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2014年浙江省高考数学试卷(文科)


2014 年浙江省高考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 ) 1. (5 分)设集合 S={x|x≥2},T={x|x≤5},则 S∩ T=( ) A.(﹣∞,5] B.[2,+∞) C.(2,5) D.[2,5] 2. (5 分)设四边形 ABCD 的两条对角线为

AC,BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥ BD”的( A.充分不不要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( ) )

A.72cm3

B.90cm3

C.108cm3

D.138cm3 )

4. (5 分)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= cos3x 的图象( A. B. 向右平移 个单位 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位

5. (5 分)已知圆 x +y +2x﹣2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8 6. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则( ) A.若 m⊥ n,n∥ α,则 m⊥ α B. 若 m∥ β,β⊥ α,则 m⊥ α C. 若 m⊥ β,n⊥ β,n⊥ α,则 m⊥ α D.若 m⊥ n,n⊥ β,β⊥ α,则 m⊥ α

2

2



7. (5 分) (2014?浙江)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,其 0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则( A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 8. (5 分) (2014?浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是( A. B. C. D.
a

3

2





9. (5 分)设 θ 为两个非零向量 , 的夹角,已知对任意实数 t,| +t |的最小值为 1. ( A. C. 若 θ 确定,则| |唯一确定 若| |确定,则 θ 唯一确定 B. 若 θ 确定,则| |唯一确定



D. 若| |确定,则 θ 唯一确定

10. (5 分)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练,已知点 A 到墙面的距离为 AB, 某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成的角) .若 AB=15m,AC=25m,∠ BCM=30°,则 tanθ 的最大值是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11. (4 分)已知 i 是虚数单位,计算 = _________ .

12. (4 分)若实数 x,y 满足

,则 x+y 的取值范围是 _________ .

13. (4 分) (2014?浙江)在某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运算后输出的结果是 _________ .

14. (4 分) 在 3 张奖券中有一、 二等奖各 1 张, 另 1 张无奖. 甲、 乙两人各抽取 1 张, 两人都中奖的概率是 _________ .

15. (4 分)设函数 f(x)=

,若 f(f(a) )=2,则 a=

_________ .

16. (4 分)已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a +b +c =1,则 a 的最大值是

2

2

2

_________ .

17. (4 分) (2014?浙江)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线

(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点

A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 _________ . 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18. (14 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 4sin (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )已知 b=4,△ ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 19. (14 分)已知等差数列{an}的公差 d>0,设{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S2?S3=36. (Ⅰ )求 d 及 Sn; * (Ⅱ )求 m,k(m,k∈N )的值,使得 am+am+1+am+2+…+am+k=65. 20. (15 分)如图,在四棱锥 A﹣BCDE 中,平面 ABC⊥ 平面 BCDE,∠ CDE=∠ BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1, AC= . (Ⅰ )证明:AC⊥ 平面 BCDE; (Ⅱ )求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.
2

+4sinAsinB=2+



21. (15 分)已知函数 f(x)=x +3|x﹣a|(a>0) ,若 f(x)在[﹣1,1]上的最小值记为 g(a) . (Ⅰ )求 g(a) ; (Ⅱ )证明:当 x∈[﹣1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4.
2

3

22. (14 分)已知△ ABP 的三个顶点在抛物线 C:x =4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中点, (Ⅰ )若|PF|=3,求点 M 的坐标; (Ⅱ )求△ ABP 面积的最大值.

=3



2014 年浙江省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 ) 1. (5 分)设集合 S={x|x≥2},T={x|x≤5},则 S∩ T=( ) A.(﹣∞,5] B.[2,+∞) C.(2,5) D.[2,5] 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 根据集合的基本运算即可得到结论. 解:∵ 集合 S={x|x≥2,T={x|x≤5}, ∴ S∩ T={x|2≤x≤5}, 故选:D. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
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2. (5 分)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC,BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥ BD”的( A.充分不不要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答:



