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2015高考数学(人教版,文科)一轮单元评估检测:第八章 平面解析几何(含2014年模拟题,含答案解析)]


单元评估检测(八)
第八章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.双曲线 - =1 的焦点坐标是( A.(1,0), (-1,0) C.( ,0),(- ,0) ) B.(0,1),(0,-1) D.(0, ),(0,- ) )

2.

方程 mx2+y2=1 所表示的所有可能的曲线是( A.椭圆、双曲线、圆 B.椭圆、双曲线、抛物线 C.两条直线、椭圆、圆、双曲线 D.两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线

3.若椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,则双曲线 - =1 的渐近线方程为( A.y=± x C.y=±4x B.y=±2x D.y=± x

)

4.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 - =1 的一个焦点重合,则该抛物线 的标准方程可能是( A.x2=4y C.y2=-12x ) B.x2=-4y D.x2=-12y

5.(2014·咸宁模拟)双曲线 - =1 的渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 相切,则双曲线离 心率为( )

A.

B.

C.2

D.3

6.(2013· 四川高考)从椭圆 + =1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦 点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( A. B. C. ) D.

7.(2014·孝感模拟)已知 P 是双曲线 - =1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双 曲线的离心率是 ,且 A.5 B.6 · =0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( C.7 D.8 )

8.若双曲线 - =1(a>0,b>0)上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线 的中心)的对称点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( A.( ,+∞) C.(1, ] B.[ ,+∞) D.(1, ) )

9.(2014 · 黄 冈 模 拟 ) 如 图 , 等 腰 梯 形 ABCD 中 ,AB ∥ CD 且 AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以 A,B 为焦点,且过点 D 的双曲线 的离心率为 e1;以 C,D 为焦点,且过点 A 的椭圆的离心率为 e2, 则 e1+e2 的取值范围为( A.[2,+∞) C. ) B.( ,+∞) D.( +1,+∞)

10.(能力挑战题)设双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直 的直线 l 交两渐近线于 A,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标 原点,若 A. =λ B. +μ (λ ,μ ∈R),λ μ = ,则该双曲线的离心率为( C. D. )

二、 填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请把正确答案填在题中横线 上) 11.(2013·天津高考)已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 - =1(a>0,b>0)的一个 焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为____________. 12.(2014· 兰州模拟)若圆 x2+y2=r2(r>0)上仅有 4 个点到直线 l: x-y-2=0 的距离 为 1,则实数 r 的取值范围为__________. 13.(2014·随州模拟)已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上,PQ 中点为 M(x0,y0)且 y0≥x0+2,则 的取值范围是____________. 14.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于________. 15.(2014· 武汉模拟)圆(x-a)2+y2=1 与双曲线 x2-y2=1 的渐近线相切,则 a 的值是 ________. 16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2,且它们在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 |PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 __________. 17.(能力挑战题)曲线 C:y= (a>0,b>0)与 y 轴的交点关于原点的对称点称为

“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆称之为“望圆”, 则当 a=1,b=1 时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为________.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 18.(12 分)在直角坐标平面上给定一曲线 y2=2x,

(1)设点 A 的坐标为

,求曲线上距点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|.

(2)设点 A 的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上的点到点 A 距离的最小值 dmin,并写出 dmin=f(a)的函数表达式. 19.(13 分)(2014·广州模拟)已知☉M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分 别切☉M 于 A,B 两点. (1)如果|AB|= ,求直线 MQ 的方程.

(2)求证:直线 AB 恒过一个定点. 20.(13 分)在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 的圆 C 与直 线 y=x 相切于坐标原点 O,椭圆 + =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之 和为 10. (1)求圆 C 的方程. (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线 段 OF 的长,若存在,请求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 21.(13 分)(2014·武汉模拟)已知点 P 是圆 M:x2+(y+m)2=8(m>0,m≠ )上一动 点,点 N(0,m)是圆 M 所在平面内一定点,线段 NP 的垂直平分线 l 与直线 MP 相交 于点 Q. (1)当 P 在圆 M 上运动时,记动点 Q 的轨迹为曲线Г ,判断曲线Г 为何种曲线,并 求出它的标准方程. (2)过原点斜率为 k 的直线交曲线Г 于 A,B 两点,其中 A 在第一象限,且它在 x 轴 上的射影为点 C,直线 BC 交曲线Г 于另一点 D,记直线 AD 的斜率为 k′,是否存在 m,使得对任意的 k>0,都有|k· k′|=1?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 22.(14 分)(2013·上海高考)如图,已知双曲线 C1: -y2=1,曲

线 C2:|y|=|x|+1.P 是平面内一点.若存在过点 P 的直线与 C1,C2 都有共同点,则 称 P 为“C1-C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1-C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写 出一条这样的直线的方程(不要求验证). (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1-C2 型点”. (3)求证:圆 x2+y2= 内的点都不是“C1-C2 型点”.

