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变式教学诱发一题多解


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数 学通报 

2 O O 6年

第4 5 卷

第1 期 

变式教学诱 发一题 多解 
陈 迪 军 
( 湖北省大冶市第一 中学 4 3 5 1 0 0 )  

高三数学第一轮复习

已经到了“ 不等式” 部分 ,  

,  

C 对应 的边 , 且口   +6  =C   , 求证 : 矿 +6 , I <  

在教学 中重视一题多解 , 加 强各知识 之 间的纵横联 
系, 能起到举一反三 , 融汇贯通的作用 .   例题  我们 知道 , 在 AA B C中, 若 C  = 口  +   b 2 , 则 AA B C是直角三角形 . 现在 请你研究 : 若c  :  
+6 , I ( n∈ N  , 凡>2 l ) , 问 AA B C为何种三 角形 ,   为什 么?  

c   ( n≥ 3 ) .  

证一  不等式放缩 
因为 口  +6  : C   , 所 以 c> 0 , c> 6 .   又 因为 n≥3 , 所以 n 一2 ≥1 , 所以c   一  >矿一,  
c 

2> 6   一 2

.  

所以 C  ? C   一  = ( 口  +6   )?C n 一  > 0 , 2 0 , n 一  +   6   6 , I ~, 即 C n> 矿 +   .  

分析  本例条件抽象, 可先取一些特殊值试探 


下.  

证 二  进行三角换元适 当放缩 

令 n:3 , 口=1 , 6:1 , 则 c: 花  1 . 2 6 , 画以  
( 1 , 1 , 1 . 2 6 ) 为边 的三角形 草图 , 易观察 知是锐 角三 
角形 .  

( 詈 )   + ( 詈 )   :  
令_ 旦 :s i n A,   :c o s A, 则 口=c . s i n A, 6:c  
C   C  ‘   。  

上述用特殊值试验的结论具有一般性, 请看如 
下的分析证法 .  
解  因为 C  = 矿 +6 , I ( n>2 ) , 所 以 C>口 , C  
> 6.  

?e o s A.  

因 为0 <A<要,  
所 以 0<s i n A <1 , 0<c o s A <1 . 而 n≥ 3 ,   所以 C n s i n " A <C n s i n 2 A。 C n c o s n A<c   c o s 2 A.   所以 C n s i n " A +C n c o s n A<   s i n 2 A+C n c o 8 2 A:  
c , 1 .  

由c 是 AA B C的最大边 , 所 以要证 AA B C是锐 

角三角形 , 只需证 明 C为锐角 , 即c o s C >0 就行 了.  
因为 c 0 s C:旦 二  :  
口D  


所 以要 证 c o s C >0 ,  

即 矿 +6 , I <   .  

只要证 口   +b 2> c   . ( *)  

证三  利用=项式定理的展开式 
因为 ( 口+6 )  =矿+c  一   6  +… +c  一  
+… +6  > 口   +6   ( n≥ 2 ) ,  

再注意到条件 矿 +6 , I =C   , 于是将 ( *) 等价变 
形为 ( 口  +6   ) c n 一  > c n .   因为 c>口 , c>6 , n>2 , 所以 C   一  >   _ 。 , c n 一  
>6   一   , 且 口c   一 2一 口   一  >0 ,  ̄ n - 2— 6   一  >0 .  

因为 口   +6  : C   ,  

从而( 口  +6   ) C   一   一c n:( 口   +6   ) C n - 2 一O , n 一   6  = 口 2 ( c   一 2 一口   一 2 ) +6 2 ( c n 一 2—6 n 一 2 )>0 。  

所以( 口  +6 。 ) 考: ( c 2 ,   n: c n .   又 因为 ( 口   +6   ) 考> ( 口   ) 暑+( 6   ) 考:口 n +6 n 。  
所以 c  > 口  +   .  

这说 明( *) 式成立 , 故c o s C >0 , C是 锐 角 ,  
AA B C为锐角三角形 .  

证四  构造 函数 , 利用 函数 的单 调性 
因为 口  +6 。= C   , 所 以 c>口 , C> 6 ;  
所 以 0<旦 < 1 , 0<一 b <1
。 

总结评述 : 本 题是 一道 难得 的好 题 , 由特 殊 到 


般 的探究法是一种重要 的解 题思 维方法 , 横跨 几 

何、 三角 、 代数三学科 , 显示了其综合性 .  