充要条件. 简易逻辑. 利用菱形的特征以及对角线的关系,判断“四边形 ABCD 为菱形”与“AC⊥ BD”的推出关系,即可得到结果. 解:四边形 ABCD 的两条对角线为 AC,BD,则“四边形 ABCD 为菱形”那么菱形的对角线垂直,即“四边形 ABCD 为菱形”?“AC⊥ BD”, 但是“AC⊥ BD”推不出“四边形 ABCD 为菱形”,例如对角线垂直的等腰梯形,或筝形四边形; ∴ 四边形 ABCD 的两条对角线为 AC,BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥ BD”的充分不不要条件. 故选:A. 点评: 本题考查充要条件的判断与应用,基本知识的考查.
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3. (5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(



A.72cm3 考点: 专题: 分析: 解答:

B.90cm3

C.108cm3

D.138cm3

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 利用三视图判断几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的体积即可. 解:由三视图可知:原几何体是由长方体与一个三棱柱组成,长方体的长宽高分别是:6,4,3;三棱柱的
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底面直角三角形的直角边长是 4,3;高是 3; 其几何体的体积为:V=3× =90(cm ) .
3

故选:B. 点评: 本题考查三视图还原几何体,几何体的体积的求法,容易题. 4. (5 分)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= cos3x 的图象( A. B. 向右平移 个单位 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 )

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用平移原则判断选项即 可. 解答: 解:函数 y=sin3x+cos3x= ,故只需将函数 y= cos3x= 的图象向右
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平移

个单位,得到 y=

=

的图象.

故选:A. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查 5. (5 分)已知圆 x +y +2x﹣2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆的位置关系. 直线与圆. 把圆的方程化为标准形式,求出弦心距,再由条件根据弦长公式求得 a 的值.
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2

2



解:圆 x +y +2x﹣2y+a=0 即 (x+1) +(y﹣1) =2﹣a, 故弦心距 d= = .

2

2

2

2

再由弦长公式可得 2﹣a=2+4,∴ a=﹣4, 故选:B. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于基础题. 6. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则( ) A.若 m⊥ n,n∥ α,则 m⊥ α B. 若 m∥ β,β⊥ α,则 m⊥ α C. 若 m⊥ β,n⊥ β,n⊥ α,则 m⊥ α D.若 m⊥ n,n⊥ β,β⊥ α,则 m⊥ α 考点: 专题: 分析: 解答: 空间中直线与平面之间的位置关系. 空间位置关系与距离. 根据空间线线,线面,面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论. 解:A.若 m⊥ n,n∥ α,则 m⊥ α 或 m?α 或 m∥ α,故 A 错误. B.若 m∥ β,β⊥ α,则 m⊥ α 或 m?α 或 m∥ α,故 B 错误. C.若 m⊥ β,n⊥ β,n⊥ α,则 m⊥ α,正确. D.若 m⊥ n,n⊥ β,β⊥ α,则 m⊥ α 或 m?α 或 m∥ α,故 D 错误. 故选:C 点评: 本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定,要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理.
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7. (5 分) (2014?浙江)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,其 0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则( A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由 f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)列出方程组求出 a,b 代入 0<f(﹣1)≤3 求出 c 的范围. 解答: 解:由 f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)得 ,
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3

2



解得
3


2

f(x)=x +6x +11x+c, 由 0<f(﹣1)≤3,得 0<﹣1+6﹣11+≤3, 即 6<c≤9, 故选 C. 点评: 本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题. 8. (5 分) (2014?浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是( A. B. C. D.
a



考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合对数函数和幂函数的图象和性质,分当 0<a<1 时和当 a>1 时两种情况,讨论函数 f(x)=xa(x≥0) , g(x)=logax 的图象,比照后可得答案. 解答: 解:当 0<a<1 时,函数 f(x)=xa(x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:
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此时答案 D 满足要求, a 当 a>1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:

无满足要求的答案, 综上:故选 D 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质,是解答的关键.

9. (5 分)设 θ 为两个非零向量 , 的夹角,已知对任意实数 t,| +t |的最小值为 1. ( A. C. 若 θ 确定,则| |唯一确定 若| |确定,则 θ 唯一确定 B. 若 θ 确定,则| |唯一确定



D. 若| |确定,则 θ 唯一确定

考点: 平面向量数量积的运算;零向量;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 2 由题意可得( +t ) = +2 t+ ,令 g(t)= +2

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t+

,由二次函数可知当 t=﹣

=

﹣ 解答:

cosθ 时,g(t)取最小值 1.变形可得
2

sin θ=1,综合选项可得结论.

