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已知三棱锥S


已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形, A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是Δ SBC 的垂心, 二 面角 H—AB—C 的平面角等于 30 ,SA=
0

。求三棱锥 S—ABC 的体积。

[解] 由题设,AH 故 SC 知,CO

平面 SBC,作 BH

SC 于 E,由三垂线

定理可知 SC

AE,SC

AB,

平面 ABE。设 S 在平面 ABC 内射影为 O,则 SO AB 于 F。同理,BO

平面 ABC,由三垂线定理的逆定理

AC,所以 O 为Δ ABC 垂心。又因为Δ ABC 是等边三角形,故 O ,因为 CF AB,CF 是 EF 在平面 ABC 上的射影,又由
0

为Δ ABC 的中心,从而 SA=SB=SC= 三垂线定理知,EF

AB,所以∠EFC 是二面角 H—AB—C 的平面角,故∠EFC=30 ,所以

OC=SCcos60 =

0

,SO=

tan60 =3,又 OC=

0

AB,所以 AB=

OC=3。所以 VS—

ABC

=

×3 ×3= 设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值,h 是四面体的最小高的长,求证:2d>h.

2

[证明] 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h,AC 与 BD 间的距离为 d,作 AF CN

BD 于点 F,

BD 于点 N,则 CN//HF,在面 BCD 内作矩形 CNFE,连 AE,因为 BD//CE,所以 BD//平面

ACE,所以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d。在Δ AEF 中,AH 为边 EF 上的高,AE 边上的高 FG=d, 作 EM AF 于 M, 则由 EC//平面 ABD 知, EM 为点 C 到面 ABD 的距离 (因 EM

面 ABD),于是 EM≥AH=h。在 RtΔ EMF 与 RtΔ AHF 中,由 EM≥AH 得 EF≥AF。又因为Δ AEH

∽Δ FEG,所以

≤2。所以 2d>h.


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