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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习微专题研究 6-3


高考调研

新课标版 ·数学(理) ·高三总复习

专题研究三 数列的综合应用

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第六章

数列

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专题讲解

题 组 层 级 快 练<

br />
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第六章

数列

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专 题 讲 解

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第六章

数列

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题型一 等差、等比数列的综合应用
例1 ( 2 0 1 4 · 山东理)已知等差数列{an}的公差为2,前n

项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列. ( 1 ) 求数列{an}的通项公式; ( 2 ) 令bn=(-1)
n-1

4n ,求数列{bn}的前n项和Tn. anan+1

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数列

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2×1 【解析】 ( 1 ) 因为S1=a1,S2=2a1+ ×2=2a1+ 2 4×3 2,S4=4a1+ 2 ×2=4a1+12, 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得a1=1,所以an=2n-1.

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数列

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( 2 ) bn=(-1) =(-1)
n-1

n-1

4n 4n n-1 =(-1) anan+1 ?2n-1??2n+1?

1 1 ( + ). 2n-1 2n+1

1 1 1 1 当n为偶数时,Tn=(1+ 3 )-( 3 + 5 )+…+( + 2n-3 1 1 1 1 2n )-( + )=1- = . 2n-1 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1

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数列

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1 1 1 1 当n为奇数时,Tn=(1+ )-( + )+…-( + 3 3 5 2n-3 2n+2 1 1 1 1 )+( + )=1+ = . 2n-1 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 ? ?2n+2,n为奇数, ?2n+1 所以Tn=? ? 2n ,n为偶数. ? ?2n+1 2n+1+?-1?n-1 (或Tn= ). 2n+1
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数列

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【答案】 (1)an=2n-1 ? ?2n+2,n为奇数, ?2n+1 (2)Tn=? ? 2n ,n为偶数. ? ?2n+1 2n+1+?-1?n-1 (或Tn= ) 2n+1

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探究1

高考命制综合题时,常将等差、等比数列结合在

一起,形成两者之间的相互联系和相互转化,破解这类问题 的方法是首先寻找通项公式,利用性质之间的对偶与变式进 行转化.

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数列

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思考题1

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已知等比数列 {an} 的公比为 q ,前 n 项的

和为Sn,且S3,S9,S6成等差数列.

(1)求q3;
(2)求证:a2,a8,a5成等差数列.

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【解析】 (1)方法一:由 S3,S9,S6 成等差数列, 得 S3+S6=2S9. 若 q=1,则 S3+S6=9a1,2S9=18a1. 由 a1≠0,得 S3+S6≠2S9,与题意不符,∴q≠1. 由 S3+S6=2S9, a1?1-q3? a1?1-q6? 2a1?1-q9? 得 + = . 1-q 1-q 1-q 1 整理,得 q +q =2q ,由 q≠0 且 q≠1,得 q =-2.
3 6 9 3

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方法二:由 S3,S9,S6 成等差数列,得 S9-S3=S6-S9. ∴a4+a5+a6+a7+a8+a9=-(a7+a8+a9). 移项得 a4+a5+a6+2(a7+a8+a9)=0. ∴(a4+a5+a6)(1+2q3)=0. ∵a4+a5+a6=a4(1+q+q2)≠0, 1 ∴1+2q =0,∴q =-2.
3 3

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6

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1 ( 2 ) 方法一:由(1)知,a8=a2×q =4a2, 1 a5=a2×q =-2a2,a8-a2=a5-a8,
3

所以a2,a8,a5成等差数列. 方法二:由(1)知,a2+a5-2a8=a2×(1+q3-2q6) 1 1 =a2(1-2-2×4)=0, 所以a2,a8,a5成等差数列. 1 【答案】 (1)-2 (2)略
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题型二 数列与函数、不等式的综合应用
例2 已知函数f(x)=o lg kx(k为常数,k>0且k≠1),且数列

{f(an)}是首项为4,公差为2的等差数列. ( 1 ) 求证:数列{an}是等比数列; ( 2 ) 若bn=an· f(an),当k= 2时,求数列{bn}的前n项和Sn; ( 3 ) 若cn=anlgan,问是否存在实数k,使得{cn}中的每一项恒 小于它后面的项?若存在,求出k的 取 值 范 围 ; 若 不 存 在 , 说 明 理由.
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【解析】 ( 1 ) 由题意知f(an)=4+(n-1)×2=2n+2, 即o lg kan=2n+2,
2?n 1? 2 a k + n 1 + ∴an=k2n 2,∴ = 2n+2 =k2. an k
+ +

∵常数k>0且k≠1,∴k2为非零常数. ∴数列{an}是以k4为首项,k2为公比的等比数列.