2

解:由题意可得( +t ) = 令 g(t)= 可得△ =4 +2 ﹣4 t+ =4

+2

t+

cos θ﹣4

2

<0

由二次函数的性质可知 g(t)>0 恒成立 ∴ 当 t=﹣ =﹣ cosθ 时,g(t)取最小值 1.

即 g(﹣

cosθ)=﹣

+

=

sin θ=1

2

故当 θ 唯一确定时,| |唯一确定, 故选:B 点评: 本题考查平面向量数量级的运算,涉及二次函数的最值,属中档题.

10. (5 分)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练,已知点 A 到墙面的距离为 AB, 某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成的角) .若 AB=15m,AC=25m,∠ BCM=30°,则 tanθ 的最大值是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 正弦定理;解三角形的实际应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 在直角三角形 ABC 中,由 AB 与 AC 的长,利用勾股定理求出 BC 的长,过 P 作 PP′ ⊥ BC,交 BC 于点 P′ ,
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连接 AP′ ,利用锐角三角函数定义表示出 tanθ=

,设 BP′ =m,则 CP′ =20﹣m,利用锐角三角函数定义

表示出 PP′ ,利用勾股定理表示出 AP′ ,表示出 tanθ,即可确定出 tanθ 的值. 解答: 解:∵ AB=15cm,AC=25cm,∠ ABC=90°, ∴ BC=20cm, 过 P 作 PP′ ⊥ BC,交 BC 于 P′ ,连接 AP′ ,则 tanθ= 设 BP′ =x,则 CP′ =20﹣x, 由∠ BCM=30°,得 PP′ =CP′ tan30°= 在直角△ ABP′ 中,AP′ = ∴ tanθ= , , (20﹣x) , ,

?

令 y=

,则函数在 x∈[0,20]单调递减,

∴ x=0 时,取得最大值为

=

, (20+x) ,

若 P′ 在 CB 的延长线上,PP′ =CP′ tan30°= 在直角△ ABP′ 中,AP′ = ∴ tanθ= , ,

?

令 y=

,则 y′ =0 可得 x=

时,函数取得最大值



.则 tanθ 的最大值是



点评: 此题考查了正弦定理,锐角三角函数定义,以及解三角形的实际应用,弄清题意是解本题的关键. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11. (4 分)已知 i 是虚数单位,计算 = ﹣ ﹣ i .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,计算求得结果. 解答: 解: = = =﹣ ﹣ i,
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故答案为:﹣ ﹣ i. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题.

12. (4 分)若实数 x,y 满足

,则 x+y 的取值范围是 [1,3] .

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数 z=x+y 的最小值. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 设 z=x+y 得 y=﹣x+z,平移直线 y=﹣x+z, 由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A(1,0)时, 直线 y=﹣x+z 的截距最小,此时 z 最小,为 z=1+0=1, 当直线 y=﹣x+z 经过点 B)时, 直线 y=﹣x+z 的截距最大,此时 z 最大,
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解得

,即 B(2,1)代入目标函数 z=x+y 得 z=1+2=3.

故 1≤z≤3 故答案为:[1,3]

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基 本方法. 13. (4 分) (2014?浙江)在某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运算后输出的结果是 6 .

考点: 专题: 分析: 解答:

程序框图. 算法和程序框图. 根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件 S>50,跳出循环体,确定输出的 i 的值. 解:由程序框图知:第一次循环 S=1,i=2; 第二次循环 S=2×1+2=4,i=3; 第三次循环 S=2×4+3=11,i=4; 第四次循环 S=2×11+4=26,i=5; 第五次循环 S=2×26+5=57,i=6, 满足条件 S>50,跳出循环体,输出 i=6. 故答案为:6. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
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14. (4 分)在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各抽取 1 张,两人都中奖的概率是



考点: 专题: 分析: 解答:

古典概型及其概率计算公式. 概率与统计. 总共有 9 种可能,求出所获奖项有几种可能,根据概率公式进行计算即可. 解:设一、二等奖各用 A,B 表示,另 1 张无奖用 C 表示,甲、乙两人各抽取 1 张的基本事件有 AB,AC, BA,BC,CA,CB 共 6 个,其中两人都中奖的有 AB,BA 共 2 个,
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故所求的概率 P= = . 点评: 本题主要考查了古典概型的概率的公式的应用,关键是不重不漏的列出所有的基本事件.