下面给 出一道变式题 , 让 同学 们从另一 个角度 
思考 :  

要证 矿 +   <c n , 即证 ( 旦) n +(   ) n< 1  

变 式  已知 AA B C中 , 口 , 6 , C分 别是  A,  

令   n ) = ( 詈 )   + ( 詈 )   ,  

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2 0 0 6 年

第4 5 卷

第1 期 

数 学通报 

4 5  

关 联数 列 的数 表 问题 
王太 东   赵 兴 凤 
( 黑龙 江省绥化 市第 一中学  1 5 2 0 0 0 )  ( 黑龙 江省绥化市第六 中学  1 5 2 0 0 0 )  

近年来“ 数表问题” 如一 颗璀璨 的“ 明珠” , 频频 

出现在国际 、 国 内的数学 联赛 、 中、 高考 试卷 上 , 它  与数列知识 联手 , 凑 出一 曲曲优美 的“ 乐章 ” . 所 谓  “ 数 表” 就是满 足一 定条件的数 , 按一定规 律排成一 
个表 , 这类 问题 题 型灵 活 、 解 法 巧妙 、 规律 性强 、 学 

解  表中每数字都 是其两脚 的数 字和 , 故第 6  
行为  1  1  1  1  1  1  

例2 ( 1 9 7 9年吉林 省赛 题改编 ) 下 面的数 表 
1= 1  

生乐见 , 低、 中、 高档 题均 可 出现 , 故 成为 很多 出题  专家们 的“ 新宠 ” . 下面就 关联数列 的数表 问题进 行  分类探究 . 用 以抛砖引玉 , 期望读 者从 中受 益 , 进而 
得出解决此类 问题 的一般方法 .  

3+5= 8   7 +9 + 1 1= 2 7   1 3+1 5+ 1 7+1 9= 6 4   21+ 2 3+ 2 5+2 7+ 2 9=1 2 5  

1   求数表所 暗示的规律 ( 即通项公式 )  

所 暗示 的一般规律是
。 2   3, 口 n + l   口 n + 2n.  

.  
— —

例1   德国数学家莱布尼兹发现了下面 的单位  分数 三角形 ( 单位 分数是 分子为 1 , 分母 为正整数的 
分数 ) , 称 为莱 布尼兹三角形 :  
1   1   1   2   1   1   1  


解  设第  行左边第 一个 数为  , 则 o 1= 1 ,  

叠加得 % =   一凡+1 , 而第  行等式左边是  个奇数 的和 , 故第  行 所暗示的一般规律是 :  
(   2一   +1 )+(  2 一   +3 )+… +[  2 一   +( 2   1 ) ]=   点拨  解决 这类 问题 , 主要 从所 给 的条 件 出  

2   1  

3   l   4  
1  

6   1   1  

3   1   4  
1  

发。 由问题 的 内含 、 前 后联 系 , 经过 观察 、 试验、 分 
析、 归纳 、 概括 , 猜想 出一般规律 , 往往 不需证 明 .  
2   求表中指 定的某些项  例3   能够在如下表所示 的 5×5 正方形 的 2 5  

1 2  
1  

1 2  
1  

1  

5  

2 O   3 0   2 0  

5  

个空 格中填入 正整数 , 使得 每一 行 , 每 一列 都成等  差数 列 , 问必须填进标有 *号 的空格的数是多少?  

根 据 前 5行 的 规 律 第 6行 的 数 依 次 是 
c ( 口 2 +6 2 )= c   .  

则  ) = ( 詈 )   + ( 詈 )   为 单 调 递 减 函 数 .  
因为  ≥ 3 , 所 以f ( n )<f ( 2 ) .  

② 假设若 当   =   时成立 , 即口   +   <c   贝 0 当 凡=   +1 时, 口  。 +6   +  = 口? 口   +6? 6  
<c . 口   +c. 6   =c ( 口   +6   )<c ? c   , 即口   +6  
< c   “
. 

即 ( 詈 )   + ( 詈 )   < ( 詈 )   + ( 詈 )   = 1 .  
证五  与 自然数有关 的命题 , 用数学归纳法证 
明 

① 当  =3 时, ( 因为 口  +6  = c   , 口>0 , 6>  
0 , c>O , 所 以 c> 口 , c> 6 ) .  


3+ 6   = 口 .口 2+ 6 ? 6 2 < c ?0 , 2+ c?6 2=  

综合 ①② 可知当 n≥3 时, 口   +6 , I <c   成立.   小结  通过对变式 题探讨 激发同学们的思维 ,   启发 同学们从不同角度思 考 问题 , 五 种解法跨 越三  角 函数 , 排列组合 , 函数单 调性 , 数 学归 纳法等 知识  板块 , 起到 了很好 的复 习作用 .  


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