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( 2 ) 由( 1 ) 知,bn=anf(an)=k2n+2· (2n+2), 当k= 2时,bn=(2n+2)· 2n+1=(n+1)· 2n+2. ∴Sn=2· 23+3· 24+4· 25+…+(n+1)· 2n+2,① 2Sn=2· 24+3· 25+…+n· 2n+2+(n+1)· 2n+3.② ②-①,得Sn=-2· 23-24-25-…-2n+2+(n+1)· 2n+3 =-23-(23+24+25+…+2n+2)+(n+1)· 2n+3,
3 n 2 ? 1 - 2 ? 3 ∴Sn=-2 - +(n+1)· 2n+3=n· 2n+3. 1-2

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( 3 ) 存在.由(1)知,cn=anlgan=(2n+2)· k2n+2lgk,要使 cn<cn+1对一切n∈N*成立,即(n+1)lgk<(n+2)k2lgk对一切n ∈N*成立. ①当k>1时,lgk>0,n+1<(n+2)k2对一切n∈N*恒成 立; ②当0<k<1时,lgk<0,n+1>(n+2)k2对一切n∈N*恒成 n+1 立,只需k <( )min, n+2
2

n+1 1 ∵ =1- 单调递增, n+2 n+2
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n+1 2 ∴当n=1时,( ) = . n+2 min 3 2 6 ∴k < ,且0<k<1,0<k< . 3 3
2

6 综上所述,存在实数k∈(0, 3 )∪(1,+∞)满足条件. 6 n+3 【答案】 ( 1 ) 略 ( 2 ) Sn=n· 2 ( 3 ) ( 0 , 3 )∪(1,+
∞)

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探究2 数列与函数的综合问题主要有以下两类:
(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函 数的性质、图像研究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要 充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.

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思考题2
项和为Sn,点Pn(an,- 1,an>0. (1)求数列{an}的通项公式; 已知f(x)=- 1 an+1

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1 4+ 2,数列{an}的前n x

)在曲线y=f(x)上(n∈N*),且a1=

1 (2)求证:Sn>2( 4n+1-1),n∈N*.

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【 解 析 】 ∴ = an+1 1 ( 1 ) - =f(an)= - an+1 1

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1 4+ 2, 且 an>0, an

1 1 1 4+ 2,∴ 2 - 2=4(n∈N*). an an+1 an

1 1 ∴数列{ 2}是等差数列,首项 2=1,公差d=4. an a1 1 1 2 ∴ 2=1+4(n-1),∴an= . an 4n-3 1 ∵an>0,∴an= (n∈N*). 4n-3

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1 2 2 ( 2 ) 证明:∵an= = > 4n-3 2 4n-3 4n-3+ 4n+1 4n+1- 4n-3 = , 2 1 ∴Sn=a1+a2+…+an> [( 5 -1)+( 9 - 5 )+…+ 2 1 ( 4n+1- 4n-3)]=2( 4n+1-1). 1 【答案】 (1)an= (2)略 4n-3

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题型三 数列中的探索性问题 例3 (2014·新课标全国 Ⅰ 理) 已知数列 {an} 的前n项和为

Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

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数列

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【思路】

(1) 已知数列 {an}的前n项和Sn与相邻两项an,

an+1间的递推关系式anan+1=λSn-1,要证an+2-an=λ,故考
虑利用an+1=Sn+1-Sn消去Sn进行证明. (2) 若 {an} 为等差数列,则有 2a2 = a1 + a3 ,故可由此求出 λ,进而由an+2-an=4验证{an}是否为等差数列即可.

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数列

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【解析】 =λSn+1-1,

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(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2

两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4. 由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1 =4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
第六章 数列

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所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列. 【答案】 (1)略 (2)存在λ=4使得{an}为等差数列

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数列

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探究3

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探究性问题是一类具有开放性和发散性的问题,

此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己结合已知条

件,进行观察、分析、比较和概括.它对考生的数学思想、
数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的 要求.这类问题不仅考查了考生的探索能力,而且给考生提 供了创新思维的空间,所以备受高考命题人的青睐,是高考 重点考查的内容.探索性问题一般可以分为:条件探索性问 题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题 等.

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思考题3
a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式;

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已知等比数列{an}满足: |a2-a3|=10,

1 1 1 (2)是否存在正整数m,使得 + +…+ ≥1?若存 a1 a2 am 在,求m的最小值;若不存在,说明理由.

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【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q,
?a3q3=125, ? 1 则由已知可得? 2 ? | a q - a q |=10, 1 1 ?

5 ? ? ?a1= , ?a1=-5, 3 解得? 或? ? ?q=-1. ? q = 3 ? 5 n-1 - 故an=3· 3 ,或an=-5· (-1)n 1.