答案解析
1.【解析】选 C.c2=a2+b2=2+1=3,所以 c= .由焦点在 x 轴上.所以焦点坐标为 ( ,0),(- ,0). 2.【解析】选 C.当 m=1 时,方程为 x2+y2=1 表示圆; 当 m<0 时,方程为 y2-(-m)x2=1 表示双曲线; 当 m>0 且 m≠1 时,方程表示椭圆; 当 m=0 时,方程表示两条直线. 【误区警示】本题对参数 m 的讨论,容易出现讨论不全造成漏解错选. 3.【解析】选 A.由题意 = ,所以 a2=4b2.

故双曲线的方程可化为 - =1, 故其渐近线方程为 y=〒 x. 4.【解析】选 D.由题意,得 c= =3.

所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3). 所以抛物线的标准方程为 x2=12y 或 x2=-12y. 【加固训练】以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x2+y2-2x+6y+9=0 圆心的抛 物线方程是( A.y=3x2 或 y=-3x2 B.y=3x2 C.y2=-9x 或 y=3x2 D.y=-3x2 或 y2=9x 【解析】 选 D.x2+y2-2x+6y+9=0,(x-1)2+(y+3)2=1,圆心(1,-3).代入选项知 D 正确. 5.【解析】选 C.因为双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线为 bx〒ay=0, )

依题意,直线 bx〒ay=0 与圆 x2+(y-2)2=1 相切, 设圆心(0,2)到直线 bx〒ay=0 的距离为 d, 则 d= = =1,

所以双曲线离心率 e= =2. 6.【解析】选 C.由已知,P 点坐标为 ,A(a,0), = c.于是 ,离心率

B(0,b), 于是由 kAB=kOP 得 - = ,整理得 b=c, 从而 a= e= = . 【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的两种方法 (1)直接求出 a,c 的值,利用离心率公式求解.

(2)依据已知条件寻找关于 a,c 的有关等式(不等式),解方程(不等式),即可求出 离心率的值(范围). 7.【解析】选 C.由 · =0 得 ⊥ ,设 | |=m,| |=n,不妨设 m>n,则

m2+n 2=4c2,m-n=2a, mn=9, = ,解得

所以 b=3,所以 a+b=7.

8.【思路点拨】按照正难则反思想求解. 【解析】 选 C.这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴上,因此只要在 这个双曲线上存在点 P 使得斜率大于 1,也就是离心率大于 ,求其大于 1 的补集 得 e∈(1, ]. 9.【解析】选 B.由已知易求得 e1= 不 能 取 “ = ” , 所 以 e1+e2= e1+e2= + ,e2= = ,e1·e2=1,但 e1+e2≥2 + , 令 t= 中, -1, 则

,t∈(0, -1),所以 e1+e2∈( ,+≦),故选 B.

【加固训练】对于直角坐标平面内的任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间

的一种“距离” :‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|. 给出下列三个命题: ①若点 B 在线段 AC 上,则‖AB‖+‖BC‖=‖AC‖; ②在△ABC 中,∠C=90°,则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

【解析】选 B.取特殊值,数形结合. 在△ABC 中,∠C=90°, 不妨取 A(0,1),C(0,0),B(1,0), 因为‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|, 所以‖AC‖=1,‖BC‖=1, ‖AB‖=|1-0|+|0-1|=2. 此时,‖AC‖2+‖CB‖2=2, ‖AB‖2=4, ‖AC‖2+‖CB‖2≠‖AB‖2; ‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖, 即命题②、③是错误的. 设如图所示共线三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),AC″⊥CC″,则 ‖AC‖=|x1-x3|+|y1-y3| =‖AC″‖+‖C″C‖ =‖AB′‖+‖B′C″‖+

‖C′C″‖+‖C′C‖ =‖AB′‖+‖B′B‖+ ‖BC′‖+‖C′C‖, ‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|=‖AB′‖+‖B′B‖, ‖BC‖=|x2-x3|+|y2-y3| =‖BC′‖+‖C′C‖, 所以‖AB‖+‖BC‖=‖AC‖, 即命题①正确. 综上所述真命题的个数为 1 个. 10. 【解析】 选 C.双曲线的渐近线为: y=〒 x,设焦点 F(c,0),点 A 纵坐标大于零, 则A B , ,P ,因为 =λ ,μ= +μ ,所以 = ,所以λ+μ =1, = ,解得: = ,所以 e= .

