 ? ? ? 2? 2 , 4 2 2 4 c b c a c a

?

a 2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2( 2 ? 2 ? 2 ) 4 b c a a b c a b c
a2 b2 c2 ? ? ?1 ? 2 b4 c4 a4

?

a 2 b2 c2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 1 ........................................................................................................................1 b c a
0分


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