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5 n-1 1 3 1 n-1 ( 2 ) 若an= · 3 ,则 = · ( ) . 3 an 5 3

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1 3 1 故{ }是首项为5,公比为3的等比数列. an 3 1m · [1-? ? ] m 1 5 3 从而n ∑ = =1 1 an 1- 3 9 1m 9 =10· [1-(3) ]<10<1. 若an=-5· (-1)
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n-1

1 1 ,则 =-5(-1)n-1. an
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1 1 故{ }是首项为- ,公比为-1的等比数列. 5 an ? 1 * 1 ?-5,m=2k-1?k∈N ?, 从而n ∑ =? =1 an ? * ?0,m=2k?k∈N ?.
m

1 故n ∑ <1. =1 an
m

综上,对任何正整数m,总有 ?

m

n=1

1 <1. an

1 1 1 故不存在正整数m,使得 + +…+ ≥1成立. a1 a2 am

【答案】 (1)an=5· 3n-2或an=5· (-1)n (2)m值不存在
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题型四 数列的实际应用 例4 (2015· 上海虹口区模拟 ) 某市 2014 年发放汽车牌照

12 万张,其中燃油型汽车牌照 10 万张,电动型汽车牌照 2 万 张.为了节能减排和控制总量,从 2014 年开始,每年电动型 汽车牌照的发放量按 50% 增长,而燃油型汽车牌照每一年比

上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万
张,以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一 年的水平不变.

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(1)记2014年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构
成数列{an},每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn},完 成下列表格,并写出这两个数列的通项公式; a1=10 b1=2 a2=9.5 b2=3 a3=____ b3=____ a4=____ b4=____ … …

(2)从2014年算起,求二十年发放的汽车牌照总量.

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【解析】 (1) a1=10 a2=9.5 a3=9

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a4=8.5



b1=2

b2=3

b3=4.5 b4=6.75



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n 当1≤n≤20且n∈N ,an=10+(n-1)×(-0.5)=- + 2
*

21 ; 2 当n≥21且n∈N*,an=0, ? n 21 ?- + ,1≤n≤20且n∈N*, ∴an=? 2 2 * ? ?0,n≥21且n∈N .

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∵a4+b4=1 5 2 .5 > 1 5



3 n-1 ? ?2×? ? ,1≤n≤4且n∈N*, 2 ∴bn=? * ? 6 7 . 5 , n ≥ 5 且 n ∈ N . ? 20×19 1 ( 2 ) a1+a2+…+a20=10×20+ 2 ×(-2)=105,

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34 2×[1-?2? ] b1+b2+b3+b4+b5+…+b20= +6.75×16 3 1-2 =124.25. ∴从2014年算起,二十年发放的汽车牌照总量为229.25 万张.

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【答案】 ( 1 ) a3=9,a4=8 5 . ,b3=4 5 . ,b4=6 7 .5 ? n 21 ?- + ,1≤n≤20且n∈N*, an=? 2 2 * ? 0 , n ≥ 21 且 n ∈ N ? 3 ? ?2×? ?n-1,1≤n≤4且n∈N*, 2 bn=? * ? 6 7 . 5 , n ≥ 5 且 n ∈ N ? ( 2 ) 2 2 9 2 .5 万张

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探究4

现实生活中数列问题的模型极为广泛,如物群的

生长和消亡,人们生活的收入与支出等解决此类问题的途径 有两种:一是逐项列举前几项,寻求规律,满足某种数列; 二是寻求任意前后两项间关系式,转化为递推式问题.

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思考题3

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一企业的某产品每件利润100元,在未做电

视广告时,日销售量为b件.当对产品做电视广告后,记每日播n 次时的日销售量为an(n∈N*)件,调查发现:每日播1次则日销售 量a1件在b件的基础上增加 b 件,每日播2次则日销售量a2件在每 2

b 日播1次时日销售量a1件的基础上增加 件,…,每日播n次,该 4 产品的日销售量an件在每日播n-1次时的日销售量an-1件的基础 b 上增加 n件.合同约定:每播一次企业需支付广告费2b元. 2

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(1)试求出an与n的关系式;

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(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大,求每日

电视广告需播多少次?
【解析】 (1)由题意,电视广告每日播k次时,该产品的日 b 销售量ak满足ak=ak-1+ k(k∈N*,a0=b), 2 1 n+1 b[1-? ? ] b b b 2 1 ∴an=b+ + 2+…+ n= =b(2- n)(n∈N*). 2 2 1 2 2 1-2

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即该产品每日销售量an(件)与电视广告播放量n(次/日)的 1 关系式为an=b(2- n)(n∈N*). 2 (2)该企业每日播放电视广告n次时的获利为 1 1 cn=100b(2- n)-2bn=100b(2-0.02n- n)(n∈N*). 2 2 1 ∵cn-cn-1=100b( n-0.02)≥0, 2 即2n≤50,n∈N*,∴n≤5(n∈N*).

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1

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∵cn+1-cn=100b( n+1-0 0 .2 ) 2 ∴2n≥25,∴n≥5. ∴n=5.

≤0,

∴要使该产品每日获得的利润最大,则每日电视广告 需播5次.

1 【答案】 (1)an=b(2- n ) 2 次,日利润最大

(2)每日电视广告需播5

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题组层级快练

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