λ-μ= ,解得: λ=

.又由λμ= ,得: 〓

【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的技巧 求离心率的值是解析几何中常见的问题,求解时,可根据题意列出关于 a,b,c 的 相应等式,并把等式中的 a,b,c 转化为只含有 a,c 的齐次式,再转化为含 e 的等 式,最后求出 e. 11.【解析】由抛物线的准线方程为 x=-2,得 a2+b2=4,又因为双曲线的离心率为 2,得 =2,得 a2=1,b2=3,所以双曲线的方程为 x2- =1. 答案:x2- =1 12.【解析】

计算得圆心到直线 l 的距离为 = >1,如图.直线 l:x-y-2=0 与圆相交,l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线 l2 的距 离 +1. 答案:( +1,+≦) 【加固训练】直线 y=x-3 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的 准线作垂线,垂足分别为 P,Q,则梯形 APQB 的面积为( A.48 B.56 C.64 D.72 )

【解析】选 A.

如图所示. 由 得 x2-10x+9=0,

所以 x1=1,x2=9. 当 x1=1 时,y1=-2. 当 x2=9 时,y2=6.

不妨令 A(9,6),B(1,-2). 因为焦点 F(1,0),由抛物线定义知 |BF|=|BQ|=2,|AF|=|AP|=10, 所以 S 梯形 APQB= 〓(6+2)=48.

13.【解析】因为直线 x+2y-1=0 与直线 x+2y+3=0 平行,所以 PQ 的中点 M 在直线 x+2y+1=0 上,又因为直线 x+2y+1=0 与 y=x+2 的交点坐标为 A ,所以 kOA= =- ,故- < ≤- .

答案: 14.【解析】因为两条直线垂直,所以 a(a+2)=-1, 即 a2+2a+1=0,所以 a=-1. 答案:-1 15. 【解析】 双曲线 x2-y2=1 的渐近线为 y=〒x,不妨取 y=x,若直线 y=x 与圆相切, 则有圆心(a,0)到直线 x-y=0 的距离 d= =1,即|a|= , 所以 a=〒 . 答案:〒 16.【解析】如图,设椭圆的长半轴长,半焦距分别为 a1,c, 双曲线的半实轴长,半焦距分别为 a2,c, |PF1|=m,|PF2|

=|F1F2|=n, 则 ? <2,求 的取值范围.

问题转化为:已知 1< 由 1< <2 知 < <1,

即 < <2,因此 < +1<3, 即< <3,所以 < <.

答案: 17.【解析】因为曲线 C:y= (a>0,b>0)与 y 轴的交点关于原点的对称点称为

“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆称之为“望圆”, 所以当 a=1,b=1 时望圆的方程可设为 x2+(y-1)2=r2,面积最小的“望圆”的半径 为 (0,1) 到 y= =x2+ 上 任 意 点 之 间 的 最 小 距

离,d2=x2+

=(|x|-1)2+

+2(|x|-1)-

+2≥3,所以半径 r≥

,最小面积为 3π. 答案:3π 18.【解析】(1)设 M(x,y)为曲线 y2=2x 上任意一点, 则|MA|2= +y2=x2+ x+ = +,

因为 x∈[0,+≦),所以当 x=0 时, |MA = + = ,即|MA|min= .

