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江苏省南京市2011届高三调研考试数学试卷


江苏省南京市 2011 届高三调研考试数学试卷 2010.11
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.将函数 y ? sin ( 2 x ?
?
3 ) 的图象先向左平移

?
3

,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为 ▲ .

原来的 2 倍(

纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为 ? 4 ? 2.若 ? ? [ 0 , ] ,且 sin ? ? ,则 tan = ▲ .
2 5 2

3.已知点 A、B、C 满足 AB ? 3 , BC ? 4 , CA ? 5 ,则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的 值是 ▲
x
2 2

.
? y ? 1 的一条准线为准线,顶点在原点的抛物线方程是

4.以双曲线



.

3

5.入射光线沿直线 y ? 2 x ? 1 射向直线 y ? x , 被 y ? x 反射后,反射光线所在的直线方程 是 ▲ .

6. ? ABC 的三内角 A,B,C 所对边长分别是 a , b , c ,设向量 m ? ( a ? b , sin C ),
n ? ( 3 a ? c , sin B ? sin A ) ,若 m // n ,则角 B 的大小为


x
2

.
? y
2

7.两个正数 m , n 的等差中项是 5,等比中项是 4.若 m ? n ,则椭圆 的大小为 ▲ .

? 1 的离心率 e

m

n

8.函数 y ? a 1 ? x ( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 m x ? ny ? 1 ? 0( m n ? 0) 上,则
1 m ? 1 n

的最小值为



.
S 2007 2007 S 2005 2005

9.等差数列 { a n }中 , S n 是其前 n 项和 , a 1 ? ? 2008 ,

?

? 2 , 则 S 2008 的值为



a 10.若函数f(x)=loga (x+ -4) ( a>0 且 a≠1) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 x
2 2 2



.

11.已知点 A(-2,-1)和 B(2,3),圆 C:x +y = m ,当圆 C 与线段 AB 没有公共 .. 点时,求 m 的取值范围_ 12.设函数 f ? x ? ? 函数【 f ? x ? ?
1 2



.

a

x x

1? a

?a

? 0, 且 a ? 1 ? ,若用【 m 】表示不超过实数 m 的最大整数,则
1 2 t 2s x ? y ? t ? 0与 l2 : t 2s x ? y ? 0 的交点是 ( x1 , y 1 ) ,对于

】? 【 f ??x? ?

】的值域为



.

13.设 s , t 为正整数,两直线 l1 :

正整数 n ( n ? 2) ,过点 (0, t ) 和 ( x n ?1 , 0 ) 的直线与直线 l 2 的交点记为 ( x n , y n ) .则数列 ? x n ? 通

项公式 x n =



.

14.定义在 R 上的函数 f ( x ) :当 sin x ≤ co s x 时, f ( x ) ? cos x ;当 sin x ? cos x 时,
f ( x ) ? sin x .给出以下结论:

① f ( x ) 是周期函数

② f ( x ) 的最小值为 ? 1

③当且仅当 x ? 2 k ? ( k ? Z ) 时, f ( x ) 取最大值 ④当且仅当 2 k ? ?
?
2 ? x ? ( 2 k ? 1) ? ( k ? Z ) 时, f ( x ) ? 0

⑤ f ( x ) 的图象上相邻最低点的距离是 2 ? 其中正确命题的序号是 ▲ .(把你认为正确命题的序号都填上)

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在△ABC 中,A,B,C 分别为 a,b,c 边所对的角,且cosA= 5 .
B+C ⑴求sin2 +cos2A的值; 2 ⑵若 a =2,求△ABC 的面积 S 的最大值.

4

16.(1)不等式 2 x ? 1 ? m ( x 2

? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围.

(2) 是否存在 m 使得不等式 2 x ? 1 ? m ( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? x ? 2 的所有实数 x 的取值都成立

17.如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD, AD ? BD ,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点. 求证: (1)直线 EF// 面 ACD; (2)平面 EFC ? 面 BCD. F B

E

D C A

18.设平面向量 a ? ( 3 , ? 1), b ? ( ,
2
2

1

3 2

) ,若存在实数 m ( m ? 0 ) 和角 ? ,其中 ? ? ( ?

? ?
, 2 2

),

使向量 c ? a ? (tan ? ? 3 ) b , d ? ? m a ? b ? tan ? ,且 c ? d . (1).求 m ? f (? ) 的关系式; (2).若 ? ? [ ?
? ?
, 6 3 ] ,求 f (? ) 的最小值,并求出此时的 ? 值.

