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3.3.1 两条直线的交点坐标课件(人教A版必修2)


3.3

直线
的交

3.3.1 两条

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点坐
标与

直线
的交

距离
公式

点坐


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3.3.1

两条直线的交点坐标

两条直线的位置关系 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组
?A x+B y+C =0, ? 1 1 1 ? ?A2x+B2y+C2=0. ?

若方程组有配惟一解,则两条直线 相交 ,此解就是交 点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点 ,此时 两条直线 平行 .

下列各组直线中,相交的是_______,平行的是_____. ①a:2x-y+1=0;b:x+2y=0 ②c:y=2x+3;d:x-y+1=0 ③e:x-3y=0;f:2x-6y+4=0
1 ④g:2x+y-1=0;h:4x+2y- =0 2 提示:相交的有①②;平行的有③④.

探究点一

直线的交点问题

求两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程
组的解,方程组解的个数也可判定两条直线的位置关系; 当方程组仅有一组解时,两直线只有一个交点,故相交; 当方程组有无数组解时,两直线有无数个公共点,故重 合;当方程组无解时,两直线没有公共点,故平行.

已知三条直线方程:x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y
=5,是否存在实数k使得三条直线交于一点?若存在求 实数k的值,若不存在说明理由. [提示] 先假设存在使三条直线交于一点的k,再由两条 直线的交点代入第三条直线的方程得k值,若求得即存在, 否则就不存在.

[解]

假设存在实数 k 使得三直线交于一点,

? ?x=k+6, ?x-2y=1, k+4 ? ? 解方程组? 得:? ?2x+ky=3. 1 ? ? ?y=k+4. ? 将 x,y 的值代入直线 3kx+4y=5,则有 k+6 1 3k( )+4× =5, k+4 k+4 16 解得 k=1 或 k=- . 3 16 ∴存在实数 k=1 或 k=- 满足条件. 3

1.在本例的三条直线中,若三直线不能构成三角形, 求k的取值集合.
解: 当三条直线交于一点或至少有两条平行时, 它们不能构 成三角形. (1)当三条直线交于一点时, ? ?x=k+6, ?x-2y=1, k+4 ? ? 由? 得? ?2x+ky=3, 1 ? ? ?y=k+4 ?



16 把解代入 3kx+4y=5 并解得 k=1 或 k=- . 3

(2)当 x-2y=1 与 2x+ky=3 平行时, 1 -2 = ,得 k=-4. 2 k 当 2x+ky=3 与 3kx+4y=5 平行时, 2 k 2 6 = ,得 k=± . 3k 4 3 当 x-2y=1 与 3kx+4y=5 平行时, 1 -2 2 = ,得 k=- . 3k 4 3 16 2 6 2 6 2 综上可知,k 取值的集合是{1,- ,-4, ,- ,- }. 3 3 3 3

探究点二

直线系及应用

1.直线系就是具备某种共同特点的一系列直线.

2.几种特殊的直线系方程:
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m= 0(m≠C); (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m= 0(m为常数); (3)过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系 为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,但其不能表示直

线A2x+B2y+C2=0,其中λ为常数.

求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的 交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.

[提示] 可考虑平行的条件,利用常规法解决,即先
求出交点,用点斜式得出方程;也可考虑利用平行 直线系,或过交点的直线系.

[解]

3 ? ?2x-3y-3=0, ?x=-5, ? 法一:由方程组? 得? ?x+y+2=0, ? ?y=-7. 5 ?

∵直线 l 和直线 3x+y-1=0 平行, ∴直线 l 的斜率 k=-3. 7 3 ∴根据点斜式有 y-(- )=-3[x-(- )], 5 5 即所求直线方程为 15x+5y+16=0.

法二: ∵直线 l 过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点, ∴可设直线 l 的方程为 2x-3y-3+λ(x+y+2)=0, 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线 l 与直线 3x+y-1=0 平行, λ+2 λ-3 2λ-3 11 ∴ = ≠ ,解得 λ= . 3 1 2 -1 从而所求直线方程为 15x+5y+16=0.