15. (4 分)设函数 f(x)=

,若 f(f(a) )=2,则 a=



考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值. 函数的性质及应用. 根据分段函数的表达式,利用分类讨论的方法即可得到结论. 解:设 t=f(a) ,则 f(t)=2, 2 若 t>0,则 f(t)=﹣t =2,此时不成立, 2 若 t≤0,由 f(t)=2 得,t +2t+2=2, 2 即 t +2t=0,解得 t=0 或 t=﹣2, 即 f(a)=0 或 f(a)=﹣2,
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若 a>0,则 f(a)=﹣a =0,此时不成立,或 f(a)=﹣a =﹣2,即 a =2,解得 a= 2 若 a≤0,由 f(a)=0 得,a +2a+2=0,此时无解, 2 由 f(a)=﹣2 得,a +2a+4=0,此时无解, 综上:a= , 故答案为: . 点评: 本题主要考查分段函数的应用,利用换元法分别进行讨论即可.
2 2 2

2

2

2



16. (4 分)已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a +b +c =1,则 a 的最大值是



考点: 基本不等式. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由已知条件变形后,利用完全平方式将变形后的式子代入得到 b、c 是某一方程的两个实数根,利用根的判 别式得到有关 a 的不等式后确定 a 的取值范围. 2 2 2 解答: 解:∵ a+b+c=0,a +b +c =1, 2 2 2 ∴ b+c=﹣a,b +c =1﹣a ,
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∴ bc= ?(2bc) = [(b+c) ﹣(b +c )] =a ﹣ ∴ b、c 是方程:x +ax+a ﹣ =0 的两个实数根, ∴ △ ≥0
2 2 2 2 2 2

∴ a ﹣4(a ﹣ )≥0 即a ≤ ∴ ﹣ ≤a≤
2

2

2

即 a 的最大值为 故答案为: .

点评: 本题考查了函数最值问题,解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式,进而求得 a 的取 值范围.

17. (4 分) (2014?浙江)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线

(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点

A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出 A,B 的坐标,可得 AB 中点坐标为(
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) ,利用点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,

可得

=﹣3,从而可求双曲线的离心率.

解答: 解:双曲线 (a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=± x,则 , ) ,B(﹣ , ) ,

与直线 x﹣3y+m=0 联立,可得 A(

∴ AB 中点坐标为(



) ,

∵ 点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,



=﹣3,

∴ a=2b, ∴ ∴ e= = . = b,

故答案为:



点评: 本题考查双曲线的离心率,考查直线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18. (14 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 4sin (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )已知 b=4,△ ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ ) △ ABC 中由条件利用二倍角的余弦公式、 两角和的余弦公式求得 cos (A+B) =﹣
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2

+4sinAsinB=2+



, 从而得到 cosC=



由此可得 C 的值. (Ⅱ )根据△ ABC 的面积为 6= ab?sinC 求得 a 的值,再利用余弦定理求得 c= 解答: 解: (Ⅰ )△ ABC 中,∵ 4sin
2

的值. ,

+4sinAsinB=2+

,∴ 4× ,

+4sinAsinB=2+

∴ ﹣2cosAcosB+2sinAsinB= ∴ cosC= ,∴ C= .

,即 cos(A+B)=﹣

(Ⅱ )已知 b=4,△ ABC 的面积为 6= ab?sinC= a×4× ∴ c= =

,∴ a=3 = .