19.在平面直角坐标系 xO y ,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于 坐标原点 O.椭圆
x a
2 2

?

y

2

? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 .

9

(1)求圆 C 的方程;

(2)圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 | Q F | ? | O F | (F 为椭圆右焦点) ,若存在,请 求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

????

????

20.一个三角形数表按如下方式构成:第一行依次写上 n(n≥4)个数,在上一行的每相邻两数 的中间正下方写上这两数之和,得到下一行,依此类推.记数表中第 i 行的第 j 个数为 f(i,j). f(1,1) f(1,2) … f(1,n-1) f(2,n-1) f(1,n)

f(2,1) f(2,2) …

f(3,1) … f(3,n-2) … f(n,1)

(1)若数表中第 i (1≤i≤n-3)行的数依次成等差数列,求证:第 i+1 行的数也依次成等差数 列; (2)已知 f(1,j)=4j,求 f(i,1)关于 i 的表达式; (3)在(2)的条件下,若 f(i,1)=(i+1)(ai-1),bi= Sn=b1g(1)+b2g(2)+…+bng(n)< 时,都有 Sn >m. 1 ,试求一个函数 g(x),使得 aiai+1

1 1 1 ,且对于任意的 m∈( , ),均存在实数??,使得当 n>? 3 4 3

江苏省南京市 2011 届高三调研考试数学试卷参考答案
一、填空题: 1. y ? sin ? x ?
? ?

? ?
? 3 ?
3 2

2.

1 2

3.-25

4. y 2 ? 6 x 或 y 2 ? ? 6 x

5.x-2y-1=0

6. ?
6

5

7.

8.2

9. ? 2008

10. (0,1) ? (1, 4] 12. { ? 1, 0} 13. x n ?
2s n ?1

11. ?

2 2

? m ?

2 2

和 m ? ? 13与 m ? 13 且 m ? 0

14.①④⑤

二、解答题: B+C 1-cos(B+C) 1+cos2A B+C 15. ⑴sin2 +cos2A= +cos2A= +2cos2A-1=sin2 +cos2A 2 2 2 2 = 1-cos(B+C) 1+cos2A B+C 59 +cosA= +2cos2A-sin2 +cos2A= . 2 2 2 50 1 3 由SΔABC= bcsinA= bc, 2 10

4 3 ⑵∵cosA= ,∴sinA= 5 5

8 ∵a=2,由余弦定理得:a2= b2+c2-2bccosA=4,∴ bc+4= b2+c2≥2bc, bc≤10, 5
? S ? ABC ? 1 2 ? b c sin A ? 3 10 bc ? 3 ,

当且仅当 b=c 时,取得最大值,所以当 b= c 时,△ ABC 的面积 S 的最大值为 3.

16.(1)变形为 ( x 2 ? 1) ? m ? (1 ? 2 x ) ? 0 (? ) , 设 f ( m ) ? ( x 2 ? 1) m ? (1 ? 2 x ), m ? [ ? 2 , 2 ]
? f ( 2 ) ? ( x ? 1) ? 2 ? (1 ? 2 x ) ? 0
2 2

要使 f ( m ) ? 0 恒成立,只须满足 ?
?1 ? 2 7 1? 2 3

? f ( ? 2 ) ? ( x ? 1)( ? 2 ) ? (1 ? 2 x ) ? 0

,

解得

? x?

∴ x 的取值范围

?1 ? 2

7

? x?

1? 2

3



(2)整理变形为 m x 2 ? 2 x ? 1 ? m ? 0 (? ) ,设 f ( x ) ? m x 2 ? 2 x ? 1 ? m , x ? [ ? 2, 2] ①当 m ? 0 时, f ( x ) ? ? 2 x ? 1 在 x ? [ ? 2, 2] 上为减函数,所以 f m in ( x ) ? f (2) ? ? 3 ,不合题 意. ②当 m ? 0 时, f ( ? 1) ? 3 ? 0 ,所以不能让 ? 2 ? x ? 2 的所有实数 x 的取值都成立. ③当 m ? 0 时, f (0) ? 1 ? m ? 0 显然不合题意,舍去. 综上, 不存在 m 使得不等式 2 x ? 1 ? m ( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? x ? 2 的所有实数 x 的取值都成立.

17.证明: (1)∵E,F 分别是 A B, B D 的中点. ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF∥ ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是BD的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC, ∵BD ? 面 BCD,∴面 E F C ? 面 B C D
3 18.解:(1)∵ c ? d ,且 a ? b ? 0 , a ? 2 , b ? 1 ,∴ c ? d ? ? m a ? (tan ? ? 3 tan ? ) b ? 0 2 2

∴ m ? f (? ) ?