3 ? x=- , ?2x-3y-3=0, ? 5 ? ? ? 法三:由方程组 得 ?x+y+2=0, ? ?y=-7. 5 ? ∵直线 l 与 3x+y-1=0 平行, ∴可设直线 l 的方程为 3x+y+m=0. 3 7 把(- ,- )代入上式得 5 5 3 7 3×(- )+(- )+m=0. 5 5 解得 m= 16 . 5

从而所求的直线方程为 16 3x+y+ =0,即 15x+5y+16=0. 5

2.把本例中的“平行”改为“垂直”,求直线方程.
3 ? ?2x-3y-3=0, ?x=-5, ? 解:法一:由? 得? ?x+y+2=0, ? ?y=-7. 5 ? ∵直线 l 和直线 3x+y-1=0 垂直, 1 ∴直线 l 的斜率 k= . 3 7 1 3 由点斜式得 y+ = (x+ ), 5 3 5 即所求直线方程为 5x-15y-18=0.

法二:可设直线方程为 2x-3y-3+λ(x+y+2)=0, 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0, ∵直线 l 与直线 3x+y-1=0 垂直, 3 ∴3(λ+2)+(λ-3)=0,解得 λ=- , 4 从而所求的直线方程为 5x-15y-18=0.

法三:∵直线 l 与直线 3x+y-1=0 垂直, ∴可设方程为 x-3y+n=0, 3 7 18 把交点(- ,- )代入并解得 n=- , 5 5 5 从而所求的直线方程为 x-3y- 18 =0,即 5x-15y-18=0. 5

探究点三

直线过定点问题

要证明直线系中的直线都过一定点,就要证明它是

一个共点的直线系.一般有两种方法:①按直线系方程
中参数进行整理,令它们的系数为零,解出定点的坐标; ②给参数赋予两组特殊值,得到直线系中的两条直线, 然后证明它们的交点是直线系中任何直线都过的定点.

求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y

=m-5都过某一定点.
[提示] 特殊值法,分别代入两个m值得两直线方程,再

确定交点坐标或将原方程中含有m的式子提出来,联立方
程组求解.

1 [证明] 法一:取 m=1 时,直线方程为 y=-4;取 m= 时, 2 直线方程为 x=9. 两直线的交点为 P(9,-4),将点 P 的坐标代入原方程左边 (m-1)×9+(2m-1)×(-4)=m-5. 故不论 m 取何实数, P(9, 点 -4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y =m-5 上, 即直线恒过点 P(9,-4).

法二:原方程化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0. 若对任意 m
?x+2y-1=0, ? 都成立,则有? ?x+y-5=0. ? ?x=9, ? ∴? ?y=-4. ?

∴不论 m 为何实数,所给直线都过定点 P(9,-4).

3.若m+n=1,证明直线mx+ny=1过定点.
证明:∵m+n=1. ∴方程 mx+ny=1 可化为 mx+(1-m)y=1. 即 m(x-y)+(y-1)=0,
?x-y=0 ? 由? ?y-1=0 ?

得 x=y=1.

∴直线 mx+ny=1 过定点(1,1).

求证:不论m取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y -m+11=0恒过一定点.

[错解] 由题意可知(m+3)y=(2m-1)x-m+11. 2m-1 m-11 m-11 ∴y= x- .∴直线恒过定点(0,- ). m+3 m+3 m+3

[错因]

(1)对定点的概念认识模糊,以为用常参数表示,

即表示定点,这实际上是受思维定势的影响,它与直 线y=kx+2(k∈R)过定点(0,2)不同.

(2)变形不是恒等变形,原方程m可取任意值,变形后
的式子m≠-3.

[正解一]

当 m=0 时,直线方程为 x+3y-11=0;

当 m=1 时,直线方程为 x-4y+10=0.
?x+3y-11=0, ? 由方程组? ?x-4y+10=0. ? ?x=2, ? 解得? ?y=3. ?

∴两直线交点为(2,3). 将(2,3)代入原方程,得 (2m-1)×2-(m+3)×3-m+11=0 恒成立. ∴不论 m 取何值,直线(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0 恒过定点 (2,3).

[正解二] 将原方程变形为(2x-y-1)m-(x+3y-11)=0, 若对任意 m∈R,上式恒成立,则必有:
?2x-y-1=0, ? ? ?x+3y-11=0. ? ?x=2, ? 解得? ?y=3. ?

∴直线(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0 恒过定点(2,3).


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