所以距点 A 最近的点 P 坐标为(0,0),这时|PA|= . (2)依题意得, d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x

=x2-2(a-1)x+a2 =[x-(a-1)]2+(2a-1) 因为 x∈[0,+≦), 所以分 a-1≥0 和 a-1<0 两种情况讨论. 当 a≥1 时, 当 a<1 时, 即 dmin=|a|. 这时恰好抛物线顶点(0,0)与点 A(a,0)最近. 所以 dmin=f(a)= 【误区警示】本题(1)易忽略 x 的取值范围,误认为当 x=- 时距离最小. 19.【解析】 (1)如图所示,连 AM,BM, 设 P 是 AB 的中点,由|AB|= 可得|MP| = = =. , =2a-1,即 dmin= ,

=[0-(a-1)]2+(2a-1)=a2,

由射影定理,得|MB|2=|MP|·|MQ|,得|MQ|=3, 在 Rt△MOQ 中,|OQ|= = = ,

故 Q 点的坐标为( ,0)或(- ,0),所以直线 MQ 的方程是: 2x+ y-2 =0 或 2x- y+2 =0. (2)设 Q(a,0),由题意知 M,A,Q,B 四点共圆,直径为 MQ. 设 R(x,y)是该圆上任一点,由 即 x2+y2-ax-2y=0.① · =0 得 x(x-a)+(y-2)y=0.

①式与 x2+(y-2)2=1 联立 , 消去 x2,y2 项得两圆公共弦 AB 所在的直线方程为 -ax+2y=3. 所以无论 a 取何值,直线 AB 恒过点 ,故直线 AB 恒过一个定点.

20.【解析】(1)设圆 C 的圆心为 A(p,q), 则圆 C 的方程为(x-p)2+(y-q)2=8. 因为直线 y=x 与圆 C 相切于坐标原点 O, 所以 O 在圆 C 上,且直线 OA 垂直于直线 y=x. 于是有 ? 或

由于点 A(p,q)在第二象限,故 p<0. 所以圆 C 的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. (2)因为椭圆 + =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点距离之和为 10,所以 2a=10 ? a=5,故椭圆右焦点为 F(4,0). 若圆 C 上存在异于原点的点 Q(x0,y0)到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长, 则有|QF|=|OF|,于是(x0-4)2+ =42,且 + ≠0.①

由于 Q(x0,y0)在圆上,故有(x0+2)2+(y0-2)2=8.② 解①和②得 故圆 C 上存在满足条件的点 Q 21.【解析】(1)因为|QN|=|QP|, 所以||QM|-|QN||=|PM|=2 . ①当 2 <2m 时,动点 Q 的轨迹曲线Г为以点 M,N 为焦点,2a=2 为实轴的双曲线, 其标准方程为 .

-

=1.

②当 2 >2m 时,动点 Q 无轨迹. (2)如图所示,

设 A(x1,y1),D(x0,y0),则 B(-x1,-y1),C(x1,0). 则 y1=kx1. 直线 BC 的方程为 y= (x-x1),即 y= (x-x1). 联立 所以-x1+x0= 所以 k′= =. = 化为(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2 -8)=0. ,

若存在 m,使得对任意的 k>0,都有|k·k′|=1, 则 =1,

整理得 m2=6,解得 m=〒 (负值舍去). 因此存在 m,且当 m= 时,满足题意. 22.【解析】(1)C1 的左焦点为(- ,0),写出的直线方程可以是以下形式: x=- 或 y=k(x+ ),其中|k|≥ . (2)因为直线 y=kx 与 C2 有公共点, 所以方程组 有实数解,

因此|kx|=|x|+1,得|k|=

>1.

若原点是“C1-C2 型点”,则存在过原点的直线与 C1,C2 都有公共点. 考虑过原点与 C2 有公共点的直线 x=0 或 y=kx(|k|>1).显然直线 x=0 与 C1 无公共 点. 如果直线为 y=kx(|k|>1), 则由方程组 得 x2= <0,矛盾,

所以直线 y=kx(|k|>1)与 C1 也无公共点. 因此原点不是“C1-C2 型点”. (3)记圆 O:x2+y2= ,取圆 O 内的一点 Q, 设有经过 Q 的直线 l 与 C1,C2 都有公共点, 显然 l 不垂直于 x 轴,故可设 l:y=kx+b. 若|k|≤1,由于圆 O 夹在两组平行线 y=x〒1 与 y=-x〒1 之间, 因此圆 O 也夹在直线 y=kx〒1 与 y=-kx〒1 之间,从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2 无公共点,矛盾,所以|k|>1. 因为 l 与 C1 有公共点,所以方程组 因为|k|>1,所以 1-2k2≠0, 因此Δ=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0,即 b2≥2k2-1. 因为圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= 所以 =d2< ,从而 >b2≥2k2-1, , 有实数解,得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.

得 k2<1,与|k|>1 矛盾. 因此,圆 x2+y2= 内的点都不是“C1-C2 型点”.

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