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22.3高斯公式与斯托克斯公式


《数学分析》下册

第二十二章 曲面积分

§3 高斯公式与斯托克斯公式
教学目的 线积分. 教学内容 件. (1) 基本要求:学会用高斯公式计算第二型曲面积分,用斯托克斯公式计算 第二型曲线积分. 懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路, 掌握沿空间曲线的 第二型积分与路径无关的条件. (2) 较高要求:应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧. 教学建议 本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分,用斯托 高斯公式;斯托克斯公式;沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条 学会用高斯公式计算第二型曲面积分,用斯托克斯公式计算第二型曲

克斯公式计算第二型曲线积分.要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边 界定向的关系. 教学程序 一、 高斯公式 设有空间区域 V 由分片光滑的双侧闭曲面 S 围成. 若函数 P, Q, R

定理 22. 3

在 V 上连续,且具有一阶连续偏导数,则

??? ? ? ?x ? ?y ? ?z ? ?dxdydz ?? P? x, y, z ?dydz ? Q? x, y, z ?dzdx ? R? x, y, z ?dxd y ? ?
V

? ?P

?Q

?R ?

=

S



其中 S 取外侧.称为高斯公式.

证 只证

??? ?z dxdydz ?? R?x, y, z ?dxd y
V

?R

=

S

.

类似可证

??? ?x dxdydz ?? P?x, y, z ?dydz
V

?P

=

S



??? ?y dxdydz ?? Q?x, y, z ?dzdx
V

?Q

=

S

.

这些结果相加便得到了高斯公式. 先 V 设是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面

S 2 : z ? z2 ?x, y?, ?x, y? ? Dxy , S1 : z ? z1 ?x, y ?, ?x, y ? ? Dxy ,
及垂直于 D xy 的边界的柱面 S 3 组成其中 z1 ?x, y ? ? z 2 ?x, y ? . 于是按三重积分的计算 方法有

1

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第二十二章 曲面积分

?R ?R dxdy ? dz dxdydz ?? ??? ? z ? z D z ? x , y ? 1 V = xy

z2 ? x , y ?

=

Dxy

?? ?R?x, y, z ?x, y ?? ? R?x, y, z ?x, y ???dxdy
2 1

=

Dxy

?? R?x, y, z ?x, y ??dxdy ? ?? R?x, y, z ?x, y ??dxdy
2 1 Dxy
S1

= S2

?? R?x, y, z ?dxdy ? ?? R?x, y, z ?dxdy ?? R?x, y, z ?dxdy ? ?? R?x, y, z ?dxdy
? S1

= S2

其中 S1 , S 2 都取上侧.又由于 S 3 在 xy 平面上投影区域的面积为零,所以

?? R?x, y, z ?dxdy ? 0
S3



因此

??? ?z dxdydz ?? R?x, y, z ?dxdy ? ?? R?x, y, z ?dxdy ?? R?x, y, z ?dxdy
V

?R

= S2

? S1

+ S3

=

?? R?x, y, z ?dxd y
S

对于不是 xy 型区域的情形, 则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy 型区域 来讨论.详细的推导与格林相似. 空间区域 V 的体积公式:

??? ?1 ? 1 ? 1?dxdydz ?? xdydz ? ydzdx ? zdxd y
V

=

S



1 ?? xdydz? ydzdx? zdxdy ?V = 3 S .
例 1 计算

?? y?x ? z ?dydz ? x
S

2

dzdy ? y 2 ? xz dxdy

?

?

,其中 S 是边长为 a 的正立方

体表面并取外侧. 解 应用高斯公式,所求曲面积分等于

?? ? y?x ? z ?? ? ? ?x ? ? ? ?y ??? ? ?y ?z ? ?x
2 V

2

? ? xz ? dxdydz ?

?

2

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第二十二章 曲面积分

= 二、斯托克斯公式

??? ? y ? x ?dxdydz ? dz ? dy ? ? y ? x ?dx
V

a

a

a

=0

0

0

1 ? ? a ? ? ay ? a 2 ?dy ? a 4 2 ? = 0? .

a

双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向的规定:右手法则. 定理 22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按块光滑的连续曲线.若函数 P, Q, R 在

S (连同 L )上连续,且有一阶连续偏导数,则

?? ? ? ?y ? ?z ? ?dydz ?? ?z ? ?x ?dzdx ? ? ? ?x ? ?y ? ?dxdy ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? ? ? ? ?
S

? ?R

?Q ?

? ?P

?R ?

? ?Q

?P ?

=L

(2)

其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定. 证明 先证

?? ?z dzdx ? ?y dxdy ? Pdx
S

?P

?P

=L



(3)

其中曲面 S 由方程 z ? z ?x, y ? 确定,它的正侧法线方向数为 ?? z x ,? z y ,?1? ,方向余 弦为 ?cos? , cos ? , cos? ? ,所以
?z cos? ?z cos ? ?? ?? ?x cos? , ?y cos? ,

若 S 在平面上投影区域为 D xy ,L 在平面上的投影曲线为 ? . 现由第二型曲线积分 的定义及格林公式有

? P?x, y, z ?dx
L

? ? ?? P?x, y, z ?x, y ??dxdy ? ? ? ? P x , y , z x , y dx ? ?y =? = Dxy .