点评: 本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用,属于中档题. 19. (14 分)已知等差数列{an}的公差 d>0,设{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S2?S3=36. (Ⅰ )求 d 及 Sn; * (Ⅱ )求 m,k(m,k∈N )的值,使得 am+am+1+am+2+…+am+k=65. 考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )根据等差数列通项公式和前 n 项和公式,把条件转化为关于公差 d 的二次方程求解,注意 d 的范围对 方程的根进行取舍; (Ⅱ )由(Ⅰ )求出等差数列{an}的通项公式,利用等差数列的前 n 项和公式,对 am+am+1+am+2+…+am+k=65 * 化简,列出关于 m、k 的方程,再由 m,k∈N 进行分类讨论,求出符合条件的 m、k 的值. 解答: 解: (Ⅰ )由 a1=1,S2?S3=36 得, (a1+a2) (a1+a2+a3)=36, 2 即(2+d) (3+3d)=36,化为 d +3d﹣10=0, 解得 d=2 或﹣5, 又公差 d>0,则 d=2,
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所以 Sn=n

=n (n∈N ) .

2

*

(Ⅱ )由(Ⅰ )得,an=1+2(n﹣1)=2n﹣1, 由 am+am+1+am+2+…+am+k=65 得, ,

即(k+1) (2m+k﹣1)=65, 又 m,k∈N ,则(k+1) (2m+k﹣1)=5×13,或(k+1) (2m+k﹣1)=1×65, 下面分类求解: 当 k+1=5 时,2m+k﹣1=13,解得 k=4,m=5; 当 k+1=13 时,2m+k﹣1=5,解得 k=12,m=﹣3,故舍去; 当 k+1=1 时,2m+k﹣1=65,解得 k=0,故舍去; 当 k+1=65 时,2m+k﹣1=1,解得 k=64,m=﹣31,故舍去; 综上得,k=4,m=5. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式,及分类讨论思想和方程思想,难度较大,考查了分析问 题和解决问题的能力. 20. (15 分)如图,在四棱锥 A﹣BCDE 中,平面 ABC⊥ 平面 BCDE,∠ CDE=∠ BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1, AC= . (Ⅰ )证明:AC⊥ 平面 BCDE; (Ⅱ )求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.
*

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ )如图所示,取 DC 的中点 F,连接 BF,可得 DF= DC=1=BE,于是四边形 BEDF 是矩形,在 Rt△ BCF
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中,利用勾股定理可得 BC=

=

.在△ ACB 中,再利用勾股定理的逆定理可得 AC⊥ BC,再利用

面面垂直的性质定理即可得出结论. (Ⅱ )过点 E 作 EM⊥ CB 交 CB 的延长线于点 M,连接 AM.由平面 ABC⊥ 平面 BCDE,利用面面垂直的性 质定理可得:EM⊥ 平面 ACB.因此∠ EAM 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角.再利用勾股定理和直角三角形 的边角关系即可得出. 解答: 解: (Ⅰ )如图所示,取 DC 的中点 F,连接 BF,则 DF= DC=1=BE, ∵ ∠ CDE=∠ BED=90°,∴ BE∥ DF, ∴ 四边形 BEDF 是矩形, ∴ BF⊥ DC,BF=ED=1, 在 Rt△ BCF 中,BC= = .

在△ ACB 中,∵ AB=2,BC=AC= , 2 2 2 ∴ BC +AC =AB , ∴ AC⊥ BC, 又平面 ABC⊥ 平面 BCDE,∴ AC⊥ 平面 BCDE. (Ⅱ )过点 E 作 EM⊥ CB 交 CB 的延长线于点 M,连接 AM. 又平面 ABC⊥ 平面 BCDE,∴ EM⊥ 平面 ACB. ∴ ∠ EAM 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角. 在 Rt△ BEM 中,EB=1,∠ EBM=45°. ∴ EM= =MB.

在 Rt△ ACM 中,

=

=



在 Rt△ AEM 中,

=

=



点评: 本题综合考查了矩形的判定定理及其性质定理、勾股定理及其逆定理、面面垂直的性质定理、线面角的求 法、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、辅助线的作法,属于难题. 21. (15 分)已知函数 f(x)=x +3|x﹣a|(a>0) ,若 f(x)在[﹣1,1]上的最小值记为 g(a) . (Ⅰ )求 g(a) ; (Ⅱ )证明:当 x∈[﹣1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )分类讨论,利用导数确定函数的单调性,即可求 g(a) ; (Ⅱ )设 h(x)=f(x)﹣g(a) ,分类讨论,求最值,可以证明 x∈[﹣1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. 解答: (Ⅰ )解:∵ a>0,﹣1≤x≤1, ① 当 0<a<1 时,
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3