1 4

(tan

3

? ? 3 tan ? ), ? ? ( ?
? ?
, 6 3

? ?
, 2 2

)

(2)设 t ? tan ? ,又∵ ? ? [ ?
m ' ? g ' (t ) ? 3 4 (t
2

] ,∴ t ? [ ?

3 3

,

3 ] ,则 m ? g ( t ) ?

1 4

(t ? 3t )
3

? 1) 令 g ' ( t ) ? 0 得 t ? ? 1 (舍去) t ? 1
3 ) 时 g ' ( t ) ? 0 ,∴ t ? 1 时,即 ? ?

∴ t ? (?

3 3

,1) 时 g ' ( t ) ? 0 , t ? (1,

?
4

时,

g (1) 为极小值也是最小值, g (t ) 最小值为 ?

1 2

.

19.(1)圆 C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ;
2 2 (2)由条件可知 a ? 5 ,椭圆 x ? y ? 1 ,∴F (4, 0) ,若存在,则 F 在 OQ 的中垂线

25

9

上,又 O、Q 在圆 C 上,所以 O、Q 关于直线 CF 对称; 直线 CF 的方程为 y ? 1 ? ? 1 ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,设 Q ( x , y ) ,
3
?y ? ? 3 ?x 则? ? x ? 3y ? 4 ? 0 ?2 2 ?
?

,解得 ? ?

4 5 ? ? y ? 12 ? 5 ? x?

所以存在,Q 的坐标为 ( ,
5

4 12 5

).

20.(1)数表中第 i ? 1 行的数依次所组成数列的通项为 f ? i ? 1, j ? ,则由题意可得
f ? i ? 1, j ? 1 ? ? f ? i ? 1, j ? ? ? f ? i , j ? 1 ? ? f ? i , j ? 2 ? ? ? ? f ? i , j ? ? f ( i , j ? 1) ? ? ? ? ?

? f ? i , j ? 2 ? ? f ? i , j ? ? 2 d (其中 d 为第 i 行数所组成的数列的公差)

(4 分)

(2)? f ? 1, j ? ? 4 j ? 第一行的数依次成等差数列,由(1)知,第 2 行的数也依次成等差数列, 依次类推,可知数表中任一行的数(不少于 3 个)都依次成等差数列。设第 i 行的数公差为 d i , 则 d i ? 1 ? 2 d i ,则 d i ? d 1 ? 2
i ?1

? 4? 2

i ?1

? 2

i ?1

i ?1 i 所以 f ? i ,1 ? ? f ? i ? 1,1 ? ? f ? i ? 1, 2 ? ? 2 f ? i ? 1,1 ? ? 2 ? 2 ? 2 f ? i ? 2,1 ? ? 2 ? ? 2 ? ?

i

? 2 f ? i ? 2,1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2
2 i

i ?1

f ? 1,1 ? ? ? i ? 1 ? ? 2 ? 2
i

i ?1

? 4 ? ? i ? 1? ? 2

i

? 2

i ?1

? ? i ? 1? ? 2 ? ? i ? 1? ? 2
i

i

(3)由 f ? i ,1 ? ? ? i ? 1 ? ? a i ? 1 ? ,可得 a i ?
1 a i a i ?1
i

f ? i ,1 ? i ?1

?1 ? 2 ?1
i

所以 bi ?

?

1

?2

i

? 1? ? 2

i ?1

? 1?

=
1

1 ? 1 1 ? ? i ?1 ? i ? i 2 ? 2 ?1 2 ?1?

令 g ? i ? ? 2 ,则 bi g ? i ? ? 要使得 S n ? m ,即
1 3 ?

1 2 ?1 1
i

? 2

i ?1

?1

,所以 S n ?
1 2
n ?1

1 3 ?

? 2 1 3

1
n ?1

2

n ?1

?1

? m ,只要

?1

?m=

?1 3 1 ? 3m 3

?

1



1 3 ?1 1? n ?1 ?1 ? ? m ? ? , ? ,? 0 ? 1 ? 3 m ? ,所以只要 2 , 4 1 ? 3m ?3 4?
?
3 ? ? ? ? 1? ? 1 ? 1 ? ? 1 ,所以可以令 ? ? lo g 2 ? ? 1 ? 3m ? ? 1 ? 3m ?

即只要 n ? lo g 2 ?

3

则当 n ? ? 时,都有 S n ? m . 所以适合题设的一个函数为 g ? x ? ? 2
x


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