? ?P ?P ?z P?x, y, z ?x, y ?? ? 因为 ?y = ?y ?z ?y ,所以

? ??

? ?P ?P ?z ? P?x, y, z ?x, y ??dxdy ? ? ? ?? ? ?y ? ?z ?y ? ?dxdy ? y Dxy ? = S? .

?z cos ? ?? cos? ,从而 由于 ?y

? ?P ?P ?z ? ? ?P ?P cos ? ? ? ? ? ?? ? ? ?dxdy ? ?y ? ?z ?y ? ?dxdy ? ?? ? ? S ? = S ? ?y ?z cos? ?

3

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第二十二章 曲面积分

? ?P ? dxdy ?P ? ?? ? ? ?y cos? ? ?z cos ? ? ? cos? ? = S? ? ?P ? ?P ? ?? ? ? ?y cos? ? ?z cos ? ? ?dS ? ? S =

=

?? ?z dzdx ? ?y dxdy
S

?P

?P

.

综合上述结果,便得所要证明的(3)式. 同样对于曲面 S 表示为 x ? x? y, z ? 和 y ? y?z, x ? 时,可证得

?? ?x dxdy? ?z dydz ? Qdy
S

?Q

?Q

=L



(4)

?? ?y dydz ? ?x dzdx ? Rdz
S

?R

?R

=L

.

(5)

将(3),(4),(5)三式相加即得(2)式. 如果曲面 S 不能以 z ? z ?x, y ? 的形式给出, 则可用一些光滑曲线把 S 分割为若 于小块,使每一小块能用这种形式来表示.因而这时(2)式也能成立. 公式(2)称为斯托克斯公式,也可写成如下形式:
dydz dzdx dxdy ? ? ? ?x ?y ?z Pdx ? Qdy ? Rdz P Q R =? L .

??
S

例2

计算 L

? ?2 y ? z ?dx ? ?x ? z ?dy ? ? y ? x?dz

,其中 L 为平面 x ? y ? z ? 1 与各

坐标面的交线,取逆时针方向为正向. 解 应用斯托克斯公式

? ?2 y ? z ?dx ? ?x ? z ?dy ? ? y ? x?dz
L

=

?? ?1 ? 1?dydz ??1 ? 1?dzdx ? ?1 ? 2?dxdy
S

=

?? 2dydz ? 2dzdx ? 1dxdy
S

=

1?1?

1 3 ? 2 2.

4

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第二十二章 曲面积分

单连通区域:如果区域 V 内任一封闭曲线皆可以不经过 V 以外的点收缩于属 于 V 的一点,则称 V 为单连通区域.非单连通区域称为复连通区域. 定理 22.5
3 设 ? ? R 为空间单连通区域.若函数在上连续,且有一阶连续

偏导数,则以下四个条件是等价的: (ⅰ)对于 ? 内任一按段光滑的封闭曲线 L ,有

? Pdx ? Qdy ? Rdz
L

=0.

(ⅱ)对于 ? 内任一按段光滑的曲线 L ,曲线积分

? Pdx ? Qdy ? Rdz
L

与路线无关.只与 L 的起点及终点有关。

(ⅲ) Pdx ? Qdy ? Rdz 是 ? 内某一函数 u 的全微分,即
du ? Pdx ? Qdy ? Rdz .

?P ?Q ?Q ?R ?R ?P ? ? ? ? y ? x ? z ?y , ?x ?z 在 ? 内处处成立. (ⅳ) ,

证明 例3

略 验证曲线积分 L

? ? y ? z ?dx ? ?z ? x?dy ? ?x ? y?dz

与路线无关,请求该表

达式的原函数 u ?x, y, z ? . 解 由于 P ? y ? z , Q ? z ? x , R ? x ? y ,

?P ?Q ?Q ?R ?R ?P ? ? ? ? y ? x ? z ?y = ?x ?z =1,所以曲线积 故 =

分与路线无关.现求

u ?x, y, z ? = M 0 M
x

? ? y ? z ?dx ? ?z ? x ?dy ? ?x ? y ?dz
y z

= x0

? ? y0 ? z 0 ?ds ? ?z 0 ? x ?dt ? ?x ? y ?dr
+ y0 + z0

= ? y0 ? z0 ??x ? x0 ? ? ?z0 ? x?? y ? y0 ? ? ?x ? y ??z ? z0 ? = xy ? zx ? yz ? ?x0 y0 ? x0 z0 ? y0 z0 ? . 取 x0 ? y0 ? z0 ? 0 ,即取 M 0 为原点,则 u ?x, y, z ? = xy ? zx ? yz .

5

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第二十二章 曲面积分

作业 p295: 1;2;3;4;5.

6



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