若 x∈[﹣1,a],则 f(x)=x ﹣3x+3a,f′ (x)=3x ﹣3<0,故此时函数在(﹣1,a)上是减函数, 3 2 若 x∈(a,1],则 f(x)=x +3x﹣3a,f′ (x)=3x +3>0,故此时函数在(a,1)上是增函数, 3 ∴ g(a)=f(a)=a . 3 3 2 ② 当 a≥1,f(x)=x +3|x﹣a|=x ﹣3x+3a,f′ (x)=3x ﹣3<0,故此时函数在[﹣1,1]上是减函数, 则 g(a)=f(1)=﹣2+3a. 综上:g(a)= .

3

2

(Ⅱ )证明:设 h(x)=f(x)﹣g(a) , 3 ① 当 0<a<1 时,g(a)=a , 3 3 2 若 x∈[a,1],h(x)=x +3x﹣3a﹣a ,h′ (x)=3x +3, ∴ h(x)在[a,1]上是增函数, 3 ∴ h(x)在[a,1]上的最大值是 h(1)=4﹣3a﹣a ,且 0<a<1,∴ h(1)≤4,∴ f(x)≤g(a)+4. 3 3 2 若 x∈[﹣1,a],h(x)=x ﹣3x+3a﹣a ,h′ (x)=3x ﹣3, ∴ h(x)在[﹣1,a]上是减函数, 3 ∴ h(x)在[﹣1,a]上的最大值是 h(﹣1)=2+3a﹣a , 3 2 令 t(a)=2+3a﹣a ,则 t′ (a)=3﹣3a ,∴ t(a)在(0,1)上是增函数, ∴ t(a)<t(1)=4 ∴ h(﹣1)<4,∴ f(x)≤g(a)+4. 3 2 ③ a≥1 时,g(a)=﹣2+3a,∴ h(x)=x ﹣3x+2,∴ h′ (x)=3x ﹣3, ∴ h(x)在[﹣1,1]上是减函数, ∴ h(x)在[﹣1,1]上的最大值是 h(﹣1)=4, ∴ f(x)≤g(a)+4;

综上,当 x∈[﹣1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. 点评: 利用导数可以解决最值问题,正确求导,确定函数的单调性是解题的关键.
2

22. (14 分)已知△ ABP 的三个顶点在抛物线 C:x =4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中点, (Ⅰ )若|PF|=3,求点 M 的坐标; (Ⅱ )求△ ABP 面积的最大值.

=3



考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ )根据抛物线的定义,利用条件|PF|=3,求建立方程关系即可求点 M 的坐标; (Ⅱ )设直线 AB 的方程为 y=kx+m,利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式, 利用导数即可求出三角形面积的最值. 解答: 解: (Ⅰ )由题意知焦点 F(0,1) ,准线方程为 y=﹣1,
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设 P(x0,y0) ,由抛物线的定义可知|PF|=y0+1,解得 y0=2, ∴ x0= ,即 P(2 ,2)或 P(﹣2 ,2) , 由 =3 ,得 M(﹣ , )或 M( , ) .

(Ⅱ )设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由
2

得 x ﹣4kx﹣4m=0,

2

于是△ =16k +16m>0,x1+x2=4k,x1x2=﹣4m, 2 即 AB 的中点 M 的坐标为(2k,2k +m) 由 =3 ,得(﹣x0,1﹣y0)=3(2k,2k +m﹣1) , ,由 ,得 k =﹣
2 2

解得 由△ >0,k>0 得 又∵ |AB|=4

+



, ,

点 F 到直线 AB 的距离 d=



∴ S△ABP=4S△ABF=8|m﹣1| 设 f(m)=3m ﹣5m +m+1, (
2 3 2

, ) ,

则 f'(m)=9m ﹣10m+1=0,解得 m1= ,m2=1,

于是 f(m)在( 又 f( )=

)是增函数,在( ,1)上是减函数,在(1, )上是增函数, , ,此时 k= ,

∴ 当 m= 时,f(m)取得最大值 ∴ △ ABP 面积的最大值为 .


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